精品解析：山东济南市2025-2026学年高二下学期期末学情检测数学试题

2026年春季学期高二期末学情检测 数 学 试 题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点的切线斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】对函数求导可得， 将代入导函数，得， 即曲线在点处的切线斜率为4，对应选项D. 2. 学校餐厅推出组合套餐，有3种饮品和4种小食可供选择，每种套餐包含1种饮品和1种小食，则可搭配出的套餐种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】要完成一份套餐的搭配，需分两个步骤： 第一步，从3种饮品中选择1种，共有3种不同的选法； 第二步，从4种小食中选择1种，共有4种不同的选法.根据分步乘法计数原理，因此可搭配出的套餐总种数为. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.15 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.925 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】已知随机变量服从正态分布，因此其分布曲线关于对称轴对称， 可得， 根据概率的基本性质， . 4. 已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 第一组散点图的点整体呈下降趋势，两变量为负相关，∴，不符合题意； ∵ 第二组散点图的点整体呈上升趋势，两变量为正相关，∴，不符合题意； 观察散点图可知第一组数据的散点更贴近拟合直线，线性相关程度更强，∴，故C错误，符合题意； ∵且，∴，不符合题意. 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 6. 某校举办宪法知识挑战比赛，有，，三类题，其中类道，类道，类道．已知小明答对类题的概率为，答对类题的概率为，答对类题的概率为．现从所有题中随机选一道，则小明答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 所有题目的总数为， 则 随机选1道题，选中类题的概率，选中类题的概率，选中类题的概率. 记事件为“小明答对所选题目”，由题意知，，. 由全概率公式得 . 故小明答对的概率为. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数。利用导数求解函数的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】设，则， 当，在上单调递增，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以即. 8. 如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据总步数确定“向右”和“向上”的总次数，然后列举出所有可能的移动序列，最后利用排除法计算符合条件的路径数量. 【详解】蚂蚁从爬行到，在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.总的移动序列组合数为：(种). 用表示向右，用表示向上，其中包括“至少连续3次向右”或“至少连续3次向上”的情况： “至少连续3次向右()”：，共6个元素, 路径总数为， 同理，包含“”的路径总数也为， 同时出现 “”且 “”的路径，共有四个元素，路径总数为， 同一方向连续爬行超过格的路径总数为：， 根据容斥原理，符合条件的路径总数. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 已知二项式，则（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式中存在常数项 C. 展开式中项的系数为 D. 展开式的二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为. 对选项A，∵ 二项式的展开式项数为，此处，∴ 展开式共项，故A正确. 对选项B，令，解得，∴ 展开式存在常数项，故B正确. 对选项C，令，解得，∴ 项的系数为，故C错误. 对选项D，∵ 二项式展开式的二项式系数和为，∴ 本题二项式系数的和为，故D正确. 10. 某地区年至年乡村旅游年收入（单位：万元）与年份代码（依次对应年至年）的统计数据如下： 已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 回归直线过 B. C. 样本点都落在经验回归直线上 D. 预测年该地区乡村旅游年收入约为万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算样本中心点，结合回归直线过样本中心点的性质求解回归系数，再逐一分析各选项正误. 【详解】∵ ，， ∴ 样本中心点为. ∵ 经验回归直线恒过样本中心点， ∴ 回归直线过，故A正确. 将代入，得，解得，故B正确. 当时，代入回归方程得，与实际值不相等，可知样本点不都落在经验回归直线上，故C错误. 2026年对应的年份代码为，代入回归方程得，即预测2026年该地区乡村旅游年收入约为360万元，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，存在唯一极大值点 B. 存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点 C. 存在，使得直线是曲线的切线也是曲线的切线 D. 若对任意，存在，使得成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数导数与单调性和函数极值点的定义，反函数的性质，函数导数的几何意义以及不等式恒成立转化求最值，以及利用函数导数与单调性求最值，逐项分析求解. 【详解】对于A，由，则， 因为函数的定义域为， 所以， 当时，令， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在唯一极大值点，故A正确； 选项B，若函数与的图象仅有一对关于对称的点， 则函数与的反函数仅有一个交点， 即方程仅一个解， 令，则， 由，当时，， 即函数在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数只有一个零点， 即存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点，故B正确； 选项C，设与的切点为：， 由得：，则切线的斜率为：， 所以切线方程为：，即， 设与的切点为：， 由，则，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，即， 由题意知两条切线为同一条直线，所以， 由代入， 化简得：，解得：或（舍去）， 当时，，故C正确； 对于D，若对任意，存在，使得成立， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 令，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以， 令， 则，由， 当时，，此时函数在上单调递减， 所以， 由题意得：， 又，所以， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，不满足题意， 当时，令， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上递减， 所以， 若时，不满足题意， 若，则有即， 又，所以此时， 综上所述：，不一定得出，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为____________． 【答案】 58 【解析】 【详解】∵ 排列数. 又∵ 组合数满足性质，∴ . ∴ . 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数在上的最大值即可. 【详解】函数，求导得， 当时，，函数在上单调递减，， 由任意，恒成立，得， 所以的取值范围为. 14. 现有标号为1，2，3，4，5，6的盒子．抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6），记点数为．若为奇数，则在标号为1，2，3的盒子中各放入一球；若为偶数，则在标号为的约数的盒子中各放入一球（例如：，则在标号为1，2，4的盒子中各放入一球）．重复以上操作三次后，2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【详解】抛掷一次骰子得到的点数，每种概率都为. 当时，在标号为1，2，3的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样； 当时，在标号为1，2的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球； 当时，在标号为1，2，4的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球； 当时，在标号为1，2，3，6的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样. 故当时2号盒中与3号盒中球的数量一样，当时2号盒中比3号盒中恰好多一个球. 设事件：抛掷一次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球，则事件：抛掷一次骰子后2号盒中与3号盒中球一样多，. 设抛掷三次骰子出现事件的次数为，出现事件的次数为，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球，则，解得. 故抛掷三次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确提出积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．高中某班50名学生2025年下学期和2026年上学期的体测等级如下： 2025年下学期体测等级 优良 及格 不及格 人数 20 15 15 2026年上学期体测等级 优良 及格 不及格 人数 40 3 7 （1）根据以上数据完成列联表： 优良 优良以下 合计 2025年下学期 2026年上学期 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析该班体测等级优良率与参加体测的学期是否有关． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 优良 优良以下 合计 2025年下学期 20 30 50 2026年上学期 40 10 50 合计 60 40 100 （2）依据小概率值的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.【解析】 【分析】（1）根据给定数据完善列联表. （2）求出的观测值，再与临界值比对即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 依据小概率值的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关， 该推断犯错误的概率不超过0.005. 16. 已知函数，其中． （1）若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； （2）若有3个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求出函数的导数，再代值求出；（ii）利用导数求出在给定区间上的最大值与最小值即得. （2）利用导数求出函数的极值，再利用三次函数的图象特征列出不等式组求解. 【小问1详解】 （i）函数，求导得， 由在处的导数为0，得， 所以. （ii）由（i）得，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得，解得， 所以的取值范围是. 17. 记“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”为一次试验，事件表示“一次试验中恰有1枚硬币正面向上”． （1）求； （2）将上述试验重复进行3次，设随机变量表示3次试验中事件发生的次数． （i）求的分布列与数学期望； （ii）在事件至少发生1次的条件下，求事件恰好发生2次的概率． 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 (ii) 【解析】 【分析】（1）利用列举法求出古典概率. （2）（i）利用二项分布求出概率分布列，进而求出期望；（ii）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 依题意，样本空间(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)，共4个样本点， 事件(正,反), (反,正)，共2个样本点， 所以. 【小问2详解】 （i）的所有可能值为，依题意，， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. （ii）事件至少发生1次的概率为， 事件发生2次的概率， 所以在事件至少发生1次的条件下，事件恰好发生2次的概率为. 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若有两个极值点，． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（ii）由极值点性质，(不妨设， 所以，代入， 化简得：， 又因为，， 所以，则 需证：，即证， 已知，两边除以，得：， 再用解出，代入化简：， ，两边约去：，即证：， 令，求导： ， 令， 则， 时，，故在严格递减. ，故. 因此，在严格递增. 又，故. 所以成立，以上每一步变形均等价可逆，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）已知函数在定义域单调递减，转化为，分离参数求参数范围即可； （2）(i) 求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可；(ii)双极值点差值不等式证明，借助极值点韦达关系化简分式，换元构造单变量函数，利用单调性证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 在上单调递减，等价于在上恒成立， 即. 令，. 令，即，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 则，即的取值范围是. 【小问2详解】 (i)由(1)知. 因为有两个极值点，，所以在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根. 则， 因为方程有两个不同的根，所以，即，解得. 又因为二次函数的对称轴为， 且两根都在上，所以，即，解得. 同时，当时，. 综上，的取值范围是. (ii)略 19. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取次，每次取1个球．记第次取到的球的数字为，，随机变量． （1）求的数学期望与方差； （2）求的数学期望；（用含的式子表示） （3）证明：． 附：若为随机变量，则． 【答案】（1），. （2） （3）证明：因为，当且仅当时，， 若， 当或或时，，此时概率为， 当中恰有个相同，另一个不同时，设相同的数为，不同的数为， 其中为三个数中不同的两个数， 则， 要使， 因为与为中的一个，所以若要，则只能是， 这与与为三个数中不同的两个数矛盾， 所以要使只有或或， 所以，所以， 又，且， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量数学期望公式以及方差公式计算即可； （2）根据已知条件利用数学期望的性质求解即可； （3）利用对立事件概率公式结合已知条件证明即可. 【小问1详解】 由题意知的可能取值为：，且每次取球是有放回的，所以每个球被取到的概率为， 所以， . 【小问2详解】 由 因为，所以， 由，则, 因为，所以， 又，， 根据得：， 所以. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二期末学情检测 数 学 试 题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点的切线斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 学校餐厅推出组合套餐，有3种饮品和4种小食可供选择，每种套餐包含1种饮品和1种小食，则可搭配出的套餐种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 21 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.15 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.925 4. 已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 某校举办宪法知识挑战比赛，有，，三类题，其中类道，类道，类道．已知小明答对类题的概率为，答对类题的概率为，答对类题的概率为．现从所有题中随机选一道，则小明答对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 已知二项式，则（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式中存在常数项 C. 展开式中项的系数为 D. 展开式的二项式系数的和为 10. 某地区年至年乡村旅游年收入（单位：万元）与年份代码（依次对应年至年）的统计数据如下： 已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 回归直线过 B. C. 样本点都落在经验回归直线上 D. 预测年该地区乡村旅游年收入约为万元 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，存在唯一极大值点 B. 存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点 C. 存在，使得直线是曲线的切线也是曲线的切线 D. 若对任意，存在，使得成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为____________． 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为____________． 14. 现有标号为1，2，3，4，5，6的盒子．抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6），记点数为．若为奇数，则在标号为1，2，3的盒子中各放入一球；若为偶数，则在标号为的约数的盒子中各放入一球（例如：，则在标号为1，2，4的盒子中各放入一球）．重复以上操作三次后，2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确提出积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．高中某班50名学生2025年下学期和2026年上学期的体测等级如下： 2025年下学期体测等级 优良 及格 不及格 人数 20 15 15 2026年上学期体测等级 优良 及格 不及格 人数 40 3 7 （1）根据以上数据完成列联表： 优良 优良以下 合计 2025年下学期 2026年上学期 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析该班体测等级优良率与参加体测的学期是否有关． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数，其中． （1）若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； （2）若有3个不同的零点，求的取值范围． 17. 记“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”为一次试验，事件表示“一次试验中恰有1枚硬币正面向上”． （1）求； （2）将上述试验重复进行3次，设随机变量表示3次试验中事件发生的次数． （i）求的分布列与数学期望； （ii）在事件至少发生1次的条件下，求事件恰好发生2次的概率． 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若有两个极值点，． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取次，每次取1个球．记第次取到的球的数字为，，随机变量． （1）求的数学期望与方差； （2）求的数学期望；（用含的式子表示） （3）证明：． 附：若为随机变量，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $