第七章 2 培优课13 球的切、接问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考球的切接问题核心考点，涵盖外接球（墙角、对棱相等、汉堡、垂面模型）及内切球，按几何体特征分类梳理，以构造补形思想串联。通过题型精讲、方法归纳、真题演练环节，帮助学生建立解题框架，突破难点，体现复习系统性与针对性。 讲义创新采用模型化教学策略，如墙角模型构造长方体，培养学生空间观念与推理能力。设置例题解析与对点练分层训练，确保复习高效，助力学生快速掌握解题方法，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

培优课13　 球的切、接问题 题型一　墙角模型构造长方体处理外接球问题 (2025·安徽合肥质检)在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC的三个内角B，A，C成等差数列，SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为　　　　. 答案：8π 解析：由题意得，△ABC的内角B，A，C成等差数列，可得2A＝B＋C，因为A＋B＋C＝π，可得3A＝π，即A＝，在△ABC中，由余弦定理可得cos A＝＝＝，解得BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，如图，所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径，可得(2R)2＝22＋12＋()2，解得R2＝2，所以该四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. 　　遇到以上三种三棱锥均可构造长方体求解外接球半径R；长方体的体对角线长即为球的直径. 对点练1.已知在三棱锥P-ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为(　　) A. B.4π C. D.4π 答案：A 解析： AB＝＝，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得 ＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝.故选A. 题型二　对棱相等的三棱锥模型构造长方体求解 在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 答案：C 解析：由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.故选C. 　　若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等(AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，AC＝BD＝z)，则把三棱锥放在长方体中，那么长方体的体对角线长即为三棱锥外接球的直径. 对点练2.已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　. 答案：34π 解析：根据题意，三棱锥P-ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以该三棱锥的外接球的半径R＝＝＝，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝34π. 题型三　汉堡模型处理柱体、台体的外接球问题 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π (2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　　　　. 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故｜d1－d2｜＝1或d1＋d2＝1，即｜－｜＝1或＋＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A. (2)如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r＝＝＝2，可得r＝，设三棱锥S -ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，O1A，则OA＝2，O1A＝，OO1＝SA，因为OA2＝O＋O1A2，即4＝SA2＋3，解得SA＝2. 　　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可. 对点练3.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60°，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为(　　) A.56π B.64π C.112π D.128π 答案：C 解析：如图，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，EF是圆台的旋转轴，圆台上、下底面的面积之比为1∶4，则半径比为1∶2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，因为母线与轴的夹角是60°，母线长为2，可得圆台的高为1，r＝，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点M位置，则R2＝x2＋(2)2且R2＝(1－x)2＋()2，无解；若圆台两底面在球心同侧，如图点O位置，则R2＝x2＋(2)2且R2＝(1＋x)2＋()2，解得x＝4，则R2＝28，则该圆台外接球的表面积为4πR2＝112π.故选C. 题型四　垂面模型处理外接球问题 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为(　　) A.π B.π C.32π D.π 答案：B 解析：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为O1，O2，分别过O1，O2作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知，点O即为外接球的球心，取线段AB的中点E，连接O1E，O2E，O2D，OD，则四边形O1EO2O为矩形，在等边△PAB中，可得PE＝2，则O1E＝，即OO2＝，在正方形ABCD中，因为AB＝4，可得O2D＝2，在Rt△OO2D中，可得OD2＝O＋O2D2，即R2＝O＋O2D2＝，所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为S＝4πR2＝π.故选B. 　　此类问题的关键是寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心记为O1，O2，分别过O1，O2作两个平面的垂线记为l1，l2，l1，l2的交点即为外接球的球心.然后计算出外接球的半径即可. 对点练4.已知三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且AB⊥AC，∠SCA＝30°，若AB＝SA＝4，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为(　　) A.64π B.128π C.40π D.80π 答案：D 解析：由题意得，BA⊥平面SAC，将三棱锥补成三棱柱SAC-S1BC1，如图，则三棱柱SAC-S1BC1的外接球即为所求三棱锥S-ABC的外接球.设外接球的球心为O，△SAC的外心为O1，则OO1＝AB＝2，又O1A＝×＝4，则外接球的半径R＝＝2，所以三棱锥S-ABC外接球的表面积S＝4πR2＝80π.故选D. 学生用书⬇第168页 题型五　内切球问题 (1)已知圆台的上、下底面半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A.3π B.5π C.8π D.9π (2)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该四棱锥内切球的表面积是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面.由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r.根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球O的直径为HG＝＝2，故球O的半径为R＝，所以球O的表面积为4πR2＝8π.故选C. (2)过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，如图，因为AB＝6，所以OA＝3，所以OP＝＝＝，则四棱锥P-ABCD的体积V＝×62×＝12，四棱锥P-ABCD的表面积S＝6×6＋×6××4＝84.设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r，内切球的球心为O'，由V＝VO'-ABP＋VO'-BCP＋VO'-CDP＋VO'-ADP＋VO'-ABCD，可得V＝Sr，即12＝×84r，解得r＝，故四棱锥P-ABCD内切球的表面积是4πr2＝.故选C. 1.“切”的处理 解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面. 2.与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 注意：体积分割是求内切球半径的通用方法. 对点练5.(1)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，且SA＝3，AB＝4，AC＝5，若球O在三棱锥S-ABC的内部且与四个面都相切(称球O为三棱锥S-ABC的内切球)，则球O的表面积为(　　) A. B. C. D. (2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)因为SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BC，又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB，所以△SAB，△ABC，△SAC，△SBC均为直角三角形，设球O的半径为r，则V三棱锥S-ABC＝(S△SAB＋S△ABC＋S△SAC＋S△SBC)·r，而V三棱锥S-ABC＝×3××3×4＝6，S△SAB＝SA·AB＝6，S△ABC＝AB·BC＝6，S△SAC＝S△SBC＝×3×5＝，所以·r＝6，解得r＝，所以球O的表面积为S＝4πr2＝4π×＝.故选A. (2)易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC＝2，AB＝AC＝3，且点M为BC边上的中点，设内切球的球心为O，由于AM＝＝2，故S△ABC＝×2×2＝2.设内切球的半径为r，则S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·r＋BC·r＋AC·r＝×(3＋2＋3)×r＝2，解得r＝，其体积V＝πr3＝. 学科网（北京）股份有限公司 $