第02讲 球的切、接问题（11大题型）（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第02讲 球的切、接问题 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 题型一：外接球之棱柱模型 5 题型二：外接球之棱锥模型 8 题型三：外接球之正棱锥、正棱台模型 12 题型四：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 14 题型五：外接球之空间多面体 16 题型六：内切球之正方体、正棱柱模型 19 题型七：内切球之棱锥模型 22 题型八：内切球之圆锥、圆台模型 26 题型九：棱切球之正棱锥模型 29 题型十：棱切球之台体、四面体模型 32 题型十一：多球相切问题 35 三阶突破训练 基础训练· 39 能力提升 46 真题感知 56 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 多种几何体（圆柱、正方体、三棱锥等）与球的关系及其相关性质 2025年新高考2卷第14题，5分 2023年甲卷（理）第15题，5分 2023年甲卷（文）第16题，5分 2023年乙卷（文）第16题，5分 2023年甲卷（文）第10题，5分 2022年Ⅱ卷第7题，5分 2022年I卷第8题，5分 2021年甲卷（理）第11题，5分 （1）理解基础空间图形及其简单组合体的概念与核心特征，具备解决基本实际问题的能力； （2）多面体和球体的计算题是近年考试的重点内容； （3）运用图形概念描述图形的基本关系和结果，突出考查直观想象与逻辑推理能力。 二、课标要求 1.能根据多面体、旋转体的几何性质确定内切球、外接球的球心. 2.会解决几何体内切球、外接球的相关问题. 三、知识导图 1.正方体与球 （1）内切球：内切球直径正方体棱长. （2）棱切球：棱切球直径正方体的面对角线长. （3）外接球：外接球直径正方体体对角线长. 2.长方体与球 外接球：外接球直径长方体体对角线长（，，分别为长方体的长、宽、高）. 3.正棱锥与球 （1）内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. （2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为，半径为，（正棱锥外接球半径为，高为）. 4.正四面体与球 若正四面体的棱长为，高为，正四面体的外接球半径为，内切球半径为，则，，，. 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心，则（为正三棱柱外接球半径，为正三棱柱的高）. 6.圆柱的外接球 （是圆柱外接球的半径，是圆柱的高，是圆柱底面圆的半径）. 7.圆锥的外接球 （是圆锥外接球的半径，是圆锥的高，是圆锥底面圆的半径）. 考点一：外接球之棱柱模型 典例1．在长方体中，，则该长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为，则，所以， 则球的表面积为， 故选：A. 典例2．（2025·安徽·模拟）已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点，则（　　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】取的中点，连接，因为点分别是线段的中点，所以，所以四边形为平行四边形，故，又平面平面，所以平面，故正确； 因为点分别是线段的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，又平面，所以， 又是正三角形，又是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则.若，则平面， 则，显然这不成立，故错误； 记的外接圆圆心分别为，则， 故，故所求外接球的表面积为，故正确； ，故. 设点到平面的距离为.，则， 即，解得，故正确. 故选：ACD. 【方法技巧】 通过取中点、构造平行四边形及正三角形性质，结合空间几何关系，验证平面平行与垂直关系，并利用外接圆心确定外接球半径。 跟踪训练1．已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】A 【解析】设长方体的高为h， 设a，则，所以， 若要长方体体积最大，则平面内接与长方体，所以得， 即得， 所以长方体的体积为， 设，其中，则， 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，亦即最大值，则.因此该长方体的体积的最大值为. 故选：A 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 考点二：外接球之棱锥模型 典例1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，，所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 典例2．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为底面是等腰梯形，且满足， 所以 ，解得，故，即， 又因为底面是等腰梯形，故四边形的外接圆直径为， 设的中点为，球的半径为，因为平面，，所以， 所以，则. 故选：C 【方法技巧】 （1）几何模型中，外接球的计算常需借助辅助线或补形法。 （2）关键步骤包括确定球心位置、利用几何关系（如勾股定理、余弦定理）求解半径。 （3）数值计算需精确，避免遗漏或多算条件。 跟踪训练1．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，    三棱锥的三条侧棱两两垂直，即，，， 如下图，将三棱锥补形为长方体，    因为三棱锥的外接球即为长方体的外接球，设三棱锥外接球的半径为R， 因为，，，所以， 所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：A． 2．在四面体ABCD中，，，，且，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作面，连接， 因为面，所以， 因为，所以， 因为，面，所以面，而面， 故，因为，，所以由锐角三角函数定义得， 故，由勾股定理得，而，则，故， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，得到， 联立，，解得(其它根舍去)， (若点在同侧，则，设，，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，在中，得到，联立，解得显然不合题意) 取中点，过点作面，设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得，又， 在直角梯形中，，故，解得， 设四面体外接球的表面积为，则. 故选：D 考点三：外接球之正棱锥、正棱台模型 典例1．正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设P到平面ABCD的距离为h，球O的半径为R，则，解得． 在正四棱锥中，，则， 故，即，解得或7． 当时，； 同理，当时，，所以该正四棱锥的侧棱长为或． 故选：D 典例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则，根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 【方法技巧】 解决正棱锥、正棱台外接球问题的关键是利用对称性定位球心，通过勾股定理建立核心方程，结合几何关系和体积公式求解。需注意球心位置的多样性和几何关系的准确性，避免混淆概念。 跟踪训练1．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，设棱台高为，则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径，正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 2.已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，则，，平面，所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 考点四：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 典例1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上，所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，且与底面圆心的连线垂直底面，因为圆柱底面半径为，高为，所以球心到底面的距离，因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径，所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 典例2．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，要使圆锥体积最大，则圆锥外接球为球， 设圆锥的高为，半径为，故，则， 由圆锥的体积为，且， 所以，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，最大. 故选：A 【方法技巧】 通过几何模型结合勾股定理和函数单调性分析，可有效解决外接球相关问题。 跟踪训练1．已知圆台的上、下底面半径分别为1，2，若圆台外接球的半径与圆台的母线长相等，则外接球的表面积为（    ） A． B． C．12π D．16π 【答案】D 【解析】假设圆台外接球的球心在圆台的内部，设圆台的上、下底面半径分别为，，高为h，母线长为l，圆台外接球的球心为O，半径为R，球心O到圆台下底面的距离为x． 由勾股定理得，即，解得，． 又，，所以，即． 当不为零时，，得不合题意，舍去，所以，即， 此时圆台外接球的球心与圆台下底面的圆心重合，所以，， 故外接球的表面积为． 故选：D. 2．（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 考点五：外接球之空间多面体 典例1．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为 ．    【答案】 【解析】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为，显然面对角线为， 因为该几何体的所有棱的长都为2，所以， 显然，，所以， 设该该二十四等边体的外接球的半径为，则 所以该该二十四等边体的外接球的表面积为， 故答案为：    典例2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，且其侧面积是底面积的2倍，则此正六棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】根据题意可得底面为正六边形的边长为，所以底面积为, 设侧面积的三角形的高为，则侧面积，故， 设正六棱锥的高为，则，设正六棱锥的外接球的半径为,则,解得,所以正六棱锥的外接球的表面积.    故答案为：. 【方法技巧】 结合几何特性与代数推导，利用对称性简化复杂问题。 跟踪训练1．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形， 设原正方体棱长为，则正六边形边长为，其面积为，解得， 因此原正方体的棱长为，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点， 球半径为该点到点的距离，所以外接球的表面积为. 故选：D 2.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,所以，解得，所以该截角四面体的外接球的表面积为, 故答案为： 考点六：内切球之正方体、正棱柱模型 典例1．（2025·江苏南通·模拟）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1，则底面正三角形的外接圆半径，所以该正三棱柱外接球半径为，所以外接球的表面积为． 故选：D． 典例2．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以，，，又，所以，即表面积为． 故答案为： 【方法技巧】 正方体内切球：内切球直径正方体棱长. 跟踪训练1．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点 设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径 ，即外接球的半径 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C． 2．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为球的体积为，所以球的半径为1， 又球与正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2， 设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为, 设的中点为D，则在上，且, 又,则三棱柱外接球的半径为， 即外接球的表面积为, 故选：B 考点七：内切球之棱锥、棱台模型 典例1．（25-26高二上·广东江门·开学考试）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为 . 【答案】 【解析】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， ∴三棱锥A－BCD的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥A－BCD的外接球的半径为R，内切球的半径为r， ∵三棱锥A－BCD的外接球的表面积为， ∵BC＝CD＝4，∴，解得AB＝4， ∴， ∵AB＝BC＝CD＝4，∴AC＝BD＝， ∴三棱锥的表面积为， 又∵，∴. 故答案为： 典例2．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在正四棱台中，上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为， 设分别是下、上底面中心，分别是的中点， 在侧面中，，则， 因为正棱台的内切球半径即为截面的内切圆半径， 在截面中，， 则， 若球心在中点处，即梯形高的中点处， 以下底面中心为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 则直线的方程为， 故点到直线的距离，即直线与圆相离. 结合图形可知，当球心在中点处，球半径时，正四棱台的内切球半径最大. 即该正四棱台内半径最大的球的体积， 故选：B. 【方法技巧】 正棱锥内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. 跟踪训练1．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ． 【答案】 【解析】如图1，过点A作底面于点F，则F为正三角形的中心，连接并延长，交于点E，则E为中点，且，在上取点O，此点为正四面体的外接球球心，则，设正四面体棱长为a，则，故，由勾股定理得：，设，由得：，解得：， 如图2，作出正四面体的截面，则正四面体的内切球与，相切，设内切球球心为，半径为r，则作于点G，则，，其中，，由得：，即，解得：，则， 所以内切球的表面积与外接球表面积之比为， 故答案为：． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】方法一：由题意得，球为正四棱锥的内切球. 如图①所示，设底面中心为O，过P作与垂直的平面，则该平面与球的交线为圆，过作与PC垂直的平面，该平面与球的交线也为圆，球上两圆的交点即为点Q.因为两圆都关于平面对称，且两圆有且只有一个交点，故点Q也在平面上，即点Q在PO上.M，N分别为，的中点，分别作平面，平面截正四棱锥的截面，如图②③所示. 设球的半径为，球心为，. 在图②中，因为， 所以.所以， 又.所以， 则有，即. 在图③中，， 故， 因为现与均相切， 故，故，即， 球的半径.球的表面积. 故答案为：. 方法二：连接AC，BD，设交点为O，如图建立以O为原点的空间直角坐标系. 因底面边长为3，则，设. 则，，. 因，则，又， 则，则，所以为定值， 因球面上仅有一点满足且，则为球体与线段PO的交点， 则，则球体半径为. 注意到正四棱锥体积为：，其中为四棱锥表面积， 如图，取BC中点为F，连接OF，PF，则. 则，则 又正四棱锥体积为：，则 . 则，则球体表面积为：. 故答案为：. 考点八：内切球之圆锥、圆台模型 典例1．（2025·海南海口·模拟）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 典例2．（25-26高二上·云南·开学考试）有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm，高度为120cm，现往里面装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装 个球．（附：，，） 【答案】40 【解析】圆柱状铁皮桶底面半径为8cm，装半径为4cm的球时，一层最多装两个球， 若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻两层的4个球两两相切，如图所示， 这样相邻的4个球球心的连线构成棱长为8cm的正四面体DBEG，其中设D、B为下层球心，E、G为上层球心，则，图中将正四面体放置在正方体中，则正方形的边长为，所以正四面体相对棱间的距离，也即图中EG和DB间的距离为，每装2个球称为“一层”，这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装20“层”球，即最多可以装40个球． 故答案为：40． 【方法技巧】 正六棱柱有内切球时，内切球半径等于底面边长的一半，外接球半径为。 跟踪训练1．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    【答案】 【解析】画出圆锥的轴截面如图      设内切球的球心为，半径为，则，，所以， 又，即，解得. 故答案为：. 跟踪训练2．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为， 故梯形的高为，则该圆台的体积为. 故选：D. 考点九：棱切球之正棱锥模型 典例1．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，正方体中，棱长为，所以，四面体是棱长为的正四面体， 当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，所以，该球的体积为， 因为正四面体的体积为，所以，该球与此正四面体的体积之比为. 故选：A 典例2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 【答案】 【解析】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为， 设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高， 球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心， 又正四面体边长为，所以， 所以，如图，在中，， 连接，由，解得， 连接，又由， 所以球的表面积为，故答案为：.    【方法技巧】 （1）利用内切球的定义直接找球心和半径的关系. （2）利用等体积法直接来求半径（球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等）. 跟踪训练1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． 【答案】 【解析】设内切球O的半径为，球的半径为.设此棱锥的高为,底面的中心为，三棱锥的表面积为.因为底面边长为，底面的高，， 所以， 棱锥的高, 侧面的高， 三棱锥的体积 所以，所以三棱锥的表面积为. 由等积法知，得. 用一平行于底面且与球上部相切的平面截此三棱锥， 棱锥的内切球半径即为球的半径，设棱锥的高为， 三棱锥的表面积为. 因为棱台的高为，所以， 根据相似关系，， 棱锥的表面积为， 根据等体积法，得，解得. 故答案为：. 2.（25-26高三上·江苏·开学考试）已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 【答案】 【解析】 设上面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 设下面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 组合体的体积为， 组合体的表面积为. 设组合体的内切球半径为，利用可得，，， 组合体内切球的表面积为. 故答案为：. 考点十：棱切球之台体、四面体模型 典例1．正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为，所以棱切球的体积为． 故选：C．    典例2．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，，所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 【方法技巧】 跟踪训练1．如图，在边长为1的正方体中取四个顶点，得到正四面体，则下列正确的是（    ） A．正四面体的体积为 B．正四面体的外接球的半径为 C．正四面体的棱切球的半径为 D．正四面体的内切球的半径、棱切球的半径和外接球的半径成等比数列 【答案】ACD 【解析】对于A，正四面体的体积，A正确； 对于B，正四面体的外接球即为正方体的外接球，球半径为， B错误； 对于C，正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球半径为，C正确； 对于D，正四面体的内切球的半径为，由， 解得，显然，，成等比数列，D正确. 故选：ACD 2．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为 ．    