专题08 实数易错压轴题型专训23大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题08 实数易错压轴题型专训 题型1 平方根、算术平方根的概念理解 题型13 立方根的实际应用 题型2 求一个数的算术平方根 题型14 无理数 题型3 利用算术平方根的非负性解题 题型15 无理数整数部分的有关计算 题型4估计算术平方根的取值范围 题型16 实数的概念与分类 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 题型17 实数与数轴 题型6 算术平方根的实际应用 题型18 实数大小比较 题型7 求平方根 题型19 近似数 题型8 利用平方根解方程 题型20 算术平方根、立方根的规律探索（压轴） 题型9 平方根的应用 题型21 平方根、立方根的实际应用（压轴） 题型10 立方根的概念理解 题型22 整数部分、小数部分综合（压轴） 题型11 求立方根 题型23 实数的新定义运算（压轴） 题型12 与立方根有关的规律探索 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根、算术平方根的概念理解（共3小题） 1．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 3．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是 ． 题型二 求一个数的算术平方根（共3小题） 4．若是整数，则a的值可能是（    ） A． B． C．4 D．8 5．已知是实数，，则的算术平方根是 ． 6．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型三 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 7．已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 8．已知，则 ． 9．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 题型四 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 10．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 11．已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 12．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 13．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 14．利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 15．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 题型六 算术平方根的实际应用（共3小题） 16．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 17．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 18．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长是___________cm； (2)若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 题型七 求平方根（共3小题） 19．求下列各数的平方根： (1)； (2)121； (3)． 20．如果，求的值为 ． 21．如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 题型八 利用平方根解方程（共3小题） 22．求下列x的值： (1)； (2)． 23．求下列各式中x的值 (1)； (2) 24．当分式的值为零时，则x的值为 ． 题型九 平方根的应用（共3小题） 25．园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 26．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 27．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 题型十 立方根的概念理解（共3小题） 28．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 29．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 30．下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 题型十一 求立方根（共3小题） 31．根据你发现的规律填空：若，则 ． 32．求下列各式的值： (1)； (2)． 33．若与互为相反数，求的立方根． 题型十二 与立方根有关的规律探索（共3小题） 34．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 35．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 36．（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 题型十三 立方根的实际应用（共3小题） 37．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 38． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 39．如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 题型十四 无理数（共3小题） 40．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．下列各数： 0，，，， ，，，  ，   ，，（每两个1之间多一个0），无理数的个数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 42．下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 题型十五 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 43．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 44．的整数部分为，小数部分为，则= ． 45．因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 题型十六 实数的概念与分类（共3小题） 46．下列说法，正确的是（   ） A．与数轴上一一对应的数是有理数 B．数轴上的点可以表示所有的实数 C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是无理数 47．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 48．把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 题型十七 实数与数轴（共3小题） 49．如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 50．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 51．（1）如图1，每个小正方形的边长是1，在图1中补全以为边的正方形； （2）图1中以为边的正方形面积是______，边长是______； （3）把正方形的边放在数轴上，使得点A正好在数轴上的处，那么点B表示的数是______． 题型十八 实数大小比较（共3小题） 52．利用，比较与的大小． 53．比较大小 (1)与 (2)与 54．（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 题型十九 近似数（共3小题） 55．我国的领土面积约为9596960平方千米，按四舍五入精确到万位，则我国的领土面积约为（   ） A．9597万平方千米 B．959万平方千米 C．960万平方千米 D．96万平方千米 56．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 57．小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（精确到十分位， ） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积与图1的方案相比是否更大？ 如果更大，那么大多少？ （结果保留π） 题型二十 算术平方根、立方根的规律探索（压轴）（共3小题） 58．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 59．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 60．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型二十一 平方根、立方根的实际应用（压轴）（共3小题） 61．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 62．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 63．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 题型二十二 整数部分、小数部分综合（压轴）（共3小题） 64．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 65．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 66．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ，的整数部分为，小数部分为． 再如：，即，的整数部分为，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则______，______； (2)已知． ①若是整数，且，求的值； ②若一张长方形信封的长和宽分别是，；如图，准备一个与此信封相同尺寸的纸片，将该纸片按如图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 题型二十三 实数的新定义运算（压轴）（共3小题） 67．同学们已经学习了整式、分式还有算术平方根，小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③中，属于神奇对称式的是______（填序号）； (2)已知． ①若，，则神奇对称式的值______； ②若，且神奇对称式的值为，求p的值． 68．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 69．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题08 实数易错压轴题型专训 题型1 平方根、算术平方根的概念理解 题型13 立方根的实际应用 题型2 求一个数的算术平方根 题型14 无理数 题型3 利用算术平方根的非负性解题 题型15 无理数整数部分的有关计算 题型4估计算术平方根的取值范围 题型16 实数的概念与分类 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 题型17 实数与数轴 题型6 算术平方根的实际应用 题型18 实数大小比较 题型7 求平方根 题型19 近似数 题型8 利用平方根解方程 题型20 算术平方根、立方根的规律探索（压轴） 题型9 平方根的应用 题型21 平方根、立方根的实际应用（压轴） 题型10 立方根的概念理解 题型22 整数部分、小数部分综合（压轴） 题型11 求立方根 题型23 实数的新定义运算（压轴） 题型12 与立方根有关的规律探索 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根、算术平方根的概念理解（共3小题） 1．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 1的平方根是，该选项错误，不符合题意； B.负数没有平方根，该选项错误，不符合题意； C. ，的平方根是，该选项正确，符合题意； D. 0的平方根为0，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 3．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 求一个数的算术平方根（共3小题） 4．若是整数，则a的值可能是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，负数没有平方根，根据相关知识进行分析，即可作答． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴A和B选项不符合题意； ，2是整数，故C符合题意， 不是整数，故D不符合题意， 故选：C 5．已知是实数，，则的算术平方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查算术平方根的非负性、完全平方式的非负性、有理数的乘法、算术平方根、相反数，利用非负性正确求出x、y值是解答的关键． 根据非负性求出x、y的值，代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为：1 6．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）先算算术平方根，再取其相反数，求解即可； （3）根据性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 题型三 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 7．已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 8．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，进而可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：8 9．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 题型四 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 10．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11．已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 12．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 13．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 14．利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【答案】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 题型六 算术平方根的实际应用（共3小题） 16．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】符合，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设修建的这个篮球场的宽为，则长为，根据长方形的面积公式求出长与宽，再作出判断即可得到答案． 【详解】解：∵要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场， ∴设修建的这个篮球场的宽为，则长为， 由题意，得， 解得（取正值）， ∴， ∵比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． ∴这个篮球场符合比赛要求． 17．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为17； (2)x的值为． 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解：， 则阴影部分的面积为17； （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去） ∴阴影部分的边长为． 18．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． (1)大正方形纸片的边长是___________cm； (2)若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 【答案】(1)4 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据平方根解方程， （1）求16的算术平方根可得答案； （2）先设长方形的边长，根据面积相等列出方程，求出算术平方根，再根据结果判断即可． 【详解】（1）解：， 所以大正方形纸片的边长为（）． 故答案为：4； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，依题意得 则， 即， 解得：（不符合题意，舍去）， 长方形的长，宽， ， 不能裁出长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 题型七 求平方根（共3小题） 19．求下列各数的平方根： (1)； (2)121； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义作答即可； （2）根据平方根的定义作答即可； （3）根据平方根的定义作答即可． 【详解】（1）的平方根是； （2）121的平方根是； （3）的平方根是． 20．如果，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 21．如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 题型八 利用平方根解方程（共3小题） 22．求下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， 解得，或； （2）解：， ∵， ∴或， 解得，或． 23．求下列各式中x的值 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握平方根的求解过程． （1）利用等式的基本性质整理式子，利用平方根求未知数的值即可； （2）利用平方根求未知数的解即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： 或 或． 