专题05 二次函数与几何（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期人教版

专题05 二次函数与几何 4大高频考点概览 考点01 二次函数与面积问题 考点02 二次函数与四边形、三角形 考点03 二次函数与几何最值 考点04 二次函数与其他几何问题 地 城 考点01 二次函数与三角形 1．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．连接，．若，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 3．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为 ． 4．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)已知抛物线交轴于和，交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及点的坐标． 地 城 考点02 二次函数与四边形、三角形 1．(24-25九上·广西玉林·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    2．(24-25九上·广西玉林·期中)综合与实践 【问题提出】 某数学兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，S＝________； ②求S关于t的函数解析式． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段的长． 【延伸探究】 （3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 4．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 5．(24-25九上·广西南宁西乡塘区安吉中学重点班·期中)如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 二次函数与几何最值 1．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西防城港·期中)【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 3．(24-25九上·广西玉林北流·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 5．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)如图1，抛物线的图象经过． (1)求的值以及抛物线顶点坐标； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围． 地 城 考点04 其他问题 1．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： (1)求出图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； (3)将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 2．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． (1)若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (2)已知点，． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②经过P，Q两点的直线向下平移，当它与①中的抛物线有唯一交点时，求此时直线的解析式． 3．(24-25九上·广西南宁新民中学·期中)在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 4．(24-25九上·广西南宁邕宁区民族中学·期中)定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题： (1)直接写出函数的“旋转函数”． (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数与几何 3大高频考点概览 考点01 二次函数与面积问题 考点02 二次函数与四边形、三角形 考点03 二次函数与几何最值 考点04 二次函数与其他几何问题 地 城 考点01 二次函数与三角形 1．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．连接，．若，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数解析式分别求出A、B、C、D的坐标，再根据，得到关于a的方程，故可求解． 【详解】∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． 令=0 解得x1=-2a，x2=3a， ∴A（-2a，0），B（3a，0） 令x=0， ∴C（0，） 联立抛物线与直线得 解得或 ∴D（2a，） ∵ ∴ ∴= 解得a=2 故选B． 【点睛】此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、坐标的特点及三角形的面积公式． 2．(24-25九上·广西河池巴马县·期中)如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 3．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键． 根据一次函数与坐标轴的交点可得的坐标，代入二次函数解得解析式，设，过点作轴于点，交于点，可得，，由，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，，令，， ∴， ∵二次函数的图象经过，两点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：， ∵点为直线下方的抛物线上一动点， 设， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下，二次函数有最大值， ∴当时，有最大，最大值为， 故答案为： ． 4．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)已知抛物线交轴于和，交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为， 【分析】（1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的解析式； （2）过P作轴于D，过点P作交与点Q，由中得，即得直线解析式为，可得是等腰直角三角形，，即知最大时，就最大，面积的就最大，设，则，，即得进而得出结果． 【详解】（1）解：将和代入， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，过点P作交与点Q，如图： 在中，令得， ，即， 而，即， ， 是等腰直角三角形，直线解析式为， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， 最大时，就最大，面积的就最大， 设，则， ， ， 时，最大为1， 此时，最大值为， 则． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，得到最大时，就最大，面积的就最大为解题关键． 地 城 考点02 二次函数与四边形、三角形 1．(24-25九上·广西玉林·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 2．(24-25九上·广西玉林·期中)综合与实践 【问题提出】 某数学兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，S＝________； ②求S关于t的函数解析式． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段的长． 【延伸探究】 （3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）①4；②3 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，则； （2）由（1）知，抛物线过点，顶点为：，可得，当时，则，解方程即可求解； （3）在题干图中画出，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等，则，，如图所示，此时符合题意：①从图象看，，关于对称，则，则；②从图象看，关于对称，则②，而③，由①②③得：，解得：，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：①∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知，抛物线过点，顶点为：， 则抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，则， 解得：（舍去）或8， 则； （3）在题干图中画出，如下图： 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等， 则，，如上图所示，此时符合题意． ①从图象看，，关于对称， 则， 则①， 故答案为：4； ②从图象看，关于对称， 则②， 而③， 由①②③得：， 解得：， 当时，， 即正方形的面积为3． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点、代入解析式， 得， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． （3）解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 4．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣． 【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； (2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可； (3)分两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9； (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)； (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想. 5．(24-25九上·广西南宁西乡塘区安吉中学重点班·期中)如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 地 城 考点03 二次函数与几何最值 1．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值． 【详解】解：连结BP， ∵抛物线与轴交于A、两点， 当y=0时，， 解得， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角△COB中， BC=， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP， 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， OQ=BP=． 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 2．(24-25九上·广西防城港·期中)【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 【答案】（1）点坐标为，抛物线解析式为，（2），它的最大值． 【分析】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题． （1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，根据直线的解析式为可得C的坐标，由此即可确定抛物线解析式； （2）根据点在抛物线解析式上，由解析式即可表示点的坐标， （3）由，，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可； 【详解】解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，， ∴点坐标为， 又∵点是抛物线与轴的交点； ∴， ∴抛物线解析式为， （2）∵点在抛物线解析式上， ∴当代入得， 即点 （3）∵P在线段上运动 ∴M点在N点上方， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，的最大值为 3．(24-25九上·广西玉林北流·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)当的值最小时，P点坐标为 【分析】本考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的对称轴为直线；先解方程得，再确定，由两点间距离公式可求出； （2）交直线于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后确定P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，即， 解得， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 点与点关于直线对称， ， 当点、、共线时，为最小值， 即为的最小值． 设直线的解析式为， 由（1）可知，，， 把，分别代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴当的值最小时，P点坐标为． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 5．(24-25九上·广西南宁江南区·期中)如图1，抛物线的图象经过． (1)求的值以及抛物线顶点坐标； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，的最大值为，的最小值 (3)，当时，随的增大而减小 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象平移的规律及性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可的二次函数解析式，根据顶点坐标公式即可求解； （2）根据二次函数图象的增减小，分别求出顶点坐标，当时的函数值，当时的函数值进行分析即可求解； （3）根据二次函数图形的平移规律得到新函数的解析式，再分类讨论：当时，；当时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当，随的增大而增大，当，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的最大值为，的最小值； （3）解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线， ∴， 当时，，整理得，， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，，， 当时，，， 综上所述，，当时，随的增大而减小 ． 地 城 考点04 其他问题 1．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： (1)求出图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； (3)将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 【答案】(1) (2)的宽度为 (3) 【分析】本题考查二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）液面下降了, 即即可求解； （3）以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，求出点，得到直线的解析式为：进而求解. 【详解】（1）由题意知: ∵抛物线的顶点为, ∴可设抛物线的解析式为： 把点 代入，得 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）∵液面下降了, ∴此时液面距碗底距离为 即 当 时, ， 解得(舍去), ∴液面的宽度为 （3）以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点, 如图: 将酒碗绕点缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为即 设直线的解析式为与轴交于点,如图: 由题意知：点 ， ， 即点,由点的坐标得， ，解得， 直线的解析式为：， 联立上式和抛物线的表达式得： 解得： 或 ， 则点， ∴． 2．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． (1)若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (2)已知点，． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②经过P，Q两点的直线向下平移，当它与①中的抛物线有唯一交点时，求此时直线的解析式． 【答案】(1)C，， (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将，，代入求出函数解析式，再求顶点和与x轴的交点坐标即可； （2）①，代入待定系数法进行求解即可；②设平移前直线的解析式为，将，代入求出解析式，设平移后的解析式为与抛物线解析式联立，根据与抛物线有唯一交点得，求出b值即可． 【详解】（1）解：当，时，， ∴顶点C的坐标为； 当时，，即， 解得：，， ∴，； （2）①抛物线恰好经过P，Q两点， 则：， 解得：； ∴ ②设平移前直线的解析式为 解得 ∴ 设平移后的解析式为 ∴ 整理得 ∵抛物线与直线有唯一交点 ∴ 解得 ∴ 3．(24-25九上·广西南宁新民中学·期中)在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【答案】（1）描点连线见解析，；（2）选择方法一，，，a；（3）或 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于第一个二次函数：，由，得，则第二个二次函数距线段的距离的，进而求解． 【详解】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点B的坐标代入函数表达式得：： 故答案为：： （2）方案一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方案二：点 将点B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：，则， 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定． （3）由题意知：，由（2）知① 对于抛物线，可知，设 则，即 对于抛物线，设 因为两个函数的顶点之间的距离是10， 所以，即，所以或 当时，代入①式，则有，所以 当时，代入①式，则有，所以 综上，或 4．(24-25九上·广西南宁邕宁区民族中学·期中)定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题： (1)直接写出函数的“旋转函数”． (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：根据题意得， ∴ ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $