5.6实数 课件2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 温故而知新 1.平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a,即， 那么叫作 的平方根， 也称为二次方根. a 的平方根表示为： （a≥0） x2=a x叫作a的平方根 求一个数a(a≥0)的平方根的运算叫作开平方. 2.开平方的定义 x3=a x叫作a的立方根 探究一 立方根的意义 3.立方根的概念： 一般地，如果一个数的立方等于a,， 那么叫作 的立方根，也称为三次方根. 数 a 的立方根表示为： 求一个数的立方根的运算叫作开立方。 4.开立方的定义： 数的范围进一步得到扩充。 七年级时我们认识了有理数, 本章中我们又学习了无理数, 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.6 实数 1.什么是有理数？有理数怎样分类？ 整数 分数 有理数 正有理数 负有理数 有理数 0 （按性质） （按大小） 探究一 实数的概念及分类 整数和分数统称为有理数。 整数与分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 观察与发现 2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 带根号的数不一定是无理数. 探究一 实数的概念及分类 无理数是无限不循环小数. （1）开不尽方的数是无理数； （2）圆周率π及一些含有π的数都是无理数； （3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。 观察与发现 无理数分为正无理数和负无理数。 有理数和无理数统称为实数。 即实数可以分为有理数和无理数 3.什么叫作实数？ 观察与发现 探究一 实数的概念及分类 实数 (按定义分) 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 自然数 有限小数或无 限循环小数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 探究一 实数的概念及分类 思考与交流 如何对实数进行分类呢？ 正实数 负实数 正有理数 正无理数 正整数 正分数 负有理数 负无理数 0 负整数 负分数 实数 (按正负分) 探究一 实数的概念及分类 如何对实数进行分类呢？ 思考与交流 例1、下列各数哪些是有理数? 哪些是无理数? 哪些 是正实数? 哪些是负实数? - ， ，π,0.26 ， ，0, ,3.1416, -3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 · 解:有理数: ,0.26 ,0, 3.1416; · 例题讲析 负实数:- , -3.1010010001…。 · 无理数:- ,π, , ,-3.1010010001…; 正实数: ,π,0.26 , , ,3.1416; · 1.把下列各数填入相应的横线上： (1)有理数：                                 ； (2)无理数：                                 ； (3)正实数：                                 ； (4)负实数：                                 ； 巩固练习 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 (number axis). 探究二 实数与数轴 1.什么叫作数轴？ 观察与发现 我们知道，有理数可以用数轴上的点来表示， 无理数也可以用数轴上的点来表示. 事实上，每一个实数都可以用数轴上 的一个点来表示；反过来，数轴上的每一 个点都可以表示一个实数. 实数与数轴上的点一一对应. 探究二 实数与数轴 把有理数扩充到实数以后，就可以“填满”整条数轴了. 数轴的再认识 正数 负数 从左往右，越来越大 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 4 ﹣5 5 ﹣6 ﹣7 6 7 2.如何利用数轴比较实数的大小? 思考与交流 数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数比 左边的点表示的实数大 归纳 探究二 实数与数轴 例2、运用数轴比较下列实数的大小(用 “<”连接): , - , , -, 3.2。 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 4 ﹣5 5 ﹣6 ﹣7 6 7 - - 3.2 解:在数轴上表示： - - ＜ ＜ ＜ ＜ 3.2 例题讲析 2.找出下列各数中的无理数，并把它们填入图中的方框中. 巩固练习 探究三 与实数有关的概念和性质 在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么? 思考与交流 只有符号不同的两个数叫作互为相反数, 在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 乘积是1的两个有理数互为倒数。 探究三 与实数有关的概念和性质 在实数范围内绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内一样吗? 实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同, 思考与交流 只有符号不同的两个数叫作互为相反数, 在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 乘积是1的两个有理数互为倒数。 名称 表示 性质 相反数 绝对值 倒数 实数a的绝对值记作|a| （1）|a|= -a 0 a (2)互为相反数的两个实数的绝对值相等,即|a|=|-a| 实数a的相反数实-a 实数a与实数互为倒数。 实数a,b互为相反数 a+b=0 0没有倒数 实数a,b互为倒数↔ab=1 例3、（1） 的相反数是______,绝对值是_____. （2） 的相反数是 ,绝对值是______ . （3） 的绝对值是__________. （4）已知一个数的绝对值是 ，则这个数是____． 4 （5）设m是 的整数部分，n是 的小数部分， 则m－n的值 。 6- 例题讲析 3.填表： 实数 相反数 绝对值 倒数                       π-3       a(a＜0)     3-π π-3 -a -a 巩固练习 例4、实数a在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简:|a-π|+|-a|。 ∴|a-π|+|-a|=π-a+a-=π- 解:由图可知<a<π, ∴a-π<0,-a<0, 例题讲析 4.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|。 巩固练习 探究四 实数的运算 思考与交流 有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内还成立吗？ 有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立,即进行实数的运算时,先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运算从左到右依次进行,有括号的要先算括号里面的。 例5、计算: (1)(-3)2+2×(-1)-|-2|。 (2)-22+()-2+(π-)0+ 解：(1)(-3)2+2×(-1)-|-2|。 =9+2-2-2 =7 例题讲析 (2)-22+()-2+(π-)0+ =-4+9+1-5 =1 5.计算: (1)(-1)3+|1一|+-; (2) ×(-)- × 巩固练习 本节课你有什么收获？ 1.在 0,-2,-,π 四个数中,绝对值最小的数是（ ）。 A.0 B.-2 C.- D.π A 2.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则 -(b-a-2)的化简结果是（ ）。 A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2 A 当堂检测 3、我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即整数部分是1，小数部分是-1，请回答以下问题： (1)的小数部分     　  ，5的小数部分是　             　 ． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b-+1的平方根． （3）若7+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值． $