15.2线段的垂直平分线讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

15.2 线段的垂直平分线 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的定义，并能结合具体情境描述其意义。 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）。 3. 能够运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题和代数问题。 4. 初步体会几何图形的性质与判定之间的联系与区别。 知识点讲解 1. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 几何语言描述：若直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l ⊥ AB，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 线段垂直平分线的集合定义 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 例题解析 例题1： 已知点 P 满足 PA = PB，其中 A、B 为两个定点，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 例题2： 已知在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 所在的直线是 BC 的垂直平分线。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 线段的垂直平分线是一条线段 B. 线段的垂直平分线是射线 C. 线段的垂直平分线是直线 D. 以上说法都不对 2. 若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，且 AB = 6，则 PA 的长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 大于 3 D. 无法确定 3. 到线段 AB 两个端点距离相等的点的集合是 ( ) A. 线段 AB 的中点 B. 线段 AB 本身 C. 线段 AB 的垂直平分线 D. 不存在这样的集合 4. 已知点 A (1, 2)，点 B (3, 2)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 ( ) A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. y = 2 5. 在△ABC 中，AB = AC，BC = 6，AD ⊥ BC 于点 D，则下列说法错误的是 ( ) A. BD = DC = 3 B. AD 是 BC 的垂直平分线 C. AB = AC = 3 D. 点 A 在 BC 的垂直平分线上 二、填空题 1. 线段垂直平分线上的点到这条线段的_________的距离相等。 2. 已知线段 AB，若点 C 是 AB 的中点，且直线 l 经过点 C 并垂直于 AB，则直线 l 叫做线段 AB 的_________。 3. 若点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离，则点 P 在线段 AB 的_________上。 4. 已知线段 AB = 10 cm，直线 l 是 AB 的垂直平分线，则直线 l 上的点到 A、B 两点的距离之和的最小值为_________ cm。 5. 已知点 M (a, 5) 在线段 AB 的垂直平分线上，点 A ，点 B (3, 2)，则 a 的值为_________。 三、解答题 1. 已知点 A (0, 0)，点 B (4, 0)，点 P (x, y) 满足 PA = PB，求点 P 的坐标 (x, y) 所满足的关系式。 2. 在平面直角坐标系中，已知点 A 和点 B (4, 3)。 (1) 求线段 AB 的长度； (2) 求线段 AB 的中点坐标； (3) 若点 P 在 y 轴上，且 PA = PB，求点 P 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 线段的垂直平分线 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的定义，并能结合具体情境描述其意义。 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）。 3. 能够运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题和代数问题。 4. 初步体会几何图形的性质与判定之间的联系与区别。 知识点讲解 1. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 几何语言描述：若直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l ⊥ AB，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 线段垂直平分线的集合定义 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 例题解析 例题1： 已知点 P 满足 PA = PB，其中 A、B 为两个定点，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 证明： 过点 P 作 PC ⊥ AB，垂足为点 C。 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， PA = PB （已知） PC = PC （公共边） ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB （HL 全等判定定理） ∴ AC = BC （全等三角形对应边相等） 即点 C 是线段 AB 的中点。 又∵ PC ⊥ AB ∴ PC 是线段 AB 的垂直平分线。 ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 例题2： 已知在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 所在的直线是 BC 的垂直平分线。 证明： ∵ AD 是 BC 边上的中线， ∴ BD = DC。 ∵ AB = AC，AD = AD， ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS)。 ∴ ∠ADB = ∠ADC。 ∵ ∠ADB + ∠ADC = 180° (平角定义)， ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。 ∴ AD ⊥ BC。 ∵ AD 经过 BC 的中点 D 且 AD ⊥ BC， ∴ AD 所在的直线是 BC 的垂直平分线。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 线段的垂直平分线是一条线段 B. 线段的垂直平分线是射线 C. 线段的垂直平分线是直线 D. 以上说法都不对 2. 若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，且 AB = 6，则 PA 的长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 大于 3 D. 无法确定 3. 到线段 AB 两个端点距离相等的点的集合是 ( ) A. 线段 AB 的中点 B. 线段 AB 本身 C. 线段 AB 的垂直平分线 D. 不存在这样的集合 4. 已知点 A (1, 2)，点 B (3, 2)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 ( ) A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. y = 2 5. 在△ABC 中，AB = AC，BC = 6，AD ⊥ BC 于点 D，则下列说法错误的是 ( ) A. BD = DC = 3 B. AD 是 BC 的垂直平分线 C. AB = AC = 3 D. 点 A 在 BC 的垂直平分线上 二、填空题 1. 线段垂直平分线上的点到这条线段的_________的距离相等。 2. 已知线段 AB，若点 C 是 AB 的中点，且直线 l 经过点 C 并垂直于 AB，则直线 l 叫做线段 AB 的_________。 3. 若点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离，则点 P 在线段 AB 的_________上。 4. 已知线段 AB = 10 cm，直线 l 是 AB 的垂直平分线，则直线 l 上的点到 A、B 两点的距离之和的最小值为_________ cm。 5. 已知点 M (a, 5) 在线段 AB 的垂直平分线上，点 A ，点 B (3, 2)，则 a 的值为_________。 三、解答题 1. 已知点 A (0, 0)，点 B (4, 0)，点 P (x, y) 满足 PA = PB，求点 P 的坐标 (x, y) 所满足的关系式。 2. 在平面直角坐标系中，已知点 A 和点 B (4, 3)。 (1) 求线段 AB 的长度； (2) 求线段 AB 的中点坐标； (3) 若点 P 在 y 轴上，且 PA = PB，求点 P 的坐标。 答案与解析 一、选择题 1. C 解析：线段的垂直平分线是一条直线，它经过线段的中点且垂直于这条线段。射线和线段都有端点，不符合垂直平分线的定义，所以 A、B 错误，C 正确。 2. D 解析：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即 PA = PB。但 PA 的具体长度取决于点 P 在垂直平分线上的位置，仅知道 AB = 6，无法确定 PA 的长度。只有当 P 为 AB 中点时，PA = 3，但 P 可以是垂直平分线上任意一点，所以 PA 长度无法确定，选 D。 3. C 解析：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，反之，线段垂直平分线上的点到两个端点距离相等。因此，这样的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，选 C。 4. B 解析：点 A (1, 2) 和点 B (3, 2) 的纵坐标相同，所以线段 AB 平行于 x 轴。AB 的中点横坐标为 ,纵坐标为 2。线段 AB 的垂直平分线垂直于 AB，因为 AB 平行于 x 轴，所以垂直平分线平行于 y 轴，其方程为 x = 中点的横坐标，即 x = 2，选 B。 5. C 解析：在△ABC 中，AB = AC，所以△ABC 是等腰三角形。AD ⊥ BC 于点 D，根据等腰三角形三线合一的性质，AD 既是高也是中线和角平分线。所以 BD = DC = BC/2 = 6/2 = 3，A 正确；AD 是 BC 的垂直平分线，B 正确；点 A 在 BC 的垂直平分线上，D 正确；AB = AC，但长度不一定等于 3，C 错误，故选 C。 二、填空题 1. 两个端点 解析：这是线段垂直平分线的性质定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2. 垂直平分线（或中垂线） 解析：根据线段垂直平分线的定义，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 3. 垂直平分线 解析：根据线段垂直平分线的判定定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 10 解析：直线 l 是 AB 的垂直平分线，设直线 l 上任意一点为 P，则 PA = PB。点 P 到 A、B 两点的距离之和为 PA + PB = 2PA（或 2PB）。当 PA 最小时，距离之和最小。PA 的最小值为点 A 到直线 l 的距离吗？不是。因为直线 l 是 AB 的垂直平分线，当点 P 与 AB 的中点重合时，PA = PB = 5 cm，此时距离之和 PA + PB = 10 cm。当点 P 在其他位置时，PA = PB > 5 cm，所以距离之和 2PA > 10 cm。因此，最小值为 10 cm。 5. 1 解析：点 A ，点 B (3, 2)，A、B 两点纵坐标相同，所以线段 AB 平行于 x 轴。AB 的中点坐标为 (1, 2)。线段 AB 的垂直平分线垂直于 AB，所以垂直平分线平行于 y 轴，其方程为 x = 1。因为点 M (a, 5) 在垂直平分线上，所以 a = 1。 三、解答题 1. 解： ∵ 点 A (0, 0)，点 B (4, 0)，点 P (x, y) ∴ PA = PB = ∵ PA = PB ∴ = 两边同时平方，得 x² + y² = (x - 4)² + y² 化简，得 x² = x² - 8x + 16 移项，得 x² - x² + 8x = 16 8x = 16 x = 2 ∴ 点 P 的坐标 (x, y) 所满足的关系式为 x = 2。 2. 解： (1) ∵ 点 A ，点 B (4, 3) ∴ A、B 两点纵坐标相同，线段 AB 平行于 x 轴 AB 的长度 = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 答：线段 AB 的长度为 6。 (2) 设 AB 的中点坐标为 (x, y) x = = 1 y = = 3 ∴ 中点坐标为 (1, 3) 答：线段 AB 的中点坐标为 (1, 3)。 (3) ∵ 点 P 在 y 轴上，∴ 设点 P 的坐标为 (0, y) PA = = PB = = ∵ PA = PB ∴ = 两边同时平方，得 4 + (3 - y)² = 16 + (3 - y)² 移项，得 4 - 16 = (3 - y)² - (3 - y)² -12 = 0 此方程无解，说明不存在这样的点 P。 答：不存在满足条件的点 P。 学科网（北京）股份有限公司 $