【答案】 【解析】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为，显然面对角线为， 因为该几何体的所有棱的长都为2，所以， 显然，，所以， 设该该二十四等边体的外接球的半径为，则 所以该该二十四等边体的外接球的表面积为， 故答案为：    考点十一：多球相切问题 典例1．（2025·安徽合肥·模拟）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵，∴，∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 典例2．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切， 则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图：为球心，是三棱锥的高，则    即正四面体高为，故两木板之间的最小距离为， 故选：C 【方法技巧】 跟踪训练1．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知一圆锥的底面直径和母线长相等.在其内部放入半径分别为的三个小球，若三个小球两两相切，且三个小球均与圆锥的底面和侧面相切，则圆锥的母线长为 . 【答案】 【解析】如图，圆锥的母线长与底面直径相等，设底面半径为R.,则,因为,所以.当一个小球与圆锥的底面和侧面相切时，根据圆锥和球的对称性，其轴截面如图所示，记为,则平面.记与底面和侧面都相切的小球O1的球心O1在底面和侧面的投影分别为, 则两点,且,又, 所以,所以,. 记另一个半径为1的小球的球心为在底面和侧面的投影分别为, 记半径为2的小球的球心为在底面和侧面的投影分别为. 同理可得，. 因为,所以. 记线段的中点为G,则,所以 所以. 因为所以，所以, 所以 解得：. 所以圆锥的母线长为. 故答案为：. 2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为.所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 1．正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把正四面体放在正方体中，如图，    则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 【答案】A 【解析】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 3．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）如图，这是某零件的结构模型，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球、正四面体的三个面均相切．若，则该模型中4个小球的体积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 则小正四面体的高，所以， 所以4个小球的体积为， 故答案为：． 4．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，且平面， 可将三棱锥补形为长方体，如图， 则长方体的体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因 则三棱锥的外接球半径为. 故外接球体积为：. 故选：A 5．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心，下图为圆台外接球的轴截面，如图所示，设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 6．（25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为； 由题可知：，，解得； 设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为， 显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：    若要满足题意，则，也即，，解得， 故，则该圆台外接球表面积. 故选：B. 7．（2025·四川达州·模拟）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 为圆锥的轴截面，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O. 由于，故. 设内切圆半径为r，则 ， 解得，其体积. 故选：D 8．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 【答案】 【解析】 如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 9．（2025·湖南长沙·模拟）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则，解得，即正四棱台下底面中心即为球心，则外接球的直径为，表面积为， 故选:C. 10．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将该多面体放入正方体中, 如图所示. 由于多面体的棱长为, 所以正方体的棱长为 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以 所以该多面体外接球的体积 . 故选：A. 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知正三棱柱所有的顶点都在球的球面上，记球的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱柱的底面棱长为，高为，则； 由正三棱柱的性质可知球心位于上下底面中心连线的中点处，设半径为， 则，所以, . 令，则，代入上式可得. 令，则，其中； 令得，当时，，为减函数， 当时，，为增函数，所以的最小值为，所以的最小值为. 故选：D 2．（2025·江西新余·模拟）如图，在正三棱台中，，，，则下面结论正确的是（   ） A．该正三棱台的侧面与底面所成角的余弦值为 B．该棱台的体积为 C．该棱台的外接球的表面积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】设分别为正的中心， 分别为的中点，连接，，，，，，， ∵正三棱台， ∴平面， ∴，都为正三角形，四边形为等腰梯形， ∴，，，，， ，，，， ∴∠DEO为二面角的平面角， 在等腰梯形中，， 在直角梯形中，，故A错误； 在直角梯形中，， ，， ∴该棱台的体积为，故B错误； 设该棱台的外接球的半径为， 根据正弦定理可得的外接圆的半径分别为，， 由球的截面性质知，，解得， ∴该棱台的外接球的表面积为，故C正确； ， 为异面直线与BC所成角（或补角）， 在等腰梯形MNBA中，， ， ， ， ∴异面直线AN与BC所成角的余弦值为，故选项D错误． 故选：C． 3．（2025·云南昆明·模拟）已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】底面的外接圆半径， 即正三棱锥的侧棱长，则正三棱锥是正四面体， 当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大， 由等体积法得球的半径为 ，即， 所以球体积的最大值， 故选：A. 4．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆， 根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得： ， 利用等面积法：， 可得：， 解得：， 再由棱台体积公式得：， 由球的体积公式得：， 所以正四棱台与球的体积之比是：， 故选：B. 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 6．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接 由题意可得，又，所以，所以平面即为平面， 又，平面，平面，所以平面， 易得，所以四边形为平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面，又为上底面内（包括边界）的一动点， 所以，由图易知的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥， 又， 所以三棱锥的外接球的半径， 较小部分的外接球的体积为. 故选：D. 7．（2025·陕西咸阳·模拟）（多选题）如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（   ） A．平面DEF B． C．球O的表面积为 D．点F到平面DEM的距离为 【答案】AB 【解析】如图， 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以， 又，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正确； 取AB的中点N，连接MN， 则，连接CN，则， 又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF， 因为平面MNCF，所以， 又，所以，B正确； 设，则，，， 因为，所以，即，解得， 所以，易得△ABC外接圆的半径为， 设正三棱柱外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积为，C错误； 因为，，，DE，平面DEF，所以平面DEF， 由上可得，，，，， 所以，， 设点F到平面DEM的距离为h，由，得，所以，即点F到平面DEM的距离为，D错误. 故选：AB. 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）在正四棱柱中，，E为的中点，则（   ） A．平面ABE B．平面ACE C．三棱锥的外接球的表面积为 D．直线与平面ABE所成的角为 【答案】BC 【解析】如图所示：    对于A，连接，BD，易证四边形为矩形，因为，所以，所以，又，因为，所以与BE不垂直，故A错误； 对于B，设，连接OE，因为E为的中点，O为BD的中点，所以，又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，故B正确； 对于C，三棱锥的外接球也是四棱锥的外接球，取BE的中点M，易证均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，所以，故M为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，易知，所以直线与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角，分别取的中点F，G，连接EF，BF，CG，，易证平面ABFE，连接AH，所以为直线AC与平面ABE所成的角．在中，，所以，所以，故D错误． 故选：BC． 9．（多选题）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．球在正方体外部的体积大于 C．球内接圆柱的侧面积的最大值为 D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则 【答案】ABD 【解析】解析：对于A．如图所示， 正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确； 对于B．若球体､正方体的体积分别为． 球在正方体外部的体积，故B正确； 对于C，球的半径，设圆柱的高为， 则底面圆半径， 所以， 当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误； 对于D，取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动， 所以（当为直径时，）， 所以．故D正确． 故选ABD．    10．（2025·陕西渭南·二模）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得， 球心到底面的距离为，， 由，得，得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：.    1.（2022年新高考1卷·8题）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱雉体积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为，底面中心到各顶点的距离为，，则，， ，， 故， 令 ，故，，，， 即，． 2.（2022年新高考2卷·7题）正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3， 下底面所在平面截球所得圆的半径是4， 则轴截面中由几何知识可得，或 解得，因此球的表面积是．故选A. 3．(2021年高考全国甲卷理科·11题)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为，则， 所以． 故选：A． 4.（2022年乙卷·理9文12题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是 边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则 所以该四棱锥的高，所以体积 当且仅当，即时，等号成立 所以该四棱锥的高 故选C 5.（2025·全国2卷·14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 【答案】 【解析】若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图， 则球的半径，此时，故不符合题意； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图， 则铁球半径满足，此时； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图， 其中为轴截面对角线，、为两球球心， 分别过作的平行线，过作的平行线，两线交于点， 设铁球半径为，则，，， 所以，解得或（舍去），故此时． 综上，铁球半径的最大值为． 故答案为：． 6.（2023·全国乙卷·文16题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【解析】如图，将三棱锥转化为直三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为，则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 7.（2023·全国甲卷·文16题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 【答案】 【解析】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，. 故答案为： 8.（2023·全国甲卷·理15题）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________． 【答案】12 【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，    由题意可知，为球心，在正方体中，，即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：12 9.（2023·新高考1卷·12题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得，且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 球的切、接问题 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 题型一：外接球之棱柱模型 4 题型二：外接球之棱锥模型 5 题型三：外接球之正棱锥、正棱台模型 6 题型四：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 7 题型五：外接球之空间多面体 9 题型六：内切球之正方体、正棱柱模型 9 题型七：内切球之棱锥模型 10 题型八：内切球之圆锥、圆台模型 11 题型九：棱切球之正棱锥模型 12 题型十：棱切球之台体、四面体模型 13 题型十一：多球相切问题 13 三阶突破训练 基础训练· 14 能力提升 16 真题感知 18 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 多种几何体（圆柱、正方体、三棱锥等）与球的关系及其相关性质 2025年新高考2卷第14题，5分 2023年甲卷（理）第15题，5分 2023年甲卷（文）第16题，5分 2023年乙卷（文）第16题，5分 2023年甲卷（文）第10题，5分 2022年Ⅱ卷第7题，5分 2022年I卷第8题，5分 2021年甲卷（理）第11题，5分 （1）理解基础空间图形及其简单组合体的概念与核心特征，具备解决基本实际问题的能力； （2）多面体和球体的计算题是近年考试的重点内容； （3）运用图形概念描述图形的基本关系和结果，突出考查直观想象与逻辑推理能力。 二、课标要求 1.能根据多面体、旋转体的几何性质确定内切球、外接球的球心. 2.会解决几何体内切球、外接球的相关问题. 三、知识导图 1.正方体与球 （1）内切球：内切球直径正方体棱长. （2）棱切球：棱切球直径正方体的面对角线长. （3）外接球：外接球直径正方体体对角线长. 2.长方体与球 外接球：外接球直径长方体体对角线长（，，分别为长方体的长、宽、高）. 3.正棱锥与球 （1）内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. （2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为，半径为，（正棱锥外接球半径为，高为）. 4.正四面体与球 若正四面体的棱长为，高为，正四面体的外接球半径为，内切球半径为，则，，，. 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心，则（为正三棱柱外接球半径，为正三棱柱的高）. 6.圆柱的外接球 （是圆柱外接球的半径，是圆柱的高，是圆柱底面圆的半径）. 7.圆锥的外接球 （是圆锥外接球的半径，是圆锥的高，是圆锥底面圆的半径）. 考点一：外接球之棱柱模型 典例1．在长方体中，，则该长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·安徽·模拟）已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点，则（　　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【方法技巧】 通过取中点、构造平行四边形及正三角形性质，结合空间几何关系，验证平面平行与垂直关系，并利用外接圆心确定外接球半径。 跟踪训练1．已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 考点二：外接球之棱锥模型 典例1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 （1）几何模型中，外接球的计算常需借助辅助线或补形法。 （2）关键步骤包括确定球心位置、利用几何关系（如勾股定理、余弦定理）求解半径。 （3）数值计算需精确，避免遗漏或多算条件。 跟踪训练1．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体ABCD中，，，，且，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 考点三：外接球之正棱锥、正棱台模型 典例1．正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 典例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 解决正棱锥、正棱台外接球问题的关键是利用对称性定位球心，通过勾股定理建立核心方程，结合几何关系和体积公式求解。需注意球心位置的多样性和几何关系的准确性，避免混淆概念。 跟踪训练1．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 2.已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 考点四：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 典例1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（    ） A． B． C． D．2 【方法技巧】 通过几何模型结合勾股定理和函数单调性分析，可有效解决外接球相关问题。 跟踪训练1．已知圆台的上、下底面半径分别为1，2，若圆台外接球的半径与圆台的母线长相等，则外接球的表面积为（    ） A． B． C．12π D．16π 2．（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点五：外接球之空间多面体 典例1．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为 ．    典例2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，且其侧面积是底面积的2倍，则此正六棱锥的外接球的表面积为 . 【方法技巧】 结合几何特性与代数推导，利用对称性简化复杂问题。 跟踪训练1．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 . 考点六：内切球之正方体、正棱柱模型 典例1．（2025·江苏南通·模拟）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【方法技巧】 正方体内切球：内切球直径正方体棱长. 跟踪训练1．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点七：内切球之棱锥、棱台模型 典例1．（25-26高二上·广东江门·开学考试）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为 . 典例2．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 正棱锥内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. 跟踪训练1．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为 . 考点八：内切球之圆锥、圆台模型 典例1．（2025·海南海口·模拟）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高二上·云南·开学考试）有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm，高度为120cm，现往里面装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装 个球．（附：，，） 【方法技巧】 正六棱柱有内切球时，内切球半径等于底面边长的一半，外接球半径为。 跟踪训练1．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    跟踪训练2．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 考点九：棱切球之正棱锥模型 典例1．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 【方法技巧】 （1）利用内切球的定义直接找球心和半径的关系. （2）利用等体积法直接来求半径（球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等）. 跟踪训练1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． 2.（25-26高三上·江苏·开学考试）已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 考点十：棱切球之台体、四面体模型 典例1．正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【方法技巧】 跟踪训练1．（多选题）如图，在边长为1的正方体中取四个顶点，得到正四面体，则下列正确的是（    ） A．正四面体的体积为 B．正四面体的外接球的半径为 C．正四面体的棱切球的半径为 D．正四面体的内切球的半径、棱切球的半径和外接球的半径成等比数列 2．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为 ．    考点十一：多球相切问题 典例1．（2025·安徽合肥·模拟）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    典例2．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知一圆锥的底面直径和母线长相等.在其内部放入半径分别为的三个小球，若三个小球两两相切，且三个小球均与圆锥的底面和侧面相切，则圆锥的母线长为 . 2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 1．正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 3．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）如图，这是某零件的结构模型，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球、正四面体的三个面均相切．若，则该模型中4个小球的体积为 ． 4．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川达州·模拟）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 9．（2025·湖南长沙·模拟）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知正三棱柱所有的顶点都在球的球面上，记球的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟）如图，在正三棱台中，，，，则下面结论正确的是（   ） A．该正三棱台的侧面与底面所成角的余弦值为 B．该棱台的体积为 C．该棱台的外接球的表面积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 3．（2025·云南昆明·模拟）已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西咸阳·模拟）（多选题）如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（   ） A．平面DEF B． C．球O的表面积为 D．点F到平面DEM的距离为 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）在正四棱柱中，，E为的中点，则（   ） A．平面ABE B．平面ACE C．三棱锥的外接球的表面积为 D．直线与平面ABE所成的角为 9．（多选题）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．球在正方体外部的体积大于 C．球内接圆柱的侧面积的最大值为 D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则 10．（2025·陕西渭南·二模）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 1.（2022年新高考1卷·8题）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱雉体积的取值范围是 A． B． C． D． 2.（2022年新高考2卷·7题）正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 A． B． C． D． 3．(2021年高考全国甲卷理科·11题)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 (　　) A． B． C． D． 4.（2022年乙卷·理9文12题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 A． B． C． D． 5.（2025·全国2卷·14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 6.（2023·全国乙卷·文16题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 7.（2023·全国甲卷·文16题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 8.（2023·全国甲卷·理15题）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________． 9.（2023·新高考1卷·12题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $