5.3 二元一次方程组的应用　导学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

5.3 第2课时 应用二元一次方程组——增收节支和配套问题 素养目标 1.会正确运用表格分析问题中的数量关系,会列方程组解决实际问题. 2.进一步体会数学与实际生活的联系,体会数学源于生活又用于生活. 3.在列二元一次方程组解决实际问题的过程中,体会实际问题与数学模型间的关系,培养应用意识. 重点 会列二元一次方程组解决实际问题. 【自主预习】 1.解决增收节支类问题时,要明确收入、支出、利润(或结余),写出这几个量之间的关系:　　　　.  2.要解决配套问题,需明晰　　　　、　　　　、　　　　这几个量的内在联系,列出二元一次方程组,进而解决实际问题.  3.利用二元一次方程组解决实际问题,一般先设出　　　　,再找出　　　　,然后列出方程组求解.  1.小李家去年节余50 000元,今年节余95 000元,并且今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,今年的收入与支出各是多少?设去年的收入为x元,支出为y元,则以下方程组正确的为 (　　) A. B. C. D. 2.某公司去年的总收入比总支出多50万元,今年比去年的总收入增加10%,总支出节约20%,今年的总收入比总支出多100万元.则去年的总收入是　　　　万元,总支出是　　　　万元.  【合作探究】 知识点一：列方程组解“增收节支”类问题 阅读课本本课时“例2”之前的内容,思考下列问题. 列二元一次方程组解决实际问题的关键是　　　　,在分析数据之间的关系时,可借助　　　　、　　　　等简化分析过程.  讨论　如果教材中所给的问题条件不变,求去年的总收入、总支出各是多少万元,应该怎么做? 1.某商场向银行申请了甲、乙两种贷款,共计40万元,每年需付出1.7万元利息.已知甲种贷款的年利率为4%,乙种贷款的年利率为5%,则该商场甲、乙两种贷款的数额分别为　　　　万元.  知识点二：列方程组解“配套”类问题 阅读课本本课时“例2”的内容,思考下列问题. 1.解决配套问题时我们可以采用像“例2”中的　　　　,使数据关系更加清晰明了.  2.①解决配套问题时我们还可以绘制简单的示意图,以直观呈现配套关系.例如在螺钉和螺母配套问题中,通过画图形代表螺钉和螺母,用连线方式表示配套对应关系,帮助分析生产限制条件下的等量关系. ②某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母,一个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 补全图形: 得到方程组:　　　　.  2.(新素材·数学文化)《天工开物》中记载:“凡扎花灯,需竹篾八分,彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯,每盏大灯用竹篾1.2米,彩绢5米,每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢,设制作大灯x盏,小灯y盏,则可列方程组:　　　　.  列表寻找实际问题中的等量关系 例　(方法指导:可列表寻找数量关系)某市现有42万人口,计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个市现在的城镇人口与农村人口. 变式训练 甲、乙两种盐水,若分别取甲种盐水240 mL,乙种盐水120 mL,混合后,制成的盐水浓度为8%;若分别取甲种盐水80 mL,乙种盐水160 mL,混合后,制成的盐水浓度为10%.问甲、乙两种盐水的浓度各是多少?如果设甲种盐水的浓度为x,乙种盐水浓度为y,根据题意,可列方程组:　 .  参考答案 【自主预习】 预学思考 1.利润(或结余)=收入-支出 2.配套物品的数量比例;各自的生产数量;生产材料或工时总量 3.两个未知数;两个等量关系 自学检测 1.B　2.200;150 【合作探究】 知识生成 知识点一 寻找等量关系;表格;图形 讨论　 如果设去年的总收入为x万元,总支出为y万元. 根据题意可得解得 答:去年的总收入为2 400万元,总支出为1 620万元. 对点训练 1.30,10 知识点二 1.表格 2. 对点训练 2. 题型精讲 题型 例　解:设现在城镇人口是x万人,农村人口是y万人,则 人口 城镇 农村 全市 现有人数/万人 x y 42 一年后增加人口/万人 0.8% x 1.1% y 1%×42 解得 答:略. 变式训练　 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 第1课时 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 素养目标 1.会列二元一次方程组解决实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 2.经历鸡兔同笼问题的解决过程,激发学习数学的兴趣. 3.在列二元一次方程组解决实际问题的过程中体会实际问题与数学模型间的关系,培养应用意识. 重点 会列二元一次方程组解决实际问题. 【自主预习】 1.解二元一次方程组的基本思路是　　　　,将方程组转化为一元一次方程求解的常用方法有　　　　和　　　　.  2.用加减消元法解二元一次方程组时,关键是观察方程组中同一未知数的系数,若系数　　　　,可直接　　　　消元;若系数不同,需先将系数化为　　　　再进行加减消元.  3.“鸡兔同笼” 问题中,涉及鸡和兔的　　　　和　　　　这两个关键数量关系,可据此列出二元一次方程组求解.  1.我国民间流传着许多趣味算术题,它们多以顺口溜的形式流传.例如:一群老头去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一梨,一人两个少两梨,请问君子知道否,几个老头几个梨?若设有x个老头,y个梨,则下列方程组正确的为(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.某农户饲养了白鸡和黑鸡共200只,白鸡的只数是黑鸡的三倍,设白鸡有x只,黑鸡有y只,根据题意可列二元一次方程组:　　　　.  【合作探究】 知识点：列二元一次方程组解决问题 阅读课本本课时的内容,思考下列问题. 在列二元一次方程组解决实际问题时,要找出　　　　个等量关系,设　　　　个未知数,列两个二元一次方程.  建立二元一次方程组解决实际问题的步骤如下: 实际问题　　　　→解方程组→检验并写出　　　　.  讨论　你觉得用二元一次方程组解决实际问题时需要注意哪几个问题? 1.我国流传着这样一道题:人驴27,100条腿去赶集.则有 (　　) A.3个人,24头驴　　　　B.4个人,23头驴 C.5个人,22头驴　　　　D.6个人,21头驴 2.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作,其中有一道方程的应用题:“五只雀、六只燕,共重16两,雀重燕轻.互换其中一只,恰好一样重.问每只雀、燕的质量各为多少?”解:设雀每只x两,燕每只y两,则下列方程组正确的为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 利用二元一次方程组解决古典数学问题 例　请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何?”假设树有x棵,鸦有y只,根据题意,以下方程组正确的是(　　) A.　　　　B. C.　　　　 D. 变式训练 程大位《算法统宗》中有“隔沟计算”题目如下: 甲乙隔沟放牧,二人暗里参详.甲云得乙九只羊,多你一倍之上. 乙说得甲九只,二家之数相当.两人闲坐恼心肠,画地算了半晌. 这个题目翻译成现代文的意思就是甲、乙牧人隔着山沟放羊,两个人都在暗思对方有多少羊.甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就相等.”两人都在用心计算着对方的羊数,在地上列算式计算了半天才知道对方的羊数.你能帮他们求出他们各有多少只羊吗? 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.消元;代入消元法;加减消元法 2.相同或互为相反数;相减或相加;相同或互为相反数 3.头的数量;脚的数量 自学检测 1.C　2. 【合作探究】 知识生成 知识点 两;两;列方程组;答案. 讨论 1.认真读题和审题,弄清古代问题的现实意义; 2.正确设出未知数; 3.找出等量关系,并列出方程组; 4.解此方程组; 5.写出答案. 对点训练 1.B　2.B 题型精讲 题型 例　A 变式训练　解:设甲有羊x只,乙有羊y只,则 解方程组,得 即甲有63只羊,乙有45只羊. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 第3课时 应用二元一次方程组——几何和行程问题 素养目标 1.能够利用二元一次方程组解决几何问题. 2.能够利用二元一次方程组解决行程问题. 3.能够通过经验总结出利用二元一次方程组解决实际问题的过程,提升解决实际问题的能力. 重点 能够利用二元一次方程组解决几何问题和行程问题. 【自主预习】 1.利用二元一次方程组解决行程问题时,关键要明确路程、速度、时间三者之间的关系,基本公式为　　　　.  2.对于几何相关的二元一次方程组问题,常依据图形的边长关系、　　　　关系等来寻找等量关系.  1.李老师逛超市时看中一套碗,她将碗叠成一列(如图),测量后发现:用2个碗叠放时总高度为7.5 cm,用4个碗叠放时总高度为11.5 cm.若将8个碗叠成一列能放入消毒柜,则这个消毒柜的内置高度至少有 (　　) A.15.5 cm　　　　B.17.5 cm C.19.5 cm　　　　D.21.5 cm 2.已知甲、乙两辆汽车同时、同向从同一地点A出发行驶.若甲车的速度是乙车的2倍,甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇,相遇时乙车走了1小时.求甲、乙两车的速度.完成下列解答过程: 解:设甲、乙两车的速度分别是x千米/时和y千米/时,根据题意,得 解得 答:甲、乙两车的速度分别是　　　　千米/时,　　　　千米/时.  【合作探究】 知识点一：列方程解决几何问题、行程问题 阅读课本本课时“引例”和“例3”的内容,思考下列问题. 1.在图5-1中,设小长方形的长为x,宽为y,由长方形的宽为40,可得方程　　　　,由长方形的长可得方程　　　　,由此可得二元一次方程组　　　　,解得　　　　,解决此类问题经常根据长方形的　　　　和　　　　的值构建方程组.  2.例3中的问题可根据题目画　　　　,由线段图5-2和图5-3可得方程组　　　　,解得　　　　.  1.如图,10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,设小长方形墙砖的长和宽分别为x cm和y cm,则下列方程中,不符合题意的是 (　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.甲、乙二人分别从相距20 km的A,B两地出发,相向而行.下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形,设甲的速度是x km/h,乙的速度是y km/h,根据题意,下列的方程组正确的是 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 知识点二：列二元一次方程组解应用题的步骤 阅读课本本课时“思考·交流”的内容,思考下列问题. 列方程(组)解应用题的一般步骤: (1)审题:审清题目,明确题目中的数量关系,属于哪一类应用题. (2)设元:引入未知数,并注明单位,一般有　　　　设元、　　　　设元和设辅助未知数.  (3)列方程(组):找出　　　　,并准确用代数式表示题中的数量,列出方程(组).  (4)解方程(组):正确解方程(组),并求出所要求的量. (5)检验作答:检验所列方程(组)的解是否符合题意,写出　　　　,并带上单位.  利用二元一次方程组解决跑步问题 例　甲、乙两人练习跑步,若乙先跑10米,则甲跑5秒就可以追上乙;若乙先跑2秒,则甲跑4秒就可以追上乙.设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒,根据题意,下列方程组正确的是 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 变式训练 甲、乙二人同时同地出发,都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑,若反向而行,则每隔20 s相遇一次;若同向而行,则每隔300 s相遇一次.已知甲比乙跑得快,设甲每秒跑x米,乙每秒跑y米,则可列方程组:　　　　.  参考答案 【自主预习】 预学思考 1.路程=速度×时间 2.面积 自学检测 1.C 2.x+y=90×2;60;120;60 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.x+y=40;2x=x+3y;长;宽 2.线段图; 对点训练 1.C　2.D 知识点二 (2)直接;间接 (3)等量关系 (5)答案 题型精讲 题型 例　A 变式训练　 学科网（北京）股份有限公司 $