精品解析：福建省漳平第二中学2025-2026学年高三上学期开学核心素养检测数学试题

2025年高三暑期数学学科核心素养检测 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合,,,则集合中元素的个数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果． 【详解】解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法； 或时, ,有两种选法； 共种选法； C中元素有个． 故选A． 【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解不等式求出集合，的范围，然后利用集合的运算求解即可. 【详解】因为，故集合， 因为， 故集合，则， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的计算，集合补集与交集的混合运算，属于基础题. 4. 设全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵，， 由此可知，，，， 故选A． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6. 已知，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，由，，结合，从而可得结果. 【详解】令 则， ∴， 又，…∴① ， ∴…② ∴①②得． 则． 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7. 已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出为真命题时得，则题目等价于，即可求出范围. 【详解】为真命题，则，解得， 若为真命题的充分不必要条件为，则等价于， ，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查根据充分不必要条件求参数，属于基础题. 8. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】设， 由题意得：， 解之得实数的取值范围为：. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题. 二、多选题 9. 下列各组集合不表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用集合的意义，逐项判断即可作答. 【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是； 对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是； 对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是； 对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是. 故选：ABD 10. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，故恒成立，C正确； D选项，a是正实数，故，其中， 故，当且仅当，即时，等号成立，D错误. 故选：AC 11. 已知二次函数，若对任意，则（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，恒成立 C. 使得成立 D. 对任意，，均有恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数的对称轴为. 因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线， 对于A选项，当时，，关于直线对称， 所以恒成立，所以A选项正确； 对于B选项，当，若，则不等式可化为， 所以； 若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误； 对于C选项，因为，所以， 所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误； 对于D选项，， 所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确， 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知集合，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合中的不等式,再根据交集的定义即可求解 【详解】由题,,,,即为 故答案为 【点睛】本题考查交集的定义,考查解绝对值不等式,属于基础题 13. 已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分别计算条件 ，再计算和，根据范围大小得到答案. 【详解】∵条件；∴，∴或， ∵条件，，∴或， 若是的充分不必要条件，则，解得：或 故答案为或 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力. 14. 不等式对一切非零实数均成立.则实数的最大值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据基本不等式求解的最小值，利用不等式恒成立的意义得到关于a的绝对值不等式，求得实数的取值范围，进而求得最大值即可. 【详解】因为，当时取等号，∴原不等式左边的最小值为2. 故，即，即，即， 故实数的最大值是3 故答案为：3 四、解答题 15. 已知二次函数图象的顶点M在第二象限，且经过点A(1,0)和点B(0,1)，与x轴的另一个交点为C． （1）求实数的取值范围； （2）当△ABC面积等于时，求△ABM的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设可判断，求出顶点坐标后可得关于的不等式组，从而可求参数的取值范围. （2）根据可求，利用割补法可求△ABM的面积． 【小问1详解】 由题意知． 因为图象过点，所以，又图象过点，所以，即， 故， 因为顶点在第二象限，故，故. 【小问2详解】 由（1）得，，令，得， ∴，∴． 由，解得． 于是，，∴． 连接，所以． 16. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【答案】{m|m≤3}． 【解析】 【分析】由B＝和B≠分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得． 【详解】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A. ①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2， 此时有B⊆A； ②若B≠，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 由B⊆A，得，解得2≤m≤3. 由①②得m≤3. ∴实数m的取值范围是{m|m≤3}． 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增 所以函数的最小值为，于是即 ， 当且仅当时等号成立 即 【解析】 【分析】（1）讨论和分别求解； （2）当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得 ，再利用基本不等式． 【小问1详解】 原不等式可化为 ①；②． 解①得； 解②得， 所以原不等式的解集为． 【小问2详解】 略 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米 【解析】 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 由题意可知：∵，∴，∴， ∴， 由，得， ∵， ∴，即, 解得：或， 即长的取值范围是； 【小问2详解】 解法一：∵， ∴ ， 当且仅当，即时，取“=”号， 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 解法二：∵∴， 令得， 当时，，当时， 当时，S取极小值，且为最小值， 即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数有四个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）时，化简，把看作一个整体，利用基本不等式求出范围，作为函数的定义域，从而求得函数的最小值； （2）将函数进行整理，利用换元法转化为二次函数的零点问题，即可得到结论． 【详解】解：（1） 时，, 因为,所以. 当时，函数取到最小值. （2）， ， 令， 则在有两个不同的根， 即，解得， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三暑期数学学科核心素养检测 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合,,,则集合中元素的个数为(　　) A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设全集，集合，，则 A. B. C. D. 5. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各组集合不表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，若对任意，则（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，恒成立 C. 使得成立 D. 对任意，，均有恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知集合，，则________ 13. 已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________． 14. 不等式对一切非零实数均成立.则实数的最大值是______. 四、解答题 15. 已知二次函数图象的顶点M在第二象限，且经过点A(1,0)和点B(0,1)，与x轴的另一个交点为C． （1）求实数的取值范围； （2）当△ABC面积等于时，求△ABM的面积． 16. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：． 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数有四个不同的零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $