15.1轴对称图形讲义2025-2026学年沪科版(2024数学八年级上册

15.1 轴对称图形 学习目标 1. 理解轴对称图形和对称轴的概念，能够识别一个图形是否是轴对称图形，并能找出其对称轴（若存在）。 2. 掌握轴对称图形的基本性质：对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 3. 能够运用轴对称图形的性质解决简单的问题。 4. 理解轴对称与轴对称图形的区别与联系。 5. 通过对轴对称图形的学习，感受数学的对称美，培养观察、分析和抽象概括能力。 知识点讲解 一、轴对称图形的概念 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 2. 对称轴：这条使得图形能够重合的直线叫做这个轴对称图形的对称轴。 注意： · 对称轴是一条直线，而不是射线或线段。 · 一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条对称轴，甚至有无数条对称轴。例如：圆有无数条对称轴。 二、轴对称图形的性质 如果一个图形是轴对称图形，那么沿着对称轴折叠后： 1. 对称轴两侧的图形能够完全重合。 2. 对应点（即折叠后重合的点）所连的线段被对称轴垂直平分。 · 含义：对称轴是对应点连线的垂直平分线。因此，对称轴上任意一点到两个对应点的距离相等。 3. 对应线段相等。 4. 对应角相等。 三、轴对称与轴对称图形的区别与联系 · 区别： · 轴对称图形是对一个图形而言，它是一个具有特殊形状的图形。 · 轴对称是对两个图形而言，它描述的是两个图形之间的一种特殊位置关系。 · 联系： · 若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是一个轴对称图形。 · 若把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，则这两个图形关于这条对称轴成轴对称。 四、如何找对称轴 1. 观察图形，尝试沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合。 2. 常见的轴对称图形及其对称轴条数（文字描述，不附图）： · 线段：1条（线段的垂直平分线）和它本身所在的直线（1条），共2条。 · 角：1条（角平分线所在的直线）。 · 等腰三角形：1条（底边上的高所在的直线，也是顶角平分线和底边上的中线所在的直线）。 · 长方形（矩形）：2条（对边中点连线所在的直线）。 · 正方形：4条（两条对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。 · 圆：无数条（经过圆心的任意一条直线）。 · 正n边形：n条对称轴。 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）所有的三角形都是轴对称图形。 （2）对称轴是一条线段。 （3）若一个图形沿着某直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则该图形是轴对称图形。 例题2：已知一个轴对称图形的对称轴是直线l，图形上有一点A到直线l的距离为3cm，求点A关于直线l的对称点A'到直线l的距离。 例题3：一个等腰三角形是轴对称图形，它的顶角为80°，利用轴对称的性质求它的一个底角的度数。 例题4：已知一个长方形的长为6cm，宽为4cm，它是一个轴对称图形，求它的对称轴的总条数，并指出每条对称轴的位置。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于轴对称图形的说法中，正确的是 A. 轴对称图形只有一条对称轴 B. 轴对称图形的对称轴是一条射线 C. 轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合 D. 两个全等的图形一定是轴对称图形 2. 下列图形中，对称轴条数最多的是 A. 线段 B. 等边三角形 C. 正方形 | D. 圆 3. 下列哪个英文字母（大写）不是轴对称图形 4. A. A B. B C. C D. S 5. 一个图形是轴对称图形，若它有且只有三条对称轴，则这个图形可能是 A. 长方形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 圆 6. 点P(a, b)关于x轴的对称点的坐标是 A. B. ( ) C. D. (b, a) 二、填空题 1. 角是轴对称图形，它的对称轴是_______。 2. 正方形有_______条对称轴。 3. 若一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则这个图形至少有_______条对称轴。 4. 在等腰三角形中，若一个底角是30°，则它的顶角是_______度，它有_______条对称轴。 5. 已知点M到对称轴l的距离为5，则点M关于直线l的对称点M'到点M的距离为_______。 三、解答题 1. 简述轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2. 判断下列用文字描述的图形是否为轴对称图形，如果是，请指出其对称轴的条数： （1）一个内角为60°的菱形。 （2）一个三边都不相等的三角形。 3. 已知一个正五边形是轴对称图形，它有多少条对称轴？请说明理由。 4. 利用轴对称图形的性质，求一个内角为100°的等腰三角形的另外两个内角的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 轴对称图形 学习目标 1. 理解轴对称图形和对称轴的概念，能够识别一个图形是否是轴对称图形，并能找出其对称轴（若存在）。 2. 掌握轴对称图形的基本性质：对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 3. 能够运用轴对称图形的性质解决简单的问题。 4. 理解轴对称与轴对称图形的区别与联系。 5. 通过对轴对称图形的学习，感受数学的对称美，培养观察、分析和抽象概括能力。 知识点讲解 一、轴对称图形的概念 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 2. 对称轴：这条使得图形能够重合的直线叫做这个轴对称图形的对称轴。 注意： · 对称轴是一条直线，而不是射线或线段。 · 一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条对称轴，甚至有无数条对称轴。例如：圆有无数条对称轴。 二、轴对称图形的性质 如果一个图形是轴对称图形，那么沿着对称轴折叠后： 1. 对称轴两侧的图形能够完全重合。 2. 对应点（即折叠后重合的点）所连的线段被对称轴垂直平分。 · 含义：对称轴是对应点连线的垂直平分线。因此，对称轴上任意一点到两个对应点的距离相等。 3. 对应线段相等。 4. 对应角相等。 三、轴对称与轴对称图形的区别与联系 · 区别： · 轴对称图形是对一个图形而言，它是一个具有特殊形状的图形。 · 轴对称是对两个图形而言，它描述的是两个图形之间的一种特殊位置关系。 · 联系： · 若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是一个轴对称图形。 · 若把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，则这两个图形关于这条对称轴成轴对称。 四、如何找对称轴 1. 观察图形，尝试沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合。 2. 常见的轴对称图形及其对称轴条数（文字描述，不附图）： · 线段：1条（线段的垂直平分线）和它本身所在的直线（1条），共2条。 · 角：1条（角平分线所在的直线）。 · 等腰三角形：1条（底边上的高所在的直线，也是顶角平分线和底边上的中线所在的直线）。 · 长方形（矩形）：2条（对边中点连线所在的直线）。 · 正方形：4条（两条对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。 · 圆：无数条（经过圆心的任意一条直线）。 · 正n边形：n条对称轴。 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）所有的三角形都是轴对称图形。 （2）对称轴是一条线段。 （3）若一个图形沿着某直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则该图形是轴对称图形。 解答： （1）错误。 理由：只有等腰三角形（包括等边三角形）是轴对称图形，一般的三角形（如不等边三角形）不是轴对称图形。 （2）错误。 理由：对称轴是一条直线，而不是线段。 （3）正确。 理由：这符合轴对称图形的定义。 例题2：已知一个轴对称图形的对称轴是直线l，图形上有一点A到直线l的距离为3cm，求点A关于直线l的对称点A'到直线l的距离。 解答： 因为轴对称图形的对称轴垂直平分对应点的连线， 所以点A到对称轴l的距离等于点A'到对称轴l的距离。 已知点A到直线l的距离为3cm， 因此，点A'到直线l的距离也为3cm。 例题3：一个等腰三角形是轴对称图形，它的顶角为80°，利用轴对称的性质求它的一个底角的度数。 解答： 因为等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。 根据轴对称的性质，等腰三角形的两个底角相等。 设等腰三角形的一个底角为x°。 因为三角形内角和为180°， 所以 x + x + 80 = 180 2x = 180 - 80 2x = 100 x = 50 因此，它的一个底角的度数为50°。 例题4：已知一个长方形的长为6cm，宽为4cm，它是一个轴对称图形，求它的对称轴的总条数，并指出每条对称轴的位置。 解答： 长方形是轴对称图形，它有2条对称轴。 第一条对称轴：经过长方形两组对边中点的水平直线（即连接长方形上下两边中点的直线）。 第二条对称轴：经过长方形两组对边中点的竖直直线（即连接长方形左右两边中点的直线）。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于轴对称图形的说法中，正确的是 A. 轴对称图形只有一条对称轴 B. 轴对称图形的对称轴是一条射线 C. 轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合 D. 两个全等的图形一定是轴对称图形 2. 下列图形中，对称轴条数最多的是 A. 线段 B. 等边三角形 C. 正方形 | D. 圆 3. 下列哪个英文字母（大写）不是轴对称图形 4. A. A B. B C. C D. S 5. 一个图形是轴对称图形，若它有且只有三条对称轴，则这个图形可能是 A. 长方形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 圆 6. 点P(a, b)关于x轴的对称点的坐标是 A. B. ( ) C. D. (b, a) 二、填空题 1. 角是轴对称图形，它的对称轴是_______。 2. 正方形有_______条对称轴。 3. 若一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则这个图形至少有_______条对称轴。 4. 在等腰三角形中，若一个底角是30°，则它的顶角是_______度，它有_______条对称轴。 5. 已知点M到对称轴l的距离为5，则点M关于直线l的对称点M'到点M的距离为_______。 三、解答题 1. 简述轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2. 判断下列用文字描述的图形是否为轴对称图形，如果是，请指出其对称轴的条数： （1）一个内角为60°的菱形。 （2）一个三边都不相等的三角形。 3. 已知一个正五边形是轴对称图形，它有多少条对称轴？请说明理由。 4. 利用轴对称图形的性质，求一个内角为100°的等腰三角形的另外两个内角的度数。 巩固练习参考答案及解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：A选项，有的三角形不是轴对称图形，如不等边三角形，所以A错误；B选项，对称轴是直线，不是射线，所以B错误；C选项正确，符合轴对称图形定义；D选项，两个全等图形不一定关于某条直线对称，所以D错误。 2. 答案：D 解析：线段有2条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有4条对称轴；圆有无数条对称轴。所以对称轴条数最多的是圆，选D。 3. 答案：D 解析：A、B、C都是轴对称图形，S不是轴对称图形，选D。 4. 答案：C 解析：长方形有2条对称轴；正方形有4条；等边三角形有3条；圆有无数条。所以有且只有三条对称轴的是等边三角形，选C。 5. 答案：A 解析：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。所以点P(a, b)关于x轴的对称点的坐标是，选A。 二、填空题 1. 答案：角平分线所在的直线 解析：角沿着其角平分线所在的直线折叠，两旁的部分能够完全重合，所以角的对称轴是角平分线所在的直线。 2. 答案：4 解析：正方形有两条对角线所在的直线和两组对边中点连线所在的直线，共4条对称轴。 3. 答案：2 解析：题目中已明确说明有两条互相垂直的对称轴，所以“至少”就是这2条。 4. 答案：120，1 解析：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。顶角 = 180° - 2×30° = 120°。等腰三角形（非等边）只有1条对称轴。 5. 答案：10 解析：点M和点M'关于直线l对称，所以点M到l的距离等于点M'到l的距离，都为5。则线段MM'的长度为5 + 5 = 10。 三、解答题 1. 答案： 区别：轴对称图形是对一个图形而言，它是一个具有特殊形状的图形；轴对称是对两个图形而言，它描述的是两个图形之间的一种特殊位置关系。 联系：若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是一个轴对称图形；若把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，则这两个图形关于这条对称轴成轴对称。 2. 答案： （1）是轴对称图形，有2条对称轴。 解析：菱形本身是轴对称图形，有两条对角线所在的直线作为对称轴。一个内角为60°的菱形，依然是菱形，所以对称轴条数不变，为2条。 （2）不是轴对称图形。 解析：三边都不相等的三角形，即不等边三角形，找不到一条直线，使得沿此直线折叠后直线两旁的部分能够重合，所以不是轴对称图形。 3. 答案：正五边形有5条对称轴。 理由：正n边形有n条对称轴。正五边形的n=5，所以它有5条对称轴，每条对称轴都经过一个顶点和其对边的中点（或经过中心）。 4. 答案：另外两个内角的度数分别为40°和40°。 解析：已知等腰三角形的一个内角为100°。 若这个内角是底角，则两个底角之和为100° + 100° = 200°，大于三角形内角和180°，不符合三角形内角和定理，所以这个100°的角不能是底角，只能是顶角。 设另外两个底角的度数均为x。 根据三角形内角和为180°，可得 x + x + 100° = 180° 2x = 180° - 100° 2x = 80° x = 40° 因此，另外两个内角的度数都是40°。 学科网（北京）股份有限公司 $