第十四章 实数（复习课件）数学冀教版2024八年级上册

单元复习课件 第十四章 实数 冀教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根.会对实数进行分类，能用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义 2. 明确无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 单元学习目标 实数 运算 概念 与数轴上的点一一对应 实数的大小 开平方、开立方 近似数 有理数 无理数 单元知识图谱 考点一、平方根和立方根 1. 平方根  一般地，如果一个数 x 的 等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的 ，也叫做 a 的二次方根 . 平方 平方根 注意事项： 1. 平方根的定义中， a 是非负数，即a ≥ 0. 所以只有非负数才有平方根 . 2. 平方根是它本身的数只有0. 考点串讲 一个正数有 平方根，它们互为 ；0 只有一个平方根，是 ；负数 . 一个正数有两个平方根：一个正数，一个负数，我们把正数 a 的正的平方根用符号“ ”表示，读作“根号 a”；把正数 a 的负的平方根用符号“ ”表示，读作“负根号 a”. 正数 a 的两个平方根记为 ± . 其中， a称为 . 两个 相反数 0 没有平方根 － 被开方数 考点一、平方根和立方根 考点串讲 一个正数 a 的正的平方根 叫做 a 的 . 0 的算术平方根为 . 算术平方根 0 注意： 算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数a是非负数，即a ≥ 0； (2)算术平方根 是非负数，即 ≥ 0. 算术平方根是它本身的数只有0 和 1. 考点一、平方根和立方根 考点串讲 2.立方根 一般地，如果一个数 x 的 等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的 ，也叫做 a 的三次方根 . 一个数 a 的立方根用符号“ ”来表示，读作 “三次根号 a”. 立方 立方根 注意： 1. 立方根是它本身的数只有0和±1. 2. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即 =- . 利用“ =- ” 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. 考点一、平方根和立方根 考点串讲 立方根的符号与被开方数的符号 .一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；0 的立方根是 . 相同 正 负 0 注意： 1.中a可以是正数、0或负数. 2.任何一个数都有立方根. 3.注意 ()3= =a 考点一、平方根和立方根 考点串讲 考点二、实数的概念及分类 1.无理数 叫做无理数 . 无限不循环小数 无理数三种常见形式 1.开方开不尽而得到的数，如 ， …； 2.含有 π 的一类数，如 π， π， π +1，…； 3.以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间依次多一个 0) . 考点串讲 2.实数 和 统称为实数 . 有理数 无理数 (1)按定义分类： 实数 考点二、实数的概念及分类 考点串讲 实数 (2) 按性质分类： 注意： 对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后的结果进行分类.不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数. 考点二、实数的概念及分类 考点串讲 3.实数与数轴间的关系 实数与数轴上的点是 的.每一个实数都可以用数轴上的 来表示；数轴上的每一个点都表示一个 . 数轴上两点间的距离可用这两点所表示的实数来表示，即若点A、点B在数轴上表示的数分别为x1，x2，则 AB＝ . 一一对应 一个点 实数 |x1－x2| 考点二、实数的概念及分类 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数 . 考点串讲 4.实数的相关概念 （1）相反数 数的相反数是,若 a，b互为相反数，则a+b=0；. （2）绝对值 一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 . （3）倒数 数()的倒数为 .若 a( a ≠ 0)，b 互为倒数，则 ab=1. 0 它本身 相反数 考点二、实数的概念及分类 考点串讲 1. 实数大小的比较 数轴上的两点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ； 大于 0， 0 大于 ，正实数都大于负实数；两个负实数比较大小， 大的反而小 . 对于任意两个正数 a 和 b，如果 a>b，那么 ， ；反过来，如果 > 或 > ，那么 a b. 对于任意两个 负数 a 和 b，如果 a>b，那么 ；反之，如果 > ，那么 . 大 正实数 负实数 绝对值 > > > > > 考点三、实数的大小比较 考点串讲 2.估算无理数的大小 根据实数大小比较的方法，对一些不易求值的无理数，我们通常用两边夹逼的方法确定这个无理数的大致范围 . 比如 12<2<22，故 1< <2； 1.4 2<2<1.5 2，故 1.4< <1.5；…. 确定无理数的大致范围的关键是确定比无理数大(或小)的恰当的整数； 求无理数的小数部分时，可先确定这个无理数的整数部分，那么原数与整数部分的差就是这个无理数的小数部分. 考点三、实数的大小比较 考点串讲 考点四、近似数 1.近似数 接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数 .如果结果只取整数，那么就叫做精确到 (或精确到1)，如 π ≈ 3.如果结果保留一位小数，那么就叫做精确到 (或精确到 0.1)，如 π ≈ 3.1.如果结果保留两位小数，那么就叫做精确到 (或精确到 0.01)，如 π ≈ 3.14. 取近似数通常用 ；特殊情况下使用去尾法、进一法 . 个位 十分位 百分位 四舍五入法 考点串讲 题型一、平方根的概念和性质 例1.求下列各数的平方根： 解：因为(±11)2＝121，所以121的平方根是±11. 2＝， 因为(±)2＝，所以2的平方根是±. －(－4)3=64，因为(±8)2=64，所以－(－4)3的平方根是±8. 17的平方根是±. 题型剖析 题型一、平方根的概念和性质 求一个正数的平方根的方法 先找出平方后等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，这两个数均为这个正数的平方根 . 如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根； 如果有其他运算，那么先运算求出结果，针对结果再求平方根； 如果这个正数 a 不能写成有理数的平方的形式，那么可以将 a 的平方根表示成 ± 题型剖析 题型一、平方根的概念和性质 变式.求下列各数的平方根： 解： =9, 题型剖析 题型一、平方根的概念和性质 例2.(1)若某个正数的两个平方根分别为 m－3 和 3m－1，求该正数的值； (2)已知 2m－3 与 4m－5 是某非负数的平方根，求该非负数 . 解：（1）因为 m－3 与 3m－1是一个正数的两个平方根， 所以( m－3 ) +( 3m－1 ) =0，解得 m=1. 所以 m－3 = － 2，所以这个正数为(－ 2) 2=4. （2）①当两个平方根相等，即 2m－3 = 4m－5时，解得 m=1. 此时这个非负数为(2m－3 ) 2=( 2× 1 － 3) 2=1. ②当两个平方根互为相反数，即( 2m－3 ) +( 4m－5 ) =0 时，解得 m= . 此时这个非负数为( 2m－3 ) 2= ( 2× － 3) 2= .综上所述，该非负数为 1 或 . 题型剖析 题型一、平方根的概念和性质 易错点 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。但要注意如果题设条件未指明两个平方根是相等还是互为相反数，所以注意应分两种情况讨论. 题型剖析 题型一、平方根的概念和性质 变式.已知与是一个正数 的平方根，则这个正数 的值为_______. 解：根据题意有两种情况 ①= 解得=3，= a=49 ②+（ 解得，=，= a= 或49 题型剖析 例3.已知，求 的平方根. 解：因为算式平方根具有非负性，所以 绝对值具有非负性，所以 又因为 所以， 解得， 将，代入到 得 题型二、算数平方根双重非负性 题型剖析 题型二、算数平方根双重非负性 算数平方根双重非负性问题 算术平方根，()具有双重非负性 一是被开方数具有非负性，即； 二是算术平方根本身具有非负性,即. 算术平方根类的双重非负性题型还有两个特征 一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题,而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键， 二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析,解题中容易造成多解或漏解.因此算术平方根的双重非负性是一类热点问题. 题型剖析 题型二、算数平方根双重非负性 变式.已知三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足,试判断三角形 ABC的形状 解：因为，， 且 所以 即 所以三角形ABC 的形状是等边三角形. 题型剖析 题型三、平方根与立方根的综合习题 例4.已知的立方根是，的算术平方根是4，是的整数部分. （1） 求的值； （2） 求的平方根. 解：（1）由题意可得 所以 （2）将代入 解得. 所以的平方根是. 题型剖析 题型三、平方根与立方根的综合习题 平方根与立方根综合问题注意事项 1.认真审题，在平方根、算数平方根和立方根的概念上不要混淆. 2.注意算数平方根具有双重非负性. 3.开立方后的结果和原数正负保持一致，开平方的结果为两个，互为相反数. 题型剖析 题型三、平方根与立方根的综合习题 变式.如图，数轴上从左至右依次有，，，四个点，表示的数分别为，0，1， 且 . （1）求的长，并求 的值； 解：（1），表示的数分别为1，， . ，表示的数分别为 ，0， . ， ， . （2）， . 的平方根是 . （2）求 的平方根. 题型剖析 题型四、实数的分类 例5.把下列各数填入相应的大括号内： －，－，，，－ 3，0，－π，－， －4.201，3.101 001 000 1…(每相邻两个1之间0的个数逐次加1). 有理数：｛ …｝； 无理数：｛ …｝； 整数：｛ …｝； 分数：｛ …｝； 正实数：｛ …｝； 负实数：｛ …｝. 题型剖析 题型四、实数的分类 解：有理数：｛－，，－ 3，0， －，－4. 0｝. 无理数：｛－，，－π，3.101 001 000 1…｝. 整数：｛－ 3，0，｝. 分数：｛－，，－，－4.0｝. 正实数：｛， ，－ 3，3.101 001 000 1…｝. 负实数：｛－，－，－π，－，－4. 0｝. 题型剖析 实数分类题注意事项 1.判断一个数是不是无理数，先看它是不是无限小数,再看它是不是不循环小数,只有满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数. 2.对实数进行分类时，应先对某些数进行化简，然后根据最后结果进行分类. 3.往“集合”里填数时一定要填原数,而不能填化简后的数. 题型四、实数的分类 题型剖析 题型四、实数的分类 变式.把下列各数填入相应的集合内： ，，4，，，，，， . （1）有理数集合：{_ ______________________________ …}； ，4，，，， （2）无理数集合：{_ ______________…}； （3）正实数集合：{_ _________________________________…}； ，， ，，4，，，， （4）负实数集合：{_ ___________…}. ， 题型剖析 题型五、实数的相反数、绝对值和倒数 例6.已知实数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为 ，求代 数式 的值. 解：，互为相反数， . ，互为倒数， . 的绝对值为，或 . 当时，原式 . 当时，原式 . 所求代数式的值为或 . 题型剖析 题型五、实数的相反数、绝对值和倒数 实数的相反数、绝对值和倒数的注意事项 1.常考的知识点为相反数的和为0，去掉绝对值号后应得一对相反数，倒数的积为1. 2.如题目中出现数轴，要根据点的位置正确的去绝对值号. 3.的相反数可表示为(或),不能错误地表示为;的相反数可表示为,不能错误地表示为 . 题型剖析 题型五、实数的相反数、绝对值和倒数 变式.如图，已知，，三点分别对应数轴上的实数，， . （1）化简： . 解：由数轴可知：，， , 原式 . 题型剖析 （2）若，，，且与互为相反数， 是绝 对值最小的负整数，，互为倒数，试求 的值. 解：由题意可知：,, , ，， . . （3）在（2）的条件下，在数轴上找一点，使点表示的整数 到点 ， 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和. 解：满足条件的点表示的整数为或3，整数的和为 . 题型五、实数的相反数、绝对值和倒数 题型剖析 题型六、实数的大小比较和估算 例7.已知在两个连续的自然数和之间，1是 的一个平方根. （1）求， 的值. 解：， . 又在两个连续的自然数和之间，1是 的一个平方根， ， . （2）比较与 的大小. 解：由（1）知，， . . ， . 题型剖析 题型六、实数的大小比较 实数的大小比较方法 (1)估算法:利用取近似值来比较实数的大小 (2)作差法:若,则;若,则;若,则. (3)平方法:若,则. (4)开方法:若,则. (5)特殊值法:用字母表示的实数的大小比较,利用取特殊值往往比较简单. (6)作商法:不妨假设,若,则 ;若=1,则;若<1,则 . 题型剖析 题型六、实数的大小比较 变式.已知，， 均为正整数. （1）若，则 ___. （2）若，，则满足条件的 的个数总 比 的个数少___个. 3 2 解：（1）所以 （2）取特殊值=3，则，，可取 可取 的个数总比 的个数少2个 题型剖析 1.下列运算错误的是( ) A. B. C. D. B 解：B项此题应注意平方根和算数平方根的概念不要混淆 针对训练 2. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和 ，则的值为( ) A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 C 解：由平方根的性质可得与互为相反数 所以， 解得. 则 针对训练 3.已知，当最小时， 的算术平方根为___. 1 解：由算数平方根的非负性可得 当最小时，即， 此时，. 得 针对训练 4.已知与互为相反数（其中 ），则 __. 解：由与互为相反数，可得 与 互为相反数， 所以，解得 . 将代入，可得 . 针对训练 5.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 6.求下列各式中的 的值. （1） ； 解： ， . . . （2） . 解： ， . . . . 针对训练 7.已知实数，满足 . （1）求， 的值； （2）求 的平方根. 解：（1） ， ， ， . （2） . 的平方根是 . 针对训练 8.有理数和在数轴上的对应点的位置如图所示. （1） 比较大小：（用“ ”号连接）; （2） 化简：. 解：（1） （2）根据数轴可得 针对训练 9.观察下列各式： , , . 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1） ________； 针对训练 （2）计算 . 解：原式 . 针对训练 10.小明制作了一张面积为 的正方形贺卡想寄给朋友. 现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为 . （1）求长方形信封的长和宽. 解：设长方形信封的长为，宽为 ，由题意,得 ， . ， . 答：长方形信封的长为，宽为 . 针对训练 （2）嘉琪能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断. 解：面积为的正方形贺卡的边长是 ， ， . ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长. 嘉琪能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 针对训练 11.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两 乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：，， 这三个数，，， ，其结果6，3，2都是整数，所以，， 这三个数 称为“完美组合数”. （1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. 解：，， 这三个数是“完美组合数”.理由如下： ，， ， 12，6，4都是整数， ，， 这三个数是“完美组合数”. 针对训练 （2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的 算术平方根为12，求 的值. 解： ， 分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， （不符合题意，舍去）. 综上所述，的值是 . 针对训练 ✅ 知识构建：实数 平方根→立方根→实数→近似数 ✅ 思想方法： 分类思想、类比思想、数形结合思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $