第02讲 导数与函数的单调性（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第2讲 导数与函数的单调性 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 2 03 探究核心考点 3 考点一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 3 考点二：求单调区间 6 考点三：利用导数比较大小 7 考点四：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 11 考点五：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 12 考点六：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 14 考点七：不含参数单调性讨论 16 考点八：含参数单调性讨论 17 三阶突破训练 基础训练· 19 能力提升 22 真题感知 28 一、5年真题考点分布 考点要求 考题统计 考情分析 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 2025年新高考1卷19题，17分 2024年甲卷（文）16题，12分 2024年甲卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（理）第16题，5分 2023年II卷第6题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2022年I卷第7题，5分 2021年浙江卷第7题，5分 高考对函数单调性的考查保持相对稳定，其考查内容、频率、题型及难度均无明显变化。无论试题如何变化，关键在于把握导数作为研究函数有力工具的特性，将函数单调性的本质问题借助图像予以直观呈现，后续即为具体问题的转化过程。 二、课标要求 1.结合实例，借助图象直观地了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 三、知识导图 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在上①_  _  _  _  _  _  _  _   在上②_  _  _  _  _  _  _  _   在上是③_  _  _  _  _  _  _  _   提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 【答案】单调递增； 单调递减； 常数函数 2.解题方法总结 （1）使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． （2）若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 考点一 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 典例1（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以；因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 典例2（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察函数图象发现在的左侧，，函数单调递增， 在的右侧，，函数单调递减，    所以由图函数的最小值为，解得， 故，求导得， 由图可知，故. 故选：B 【方法技巧】 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 跟踪训练1（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为，， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 跟踪训练2（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 考点二 求单调区间 典例1 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知函数定义域为，可得，显然， 令，可得，因此函数的单调递减区间是. 故选：A 典例2（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【方法技巧】 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出. （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线. （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 跟踪训练1 函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，因为，所以， 令，即，所以，解得，所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 跟踪训练2（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【解析】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 考点三 利用导数比较大小 典例1（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得：，令，则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 典例2（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】已知函数是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以， 所以函数的周期是4， 因为时，，求导得， 所以在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，，， 所以， 令，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以， 令，所以 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 令，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 所以，即， 又因为，即 所以，所以， 综上所述， ，. 故选：CD. 【方法技巧】 利用导数比较大小的方法 利用导数比较大小，其关键是构造函数，把比较大小问题转化为利用导数判断函数单调性问题.比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较. 跟踪训练1（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，代入得 ，解得，可得，， 令，，可知在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减，在处取得最大值，， 所以在上，则，所以在上单调递减， 设，可知， 则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即， 综上可知，，由在上单调递减得. 故选：D. 跟踪训练2（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】单调递增， 因为 且 且， 故， 令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增， 因为 且， 故， 即 ； 令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减， 因为 且， 则 ， 因此. 故选：D. 考点四 已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 典例1（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知在上恒成立，所以，得. 故选：D. 典例2（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 【方法技巧】 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数在区间上单调递增（减）转化为在区间上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题. （2）由函数单调递增（减）区间是转化为在函数定义域内的解集是. （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间内恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值. 跟踪训练1（2025·河南·模拟）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【解析】的解集为，即的解集为，所以，解得. 故答案为：. 跟踪训练2（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得在上恒成立，则. 因为，要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 考点五 已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 典例1（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 典例2（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 【方法技巧】 1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）. 跟踪训练1.已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，定义域为，. 若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去； 当时，由可知，或（舍去）. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增. 由已知函数在上不是单调函数， 所以应有，所以. 故选：A. 跟踪训练2.若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】令得， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 当时，，所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意），结合选项得可能为． 故选：B. 考点六 已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 典例1（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导可得，由题意有解， 即有解，即有解，令， 因为，易知在单调递增，此时，所以， 又，，所以，解得：，所以的取值范围是. 故选：B. 典例2（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【方法技巧】 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数在区间上单调递增（减）转化为在区间上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题. （2）由函数单调递增（减）区间是转化为在函数定义域内的解集是. （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间内恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值. 跟踪训练1．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 跟踪训练2（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B 考点七 不含参数单调性讨论 典例1 已知，若，求的单调区间. 【答案】为单调递减区间；为单调递增区间. 【解析】若，则，求导得， 令可得，令可得， 故在上单调递减；在上单调递增. 典例2（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数．(1)，求的单调区间； 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】（1）依题意，当时，，此时函数的定义域为， ， 令，即，解得； 令，即，解得； 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【方法技巧】 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 跟踪训练1（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是 【解析】（1）当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 跟踪训练2（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数(1)当时，求单调区间 【答案】(1)答案见详解 【解析】（1）当时，定义域为，且， 令，解得或（舍去），即， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 考点八 含参数单调性讨论 典例1（2025·江西新余·模拟预测）设函数. (1)若，求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）依题意得. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 典例2 已知，.(1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）由题可知：函数的定义域为 ，由，令，所以或， 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 当时，在恒成立，所以函数在单调递减； 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减 【方法技巧】 (1)当导函数形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为零的情形，其判定过程较为简明；当一次项系数非零时，需讨论导函数零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像的几何特征判定其符号，进而确定原函数的单调区间。 (2)若导函数为含参且可因式分解的二次函数，则令该二次函数等于零，求解其根并比较根的大小关系，据此划分定义域区间，通过判定导函数在各子区间的符号变化，确定原函数的单调性。 (3)若导函数为含参且不可因式分解的二次函数，须通过判别式对其根的存在性及数量进行判断，进而划分定义域进行讨论。 跟踪训练1（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性； 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. 【解析】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 跟踪训练2 已知函数．(1)讨论的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， ，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． 1．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】求导得，要满足函数在区间上单调递增， 则，即，因为，所以，即， 故选：B. 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 因为是上的增函数，则恒成立，即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立，则. 故选：C. 3.若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得： 故选：B. 4．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 5．若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由题设在区间上单调递增，所以恒成立， 所以上恒成立，即恒成立，而在上递增，故. 所以A符合要求. 故选：A 6．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 【答案】 【解析】已知函数的一个零点为3，所以将代入函数得，即，解得．所以，所以， 令，即，解得，所以的单调减区间是. 故答案为：. 7．（24-25高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，在区间上能成立，即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 8．（2025·内蒙古·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 依题意，不等式在上有解，即在上有解， 令，，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，因此，所以实数的取值范围是. 故选：C 9.已知函数.若，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 当时，，所以， 设，因为、都在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. 10．（2024·上海·三模）设，． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)函数在区间和上严格增，在上严格减 【解析】（1）由题意知．令得或． 当或时，当时． 所以函数在区间和上严格增， 在上严格减． 1．[2025·贵阳适应性考试]已知是定义在上连续可导的偶函数，且也是偶函数，若,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.为 上的偶函数，所以,对等式两边求导有.因为 是偶函数，所以.由①②得.当 时，,单调递增；当 时,,单调递减.又,所以,得 或. 2．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数的取值范围为． 故选：B 3．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，可得， 因为函数在上存在单调递减区间， 可得在上有解， 即在上有解， 令，则，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以. 故选：D． 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别： 恒成立问题： ①恒成立；恒成立． ②恒成立；恒成立． ③恒成立； 恒成立． ④． 有解问题： ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得． 4．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 5．（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，根据对数运算法则，可得. 由完全平方公式，则. 根据三角函数的平方关系以及二倍角公式， 所以，即. 又已知，可变形为. 设，.对求导，可得. 因为的值域是，所以，这表明在上单调递增. 那么，把代入得，所以在上恒成立. 令，则，即. 设，.对求导，可得. 因为，所以，即在上恒成立，这表明在上单调递增. 所以，把代入得，则在上恒成立. 令，则，又因为，所以，即. 设，对求导，可得. 因为时，，所以在上恒成立，这表明在上单调递增. 所以，把代入得， 即在上恒成立. 令，则，得到，即. 综上，， 即. 故选：B 6．(2025·成都模拟)已知函数在区间上不单调，则的取值范围是_______ . 【答案】, 【解析】由题意知， 因为 在区间 上不单调，即 在区间 有变号零点，又，所以，，， 所以 在区间 内， 所以 解得，即 的取值范围是,. 7．[2025·石家庄模拟]（多选）已知函数，若实数，满足不等式则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.因为 的定义域为，为奇函数，函数 的图象向右平移两个单位长度可得 的图象， 所以 的图象关于点 对称，所以， 因为，所以 在 上为增函数， 由 ,化为， 等价于，所以，所以，成立， 不能推出，． 8．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性； 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； 【解析】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． 9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）由得 ， 当时，，在和单调递增； 当时，令，则，解得或； 令，则，解得或； 综上，当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为和， 递减区间为和. 10.设函数，其中，讨论的单调性. 【解析】由 ①时，由，令，解得， 所以时，时，， 则在单调递增，在单调递减； ②时，由， （i）时，因为，则在单调递增， （ii）时，，解得或， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； （iii）时，由， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； 综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 1．（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024全国甲卷数学（文））曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 4．（2024全国甲卷数学（文））已知函数．(1)求的单调区间； 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 5．（2024新高考北京卷）已知在处切线为l． (1)若，求单调区间； 【解析】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 6．（2023年高考全国乙卷数学（文））已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 7．（2025新高考1卷）（1）设函数．求在，的最大值； 【解答】（1）解法一：解：由已知得： ， 因为，所以，， 所以，故只需判断的符号即可，由，解得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以； 解法二：令.注意到，故或，即或. 于是，时，，所以，即，此时单调递增； 时，，所以，即，此时单调递减. 所以. 解法三： . 当时，单调递增；当时，，单调递减. 于是. 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 导数与函数的单调性 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 2 03 探究核心考点 3 考点一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 3 考点二：求单调区间 6 考点三：利用导数比较大小 7 考点四：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 11 考点五：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 12 考点六：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 14 考点七：不含参数单调性讨论 16 考点八：含参数单调性讨论 17 三阶突破训练 基础训练· 19 能力提升 22 真题感知 28 一、5年真题考点分布 考点要求 考题统计 考情分析 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 2025年新高考1卷19题，17分 2024年甲卷（文）16题，12分 2024年甲卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（理）第16题，5分 2023年II卷第6题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2022年I卷第7题，5分 2021年浙江卷第7题，5分 高考对函数单调性的考查保持相对稳定，其考查内容、频率、题型及难度均无明显变化。无论试题如何变化，关键在于把握导数作为研究函数有力工具的特性，将函数单调性的本质问题借助图像予以直观呈现，后续即为具体问题的转化过程。 二、课标要求 1.结合实例，借助图象直观地了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 三、知识导图 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在上①_  _  _  _  _  _  _  _   在上②_  _  _  _  _  _  _  _   在上是③_  _  _  _  _  _  _  _   提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 【答案】单调递增； 单调递减； 常数函数 2.解题方法总结 （1）使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． （2）若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 考点一 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 典例1（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·江苏·模拟预测）已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【方法技巧】 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 跟踪训练1（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 跟踪训练2（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 考点二 求单调区间 典例1 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出. （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线. （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 跟踪训练1 函数的单调增区间为（    ） 跟踪训练2（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 考点三 利用导数比较大小 典例1（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 利用导数比较大小的方法 利用导数比较大小，其关键是构造函数，把比较大小问题转化为利用导数判断函数单调性问题.比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较. 跟踪训练1（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点四 已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 典例1（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数在区间上单调递增（减）转化为在区间上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题. （2）由函数单调递增（减）区间是转化为在函数定义域内的解集是. （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间内恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值. 跟踪训练1（2025·河南·模拟）若函数的减区间为，则的值为 . 跟踪训练2（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五 已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 典例1（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例2（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）. 跟踪训练1.已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2.若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 考点六 已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 典例1（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数在区间上单调递增（减）转化为在区间上恒成立，列出不等式，常用分离参数法或函数的性质求解不等式恒成立问题. （2）由函数单调递增（减）区间是转化为在函数定义域内的解集是. （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间内恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值. 跟踪训练1．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七 不含参数单调性讨论 典例1 已知，若，求的单调区间. 典例2（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数．(1)，求的单调区间； 【方法技巧】 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 跟踪训练1（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； 跟踪训练2（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数(1)当时，求单调区间 考点八 含参数单调性讨论 典例1（2025·江西新余·模拟预测）设函数. (1)若，求的单调区间； 典例2 已知，.(1)讨论的单调性； 【方法技巧】 (1)当导函数形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为零的情形，其判定过程较为简明；当一次项系数非零时，需讨论导函数零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像的几何特征判定其符号，进而确定原函数的单调区间。 (2)若导函数为含参且可因式分解的二次函数，则令该二次函数等于零，求解其根并比较根的大小关系，据此划分定义域区间，通过判定导函数在各子区间的符号变化，确定原函数的单调性。 (3)若导函数为含参且不可因式分解的二次函数，须通过判别式对其根的存在性及数量进行判断，进而划分定义域进行讨论。 跟踪训练1（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性； 跟踪训练2 已知函数．(1)讨论的单调性： 1．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） 3.若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 4．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 7．（24-25高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·内蒙古·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数.若，讨论的单调性； 10．（2024·上海·三模）设，． (1)讨论函数的单调性； 1．[2025·贵阳适应性考试]已知是定义在上连续可导的偶函数，且也是偶函数，若,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．(2025·成都模拟)已知函数在区间上不单调，则的取值范围是_______ . 7．[2025·石家庄模拟]（多选）已知函数，若实数，满足不等式则（ ） A. B. C. D. 8．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性； 9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性； 10.设函数，其中，讨论的单调性. 1．（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2024全国甲卷数学（文））曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 4．（2024全国甲卷数学（文））已知函数．(1)求的单调区间； 5．（2024新高考北京卷）已知在处切线为l． (1)若，求单调区间； 6．（2023年高考全国乙卷数学（文））已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 7．（2025新高考1卷）（1）设函数．求在，的最大值； 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$