24．当分式的值为零时，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，利用平方根解方程，正确掌握分式的值为零，分子为零，分母不为零，是解题关键． 直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：当分式的值为零时，得 ， 即，且 解得，且， ∴． 故答案为：4． 题型九 平方根的应用（共3小题） 25．园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方根的实际应用，根据题意可得，即可得到，即可得到结果． 【详解】解：根据题意得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴或，都符合实际． 故答案为：． 26．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 27．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 题型十 立方根的概念理解（共3小题） 28．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念理解，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据立方根和平方根的概念求解即可． 【详解】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意； B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意； C、立方根是它本身的数是，原说法错误，不符合题意； D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意， 故选：D． 29．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根和平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.一个数的立方根有一个，该选项错误，不符合题意； B.因为负数的立方是负数，所以立方根是负数的数一定是负数，该选项正确，符合题意； C.负数有立方根，但没有平方根，该选项错误，不符合题意； D. 一个数的立方根和这个数的符号一致，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 30．下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】① 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 【详解】解：负数没有平方根，则①正确； 一个实数的立方根不是正数就是负数或0，则②错误； 负数没有平方根，则③错误； 平方根等于它本身的数是0，则④错误； 综上，正确的是①． 故答案为：①． 题型十一 求立方根（共3小题） 31．根据你发现的规律填空：若，则 ． 【答案】7.696 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：若， 则， 故答案为：7.696． 32．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，再根据立方根的定义进行计算； （2）根据立方根的定义，先求出被开方数的立方根，再取其相反数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．若与互为相反数，求的立方根． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的非负性，立方根等知识，熟练掌握非负数的性质是关键． 由于与互为相反数，那么它们的和为0，然后根据非负数的性质即可得到它们每一个等于0，由此即可得到关于m、n的方程，解方程即可求得m、n，再根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， 则， ∴的立方根是． 题型十二 与立方根有关的规律探索（共3小题） 34．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 35．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 36．（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】（1）填表见解析；（2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍；（3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 题型十三 立方根的实际应用（共3小题） 37．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 38． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：两； 5 任务 2：48 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解此题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可得解． 【详解】解：任务1：∵，，， ∴ ∴能确定195112的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； 任务：∵，，， ∴ ∴能确定110592的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； ∵， ∴的个位上的数是， ∴． 39．如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【答案】正方体容器的棱长为 【分析】本题考查了立方根的应用．设正方体容器的棱长为，依题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为． 依题意，得， 解得． 故正方体容器的棱长为． 题型十四 无理数（共3小题） 40．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：3.14159是有限小数，属于有理数； 4是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），π共2个． 故选：B． 41．下列各数： 0，，，， ，，，  ，   ，，（每两个1之间多一个0），无理数的个数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，逐一判断即可得答案． 【详解】解：，  ， 无理数有，，，（每两个1之间多一个0），共4个． 故选：B 42．下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不符合题意； C、是无理数，故原说法正确，不符合题意； D、圆周率是无理数，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型十五 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 43．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 44．的整数部分为，小数部分为，则= ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及无理数整数部分与小数部分，熟练掌握无理数估算是解决问题的关键．先估算出，进而得到的整数部分为，小数部分为，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， 则， 故答案为：． 45．因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出a、b的值．先分别求出的范围，进而求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：因为， 所以的整数部分为1，小数部分为． 又因为， 所以的整数部分为1，小数部分为， 则． 题型十六 实数的概念与分类（共3小题） 46．下列说法，正确的是（   ） A．与数轴上一一对应的数是有理数 B．数轴上的点可以表示所有的实数 C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是无理数 【答案】B 【分析】题目主要考查实数与数轴，实数的分类，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 根据实数与数轴的关系，无理数的定义依次分析各项即可． 【详解】解：A、与数轴上一一对应的数是实数，故本选项不符合题意； B、数轴上的点可以表示所有的实数，本选项符合题意； C、带根号，但是有理数，故本选项不符合题意； D、是不带根号的数，但是有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 47．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 48．把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 【答案】(1)0，， (2)，，0.15，3.1415926 (3)， (4)，0，，0.15，，，3.1415926 (5)，，，0.1010010001… 【分析】此题考查了算术立方根和平方根，实数的分类，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算算术立方根和平方根，然后根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据负数的定义求解即可； （4）根据有理数的定义求解即可； （5）根据无理数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合{0，，}； （2）解：分数集合{，，0.15，3.1415926}； （3）解：负数集合{，}； （4）解：有理数集合{，0，，0.15，，，3.1415926}； （5）解：无理数集合{，，，0.1010010001…}． 题型十七 实数与数轴（共3小题） 49．如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算的取值范围，进而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选A． 50．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求，再根据数轴上距离的概念可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 51．（1）如图1，每个小正方形的边长是1，在图1中补全以为边的正方形； （2）图1中以为边的正方形面积是______，边长是______； （3）把正方形的边放在数轴上，使得点A正好在数轴上的处，那么点B表示的数是______． 【答案】（1）见解析；（2）5，；（3） 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、实数的运算，解决此题的关键是熟练掌握相关定义和性质． （1）根据正方形的特征补全即可； （2）利用割补法求出正方形面积，再利用算术平方根的定义得出边长即可； （3）分两种情况讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）补全以为边的正方形如图： （2）图1中以为边的正方形的面积为， 则正方形的边长为， 故答案为：5，； （3）因为点A正好在数轴上的处，， 所以当点在点左侧时，点表示的数是； 当点在点右侧时，点表示的数是； 故答案为：． 题型十八 实数大小比较（共3小题） 52．利用，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质1，得， 即． ∵， 根据不等式的基本性质2，得， 53．比较大小 (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，灵活运用实数的大小比较方法是解题关键． （1）先根据分子相同，分母大的数小，得到，再根据实数的大小比较法则求解即可； （2）先求出差的2倍等于，再判断出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ，，且， ， ， ， ． 54．（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 题型十九 近似数（共3小题） 55．我国的领土面积约为9596960平方千米，按四舍五入精确到万位，则我国的领土面积约为（   ） A．9597万平方千米 B．959万平方千米 C．960万平方千米 D．96万平方千米 【答案】C 【分析】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是精确到哪一位，即对下一位数字进行四舍五入．题目要求精确到万位，则对千位进行四舍五入即可． 【详解】解：万 故选C． 56．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数“一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义，利用四舍五入法则求解即可得． 【详解】解：（精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）； 故答案为：；；． 57．小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（精确到十分位， ） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积与图1的方案相比是否更大？ 如果更大，那么大多少？ （结果保留π） 【答案】(1) (2)约2.1 (3)此时窗户能射进阳光的面积与图1的方案相比更大，大 【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值，灵活运用长方形和圆的面积公式是解答本题的关键． (1)根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，然后再根据圆的面积公式表示窗帘部分的面积，最后作差即可； (2)根据(1)得出的式子，再把a、b的数值代入即可求出答案； (3)利用(1)的方法列出代数式，比较大小，作差即可得出答案． 【详解】（1）解∶长方形的面积为， 窗帘部分的面积为∶， 所以窗户能射进阳光的面积是； 故答案为：； （2）解∶当，时， 答∶窗户能射进阳光的面积约是2.1； （3）解∶长方形的面积为， 窗帘部分的面积为∶， 所以窗户能射进阳光的面积是，， ． 所以此时窗户能射进阳光的面积与图1的方案相比更大，大． 题型二十 算术平方根、立方根的规律探索（压轴）（共3小题） 58．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 59．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 60．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 题型二十一 平方根、立方根的实际应用（压轴）（共3小题） 61．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 62．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 63．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 题型二十二 整数部分、小数部分综合（压轴）（共3小题） 64．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 65．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【答案】（l）1；（2）28． 【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可； （2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，∴ ∴ ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a、b的值是解答本题的关键． 66．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ，的整数部分为，小数部分为． 再如：，即，的整数部分为，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则______，______； (2)已知． ①若是整数，且，求的值； ②若一张长方形信封的长和宽分别是，；如图，准备一个与此信封相同尺寸的纸片，将该纸片按如图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】（1）根据，得出，的值即可； （2）①根据，是整数，且，得出，的值，即可得答案；②由，得到，则，解方程组求出y的值，再估算出y的取值范围即可得到答案． 本题考查剪纸问题，估算无理数的大小，实数的运算，会估算无理数的整数部分和小数部分是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11，小数部分为， ∵，是整数，且， ∴， ； ， ，即， 联立， 解得， ， ， ， 小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 题型二十三 实数的新定义运算（压轴）（共3小题） 67．同学们已经学习了整式、分式还有算术平方根，小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示，例如：，． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③中，属于神奇对称式的是______（填序号）； (2)已知． ①若，，则神奇对称式的值______； ②若，且神奇对称式的值为，求p的值． 【答案】(1)①③ (2)①；  ② 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）根据神奇对称式的概念求解即可； （2）①由，得出，再根据直接求解即可；②由，得出，再列关系式，解该式子即可求解． 【详解】（1）解：①交换m、n后为，故①是神奇对称式； ②交换m、n后为，故②不是神奇对称式； ③交换a、b或交换b、c或交换a、c后都是，故③是神奇对称式； 故答案为：①③； （2）解：∵， ∴ ∴， ①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 68．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 69．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． $