精品解析：广东省肇庆市端州区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

肇庆市端州区初中九年级2024-2025学年第一次教学质量检测 数学学科 说明： 1．本卷必须在120分钟内完成，满分为120分； 2．试卷的答案填写在答题卡相应的位置内，答案不能答在试卷上； 3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 计算：的结果是（　　） A. B. 4 C. D. 8 2. （11·肇庆）我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4 050 000 人，这个数用科学记教法表示为 A. 405×104 B. 40.5×105 C. 4.05×106 D. 4.05×107 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 5. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A. B. C. D. 6. 时钟上的分针旋转一周需要，则经过，分针旋转了（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 方程有实数根，则k的值可以是________．（写出一个即可） 12. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋概率变为，则x的值是________． 13. 已知点与点关于点对称，则________． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是________米． 15. 如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解不等式组：． 17 解方程：． 18. 某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的中，求证：点在上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于x轴对称，画出； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点C经过的路径长． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数： （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问是否存在最大面积？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市端州区初中九年级2024-2025学年第一次教学质量检测 数学学科 说明： 1．本卷必须在120分钟内完成，满分为120分； 2．试卷的答案填写在答题卡相应的位置内，答案不能答在试卷上； 3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 计算：的结果是（　　） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. （11·肇庆）我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4 050 000 人，这个数用科学记教法表示为 A. 405×104 B. 40.5×105 C. 4.05×106 D. 4.05×107 【答案】C 【解析】 【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答：解：4 050 000=4.05×106， 故选C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可． 【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； C. 当时，，所以点不该抛物线上，不符合题意； D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 5. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当s取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可． 【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来， ∴t= =20， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键． 6. 时钟上的分针旋转一周需要，则经过，分针旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周为是解题的关键． 先求出分针每分钟旋转，再求得经过，分针旋转的度数即可． 【详解】解：根据题意知，分针旋转一周需要，则分针每分钟旋转， ∴经过，分针旋转了． 故选C． 7. 如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长． 【详解】解：由题意可得：∵，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：D． 8 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用字母“a”出现的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵单词中，一共有11个字母，其中字母“a”有2个， ∴在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为， 故选：B． 10. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=3S底面面积=3πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R， 故R=3r． 由l扇形弧长= 得： 2πr= 解得n=120°． 故选：A． 【点睛】本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 方程有实数根，则k的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】1（大于等于1的数均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一般式，再由题意可得判别式大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是1， 故答案为：1（大于等于1的数均可）． 12. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 13. 已知点与点关于点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是________米． 【答案】145 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． 15. 如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，勾股定理．由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，再根据，得到，进而求出，根据题意得到，即，可求 ，得到，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：． 18. 某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价定为x元，总利润为w元，根据总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【详解】解：设售价定为x元，总利润为w元， 由题意得： ， ∵， ∴当时，元， ∴当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的中，求证：点在上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可得到解答； （2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，则，得，由由且得到，则，即，即可得证． 【小问1详解】 如图所示，为所求， ； 【小问2详解】 如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴且， ∴ ∴，即， ∴三点共圆，点在上． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于x轴对称，画出； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点C经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及求弧长： （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （3）利用弧长公式求得点C经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数： （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）60 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问是否存在最大面积？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，面积的最大值为；此时； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为方程组求解； （2）过点P作于点N，交于点M．证明是等腰直角三角形，推出，求出的最大值，可得结论； （3）设，则，求出点N在抛物线上时，a的值，可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 存在最大面积； 过点P作于点N，交于点M．如图， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的值最大时，的值最大，的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值， ∴的最大值， ∴的面积最大值为：， 此时； 【小问3详解】 设，则， 当点N在抛物线上时，， ∴， 解得，， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $