专题06 全等三角形易错压轴题型专训22大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题06 全等三角形易错压轴题型专训 题型1 命题 题型12 添加条件使三角形全等 题型2 证明 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型3 互逆定理 题型14 构造全等三角形 题型4 图形的全等 题型15 倍长中线问题 题型5 全等三角形的概念与性质 题型16 旋转模型 题型6 用SSS证明三角形全等 题型17 垂线模型 题型7 全等的性质与SSS综合 题型18 三角形的尺规作图 题型8 用SAS证明三角形全等 题型19 全等三角形的动点问题（压轴） 题型9 全等的性质与SAS综合 题型20 全等三角形的模型（压轴） 题型10 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型21 全等三角形的综合（压轴） 题型11 全等的性质与ASA（AAS）综合 题型22 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 命题（共3小题） 1．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 2．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式 ． 【答案】 真命题 “如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行” 【分析】本题考查了命题，根据平行公理的推论可判断命题的真假，找出命题的题设和结论，再改写成“如果那么”的形式即可，掌握课本基本知识是解题的关键． 【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题， 写成“如果那么”的形式是“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”， 故答案为：真命题；“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 题型二 证明（共3小题） 4．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 5．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 6．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 题型三 互逆定理（共3小题） 7．下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题， 则原定理没有逆定理，符合题意； 故选：D． 8．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 9．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，定理与逆定理的含义，根据以上基础知识再逐一分析各选项即可． 【详解】解：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆定理是：角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，故A不符合题意； 两个全等三角形的对应角相等的逆命题是：三个角分别相等的两个三角形全等，是假命题，故B符合题意； 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的逆定理是到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故C不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故D不符合题意； 故选B 题型四 图形的全等（共3小题） 10．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【分析】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【详解】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 11．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF= ． 【答案】6 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6． 故答案为：6． 【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边． 12．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 题型五 全等三角形的概念与性质（共3小题） 13．若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 14．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 15．如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、、、，根据三角形的周长公式计算即可． 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【详解】（1）解： ，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 题型六 用SSS证明三角形全等（共3小题） 16．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 17．如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，找到最后一组对应边相等即可． 【详解】解：在和中，， ∴当时，； 当时，则：，； 故答案为：（或）． 18．如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等． （1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等． （2）利用全等三角形对应角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中，， ∴（） （2）证明：∵， 题型七 全等的性质与SSS综合（共3小题） 19．如图，在和中，， 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，即可得到． 【详解】证明：在和中， ∴ ， ∴ ． 20．如图，，，求证： (1)． (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，再根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】（1）证明：在和中 ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴． 21．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键 （1）根据证； （2）根据，得，由求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ． （2）解：， ， ． 题型八 用SAS证明三角形全等（共3小题） 22．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 23．如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”判定：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此增加条件即可． 【详解】解：∵，，现要证明， ∴根据“”判定，则需增加条件． 故答案为：． 24．如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得，从而利用判定； （2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ． 题型九 全等的性质与SAS综合（共3小题） 25．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，最后再次利用三角形外角性质求出． 【详解】（1）证明：， ． 在与中， ， ． （2）解： ， ，． ． 27．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 题型十 用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 28．如图，与相交于点，连接、，，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在与中， ∴ 故选：B． 29．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 30．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 题型十一 全等的性质与ASA（AAS）综合（共3小题） 31．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 32．如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度保持不变，为3 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，由得到，然后证明即可； （2）首先由得到，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：线段的长度保持不变．理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴． 33．如图，在中，于E，点F在边上，连接． (1)求证∶； (2)若，且的面积等于24，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质． （1）证明，即可求证； （2）根据，可得，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴． （2）解∶由（1）得∶， ∴， 即 ， 又∵，且的面积等于24， ∴ ， ∴． 题型十二 添加条件使三角形全等（共3小题） 34．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 35．如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 36．与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定，由得，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴，即 在与中, ，， A、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； B、添加，能判定，故本选项不合题意． C、添加， ∴，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不符合题意； D、添加， ∴，不能判定，故本选项符合题意． 故选：D． 题型十三 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 37．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 38．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 39．如图，小正方形的边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形，共 个． 【答案】(1)6 (2)画图见解析，3 【分析】（1）如图，用正方形面积减去三个三角形的面积即可求出答案； （2）分三种情况讨论：分别以为公共边，作与余下两边相等的三角形，再看是否符合题意即可． 【详解】（1）如图， ∴ ． 故答案为：6； （2）分类讨论：当为公共边时，如图， 即为所作； 当为公共边时，如图， 即为所作； 当为公共边时，如图，即为所作； 综上可知，共3个与全等且符合题意的三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查三角形的面积计算，作图—应用设计，全等三角形的判定．利用数形结合的思想是解题关键． 题型十四 构造全等三角形（共3小题） 40．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 41．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键．过点D作交延长线于点M，证明（），则，所以，即可求． 【详解】解：过点D作交延长线于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为3． 42．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 题型十五 倍长中线问题（共3小题） 43．在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 44．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 45．下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 【答案】， ，1，7，0.5，3.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 延长到E，使，连接，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴ ． 故答案为：，，1，7，0.5，3.5 题型十六 旋转模型（共3小题） 46．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 48．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 题型十七 垂线模型（共3小题） 49．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 50．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 51．如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. （2）证明∵， ∴，， ∵， ∴. 题型十八 三角形的尺规作图（共3小题） 52．如图，在中，点为边上的中点，连接． 尺规作图：在下方作射线，使得，且射线与的延长线交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据作一个角等于已知角的基本作图解答即可． 【详解】解：根据基本作图， 作图如图所示：、点E为所求， 53．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作平行线，平行线的性质与判定； （1）作，交于点； （2）任选一个作为题设，另一个作为结论，根据平行线的性质与判定证明即可； （3）根据题意设，则，进而根据平角的定义求得，得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）题设：①，结论：②． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题设：②，结论：①． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 54．根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： (1)过点作直线； (2)作，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，直线即为所求； （2）作线段，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求． 题型十九 全等三角形的动点问题（压轴）（共3小题） 55．如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（   ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据长方形的性质得到，进而分两种情况根据全等的性质列方程计算即可． 【详解】在长方形中，， ， ． ， 分两种情况：①当时，，点在上运动． 由题意，得 ， 解得； ②当时，，点在上运动． 由题意，得 ， 解得． 综上所述，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为1或7． 故选：C． 56．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，   ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 57．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 题型二十 全等三角形的模型（压轴）（共3小题） 58．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 59．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 60．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，点C正好落在直线l上，分别作于点F，于点E，则线段之间的数量关系为_______，线段之间的数量关系为_______． （2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与相交，其余条件不变．请问之间的数量关系是否发生改变？并说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，当以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）；（2）发生改变，理由见解析；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）发生改变，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时， ∵点E的速度为，点D的速度为， 则， ∵ 即， 则，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时， 则 即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时， 即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 题型二十一 全等三角形的综合（压轴）（共3小题） 61．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)结论不成立，有，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②∴， ∴； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 62．如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 63．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系找到全等的条件，利用全等三角形的性质进行证明和计算． （1）通过角度互余关系找到相等角，结合已知的边和角，证明，从而得出对应边相等． （2）如图2，过点作，交的延长线于，证明，得到对应边相等，再证明，从而证明； （3）设，证明，利用线段比例关系求解面积比． 【详解】（1）（1）证明：∵， ， ， 又， ， ； （2）（2）证明：如图2，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （3）当点在线段上时，如图， ， 设， 由（1）得：， ， ， ， 又， ， ， ， （2）当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于， ， 设， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值为或． 题型二十二 全等三角形的判定与性质综合（压轴）（共3小题） 64．如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 65．已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1)180 (2) (3)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，然后表示即可得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【详解】（1），， ， ， ∵， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，， ∵， ∴； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， 同理， ． 66．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． $ 专题06 全等三角形易错压轴题型专训 题型1 命题 题型12 添加条件使三角形全等 题型2 证明 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型3 互逆定理 题型14 构造全等三角形 题型4 图形的全等 题型15 倍长中线问题 题型5 全等三角形的概念与性质 题型16 旋转模型 题型6 用SSS证明三角形全等 题型17 垂线模型 题型7 全等的性质与SSS综合 题型18 三角形的尺规作图 题型8 用SAS证明三角形全等 题型19 全等三角形的动点问题（压轴） 题型9 全等的性质与SAS综合 题型20 全等三角形的模型（压轴） 题型10 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型21 全等三角形的综合（压轴） 题型11 全等的性质与ASA（AAS）综合 题型22 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 命题（共3小题） 1．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式 ． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 题型二 证明（共3小题） 4．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 5．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 6．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 题型三 互逆定理（共3小题） 7．下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 8．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 9．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 题型四 图形的全等（共3小题） 10．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 11．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF= ． 12．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 题型五 全等三角形的概念与性质（共3小题） 13．若，则的对应边是 ． 14．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 题型六 用SSS证明三角形全等（共3小题） 16．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 17．如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是 ． 18．如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 题型七 全等的性质与SSS综合（共3小题） 19．如图，在和中，， 求证： 20．如图，，，求证： (1)． (2) 21．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型八 用SAS证明三角形全等（共3小题） 22．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 23．如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 24．如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 题型九 全等的性质与SAS综合（共3小题） 25．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 26．如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 27．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 题型十 用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 28．如图，与相交于点，连接、，，，不添加辅助线，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 29．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 30．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十一 全等的性质与ASA（AAS）综合（共3小题） 31．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 32．如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 33．如图，在中，于E，点F在边上，连接． (1)求证∶； (2)若，且的面积等于24，求的长； 题型十二 添加条件使三角形全等（共3小题） 34．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 35．如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 36．与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 37．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 38．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 39．如图，小正方形的边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形，共 个． 题型十四 构造全等三角形（共3小题） 40．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 41．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 42．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 题型十五 倍长中线问题（共3小题） 43．在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 45．下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 题型十六 旋转模型（共3小题） 46．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    48．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 题型十七 垂线模型（共3小题） 49．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 50．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 51．如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 题型十八 三角形的尺规作图（共3小题） 52．如图，在中，点为边上的中点，连接． 尺规作图：在下方作射线，使得，且射线与的延长线交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； 53．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 54．根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： (1)过点作直线； (2)作，使，，． 题型十九 全等三角形的动点问题（压轴）（共3小题） 55．如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（   ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 56．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 57．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 题型二十 全等三角形的模型（压轴）（共3小题） 58．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 59．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 60．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，点C正好落在直线l上，分别作于点F，于点E，则线段之间的数量关系为_______，线段之间的数量关系为_______． （2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与相交，其余条件不变．请问之间的数量关系是否发生改变？并说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，当以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等时，直接写出此时t的值． 题型二十一 全等三角形的综合（压轴）（共3小题） 61．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 62．如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 63．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 题型二十二 全等三角形的判定与性质综合（压轴）（共3小题） 64．如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 65．已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 66．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $