专题07 实数90道计算题专训（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题07 实数90道计算题专训 题型1 解平方根方程 题型2 解立方根方程 题型3 平方根、立方根结合的计算 题型4 平方根、立方根文字类计算 题型5 平方根、立方根的规律计算题 题型6 实数的混合运算 题型7 实数的规律计算 题型8 实数的新定义运算 题型9 整数部分、小数部分有关的计算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解平方根方程（共10小题） 1．求下列方程中x的值：． 2．求等式中的x值：． 3．解方程 (1) (2) 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2) 6．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 7．求下列各式中的值． (1)； (2)． 8．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 9．求出下列等式中x的值： (1) (2) 10．解方程：． 题型二 解立方根方程（共10小题） 11．求下列各式中的值： (1)； (2)． 12．求的值：． 13．求下列各式中的的值： (1) (2) 14．求下列各式中x的值： (1)； (2) 15．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 16．解方程 (1)； (2)． 17．求下列各式中的值． (1) (2) 18．解方程： (1) (2) (3) 19．求下列方程中x的值： (1)； (2) 20．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型三 平方根、立方根结合的计算（共10小题） 21．计算：． 22．计算： (1) (2) 23．计算：． 24．计算． 25．计算：； 26．计算：． 27．计算： (1)； (2)． 28．计算：． 29．计算： (1) (2) 30．计算：． 题型四 平方根、立方根文字类计算（共10小题） 31．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 32．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 33．已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 34．（1）已知的立方根是3，的平方根是，求的平方根； （2）若与是同一个正数m的两个不相等的平方根，求a和m的值． 35．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 36．已知x是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x， y的值． (2)求的平方根． 37．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 38．如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． (1)求和的值． (2)求的算术平方根． 39．已知的立方根是，的算术平方根是3，满足． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 40．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 题型五 平方根、立方根的规律计算题（共10小题） 41．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 42．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 43．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 44．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 45．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 46．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 47．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 48．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 49．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 50．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型六 实数的混合运算（共10小题） 51．计算下列各题： (1) (2) 52．计算： (1)； (2)． 53．计算：． 54．计算： (1)． (2)． 55．计算 (1)； (2)． 56．计算：． 57．计算 (1) (2)化简 58．计算： (1)； (2) 59．计算 (1) (2) 60．计算： (1) (2) 题型七 实数的规律计算（共10小题） 61．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 62．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 63．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 64．阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 65．阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 66．观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1) ； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 67．观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 68．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 69．阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 70．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 题型八 实数的新定义运算（共10小题） 71．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 72．定义：对于任意实数m，符号表示不小于m的最小整数．例如：，． (1)填空： ； (2)若，求实数的取值范围； (3)求实数的取值范围． 73．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 74．用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：． (1)求； (2)若，求的取值范围． 75．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)根据规定，计算： ； (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： ①若方程，则x的所有取值为 ； ②解方程：． (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数． 76．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 77．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 78．已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 79．对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 80．阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：____，____． (2)求的值． (3)已知，，求的值． 题型九 整数部分、小数部分有关的计算（共10小题） 81．已知的整数部分为x，小数部分为y，求代数式的值． 82．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 83．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根及的立方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 84．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 85．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 86．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 87．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 88．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 89．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 90．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题07 实数90道计算题专训 题型1 解平方根方程 题型2 解立方根方程 题型3 平方根、立方根结合的计算 题型4 平方根、立方根文字类计算 题型5 平方根、立方根的规律计算题 题型6 实数的混合运算 题型7 实数的规律计算 题型8 实数的新定义运算 题型9 整数部分、小数部分有关的计算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解平方根方程（共10小题） 1．求下列方程中x的值：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．先通过移项将常数项移到等号右边，得到的表达式，再利用平方根的定义求出的值，进而求出． 【详解】解： 当时，； 当时，， 所以x的值为或． 2．求等式中的x值：． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，移项，利用平方根的定义，解方程即可． 【详解】解：由，得， ， 或， 或． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，掌握平方根的性质为解题的关键． （1）直接利用平方根的性质解方程即可； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即或4． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义解答即可； （2）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 所以，． （2）解：， ， ， 所以，． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 6．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． 7．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 8．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方根的性质，将方程化为形式，然后根据性质求出x的值是解题的关键． （1）先移项得到，然后根据平方根的性质即可求出x的值； （2）先将的系数为1，然后根据平方根的性质即可求出x的值； （3）将看作一个整体，然后根据平方根的性质即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ． （3）解：， ， ， 所以． 9．求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 10．解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 题型二 解立方根方程（共10小题） 11．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 12．求的值：． 【答案】 【分析】本题考查了运用立方根解方程，先整理得，再开立方，即可作答． 【详解】解：， ， ． 13．求下列各式中的的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义，解方程即可； （2）利用立方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ． 14．求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 15．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先求出，再根据平方根的定义求解即可； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或． （2）解：， ， ， ． 16．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握立方根和平方根的定义是解题关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）根据立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 17．求下列各式中的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性即可； （1）由题意得或，据此即可求解； （2）由题意得，进一步得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴或； 解得：或； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； 18．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根解方程，立方根解方程． （1）先开平方，再计算即可； （2）先开立方，再计算即可； （3）先开立方，再计算即可． 【详解】（1） 解得：或 （2） （3） 19．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 20．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根求方程的解，解题的关键是熟练掌握立方根的运算法则． （1）利用解方程的步骤进行运算，最后利用立方根进行求解即可； （2）利用解方程的步骤进行运算，最后利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． ； （2）解： 两边同乘3，得， ， 即 ． 题型三 平方根、立方根结合的计算（共10小题） 21．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了实数的加减混合运算，先计算乘方，算术平方根，化简绝对值，立方根，再计算实数的加减即可得，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 22．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算即可； （2）根据算术平方根，立方根，绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算以及绝对值的化简．分别计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 24．计算． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，零指数幂，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别化简算术平方根，立方根，零指数幂，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 25．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．首先进行算术平方根，立方根运算以及化简绝对值，然后相加减即可． 【详解】解： ． 26．计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． 先计算算术平方根，立方根，最后进行有理数的加减即可． 【详解】解： ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的计算，实数比较大小，绝对值的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的性质化简计算，再判断绝对值里面实数的大小，去绝对值符号，再进行合并即可； （2）根据立方根的性质化简计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 28．计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了有理数乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，分别计算有理数乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，然后合并即可，准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算是解题的关键． 【详解】解∶原式 ． 29．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分别计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开式子，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，化简绝对值，乘方，负整数指数幂，先化简立方根，算术平方根，绝对值，乘方，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 题型四 平方根、立方根文字类计算（共10小题） 31．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案. 【详解】解：的平方根是 ，； 的立方根是2 ， ∴， ∴； ， 的算术平方根为． 32．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 33．已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值； （2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得         故 ∴， 解得 由题意， 解得； （2）∵， ，6的平方根为 ， 所以的平方根为． 34．（1）已知的立方根是3，的平方根是，求的平方根； （2）若与是同一个正数m的两个不相等的平方根，求a和m的值． 【答案】（1）的平方根是；（2）， 【分析】此题主要考查了平方根，立方根的定义． （1）直接利用立方根、平方根的定义得出a，b的值，再求出的值，根据平方根的定义进而得出答案； （2）直接利用平方根的定义得出a的值，进而即可求出的值． 【详解】解：（1）根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是； （2）∵与是同一个正数m的两个不相等的平方根， ∴， ∴， ∴． 35．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了已知立方根求这个数，已知平方根求这个数，求立方根，依题意，列式，，解得，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根为 ∴， 解得：， ∵的立方根为2 ∴， 解得：， ∴． 36．已知x是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x， y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，，解答即可． （2）先计算，再求平方根． 本题考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：由， ， 故． 37．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 38．如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． (1)求和的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解后，再根据平方根与原数的关系求出；依据立方根的定义求出． （2）先把（1）中求得的、的值代入计算出结果，再根据算术平方根的定义求出其算术平方根． 本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这些定义及正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和 ∴ 解得 ∴ ∴ ∵是的立方根， ∴； （2）解：把，代入得： ∵， ∴的算术平方根是，即的算术平方根是． 39．已知的立方根是，的算术平方根是3，满足． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根，绝对值． （1）运用平方根和立方根知识得关于，的方程组，根据绝对值的性质得关于的方程，解方程即可； （2）将，，的值代入后，运用平方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∵满足， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：由（1）所得，，， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 40．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握平方根与立方根的概念是解决本题的关键． （1）根据平方根与立方根的概念可求解a与b的值，再由的大小范围即可求解c的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， 综上； （2）解：∵， ∴， ∵5的平方根为， ∴的平方根为． 题型五 平方根、立方根的规律计算题（共10小题） 41．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 42．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 43．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 44．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 45．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 46．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 47．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 48．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 49．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 50．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型六 实数的混合运算（共10小题） 51．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根、绝对值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根、立方根化简，然后再计算即可； （2）先根据算术平方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可得解； （2）先化简各式，再进行计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 53．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根、化简绝对值、求立方根，先计算算术平方根、化简绝对值、立方根，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 54．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方、立方根、平方根、零指数幂及绝对值的运算，解题的关键是熟练掌握各运算的基本法则（如负数奇次幂为负、立方根的性质、非零数的零次幂为1、绝对值的化简规则），准确计算每一项后进行加减运算． （1）先计算，再计算，最后计算，将三项结果相加即可； （2）先计算（非零数零次幂为），再计算，最后化简（因故结果为），将三项结果相加． 【详解】（1） ； （2） 55．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)7 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义． （1）先计算算术平方根的平方，算术平方根，立方根，再合并即可． （2）先计算零指数幂，立方根，乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 56．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的计算、绝对值的化简、立方根的计算及实数的加减运算；掌握正确判断绝对值内式子的正负以化简绝对值，以及准确计算算术平方根和立方根，是解题的关键．先分别计算平方的算术平方根、绝对值、立方根，再将所得结果代入原式进行加减运算，最终得到结果． 【详解】解：原式 ． 57．计算 (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求算术平方根，立方根，再进行加减计算； （2）先去绝对值，再进行实数的加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 58．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算： （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用立方根的定义，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） 59．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）去括号，合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 60．计算： (1) (2) 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、化简绝对值、乘方运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再加减运算即可求解； （2）先算术平方根、绝对值、乘方运算，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 实数的规律计算（共10小题） 61．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 62．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 63．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 64．阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 65．阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 66．观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1) ； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：； （2）解：由题意知，． 故答案为：； （3）解：由题意知，． 67．观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 68．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 69．阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 【答案】（3）；（4）19 【分析】本题考查数字的变化类，解分式方程，掌握列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （3）由运算规律即可得出答案； （4）由运算规律即可得出一般性的规律，根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：（3）由运算规律可得：， 故答案为：； （4）由运算规律可得：， 则 ； ∵结果的小数部分为0.95，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 70．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 题型八 实数的新定义运算（共10小题） 71．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 72．定义：对于任意实数m，符号表示不小于m的最小整数．例如：，． (1)填空： ； (2)若，求实数的取值范围； (3)求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查了无理数估算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识和定义进行计算、求解． （1）运用定义分别估算出和求解即可； （2）根据定义估算出的范围，再进行求解； （3）运用定义将变形为，再估算出的范围，最后再求解出实数p的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，=，=， ， 故答案为：2； （2）解：由题意得， ， 解得， 实数p的取值范围是； （3）解：， ， ， ， 可得不等式组， 解得， 实数p的取值范围是． 73．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是 (2)1或 【分析】本题考查了算术平方根的概念．熟练掌握算术平方根的概念以及理解“和谐组合”、“最小算术平方根”与“最大算术平方根”的定义是解题的关键． （1）根据和谐组合”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根进行判断即可； （2）计算并验证三个数两两乘积的算术平方根是否为整数，再确定最小和最大算术平方根． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴2，8，这三个数是“和谐组合”， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是； （2）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为1或． 74．用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，则可得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵ ∴ ， ∵， ∴， 解得． 75．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)根据规定，计算： ； (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： ①若方程，则x的所有取值为 ； ②解方程：． (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数． 【答案】(1)6 (2)①4，5，6，7，8；②7，8，9 (3)256 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义列出关于未知数的不等式是本题解题的关键． （1）根据无理数大小的估算方法求解即可； （2）①根据新定义列出关于x的不等式，求解x的整数值即可； ②先求出x的取值范围，估算出和的取值范围，然后代入方程内验证，求得x的整数值； （3）逆向推理，求出四次连续求根整数运算的数的取值范围，求其最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：6； （2）①∵， ∴， ∴， ∴x可取4，5，6，7，8； 故答案为：4，5，6，7，8； ②∵二次根式有意义且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴且， ∴，8，9； （3）令，，，，其中，a，b，c，d均为正整数，a，b，c，d均不为1， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴d的最小值为256，即需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数为256． 76．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 77．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 78．已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)x存在“有序表示”，见解析 【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义列出式子即可求解； （2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可； （3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则只要满足的都是有序数对， ∴（答案不唯一）； （2）解：， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （3）解：，， ∴，， ∴， ∴（满足条件）， 此时，，即， ∵均为有理数，为有理数， 设是x的“有序表示”， ∴，其中为有理数， ∵为有理数， 当或等均可满足， ∴x存在“有序表示”． 79．对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 80．阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：____，____． (2)求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，立方根与平方根的定义，理解新定义是解题的关键； （1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：， ． ． ． （3）根据材料，得 ． ． ． 题型九 整数部分、小数部分有关的计算（共10小题） 81．已知的整数部分为x，小数部分为y，求代数式的值． 【答案】代数式的值为 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，代数式求值． 化简，根据题意可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴ 答：代数式的值为． 82．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 83．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根及的立方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的算术平方根为，的立方根为； (2)． 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据算术平方根和立方根求原数，无理数的估算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后求解即可； （）先通过无理数的估算求出的值，然后把，代入求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的立方根为， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根为． 84．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 【答案】(1)3； (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数和两点间的距离公式． （1）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，求出它的整数部分和小数部分，从而求出，，再代入所求式子进行计算即可； （3）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分，再根据已知条件求出，，最后代入所求式子进行计算即可； （4）根据正方形的面积公式求出，从而求出，再设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3；． （2）解：， 的整数部分是2，小数部分是； 的整数部分是3，小数部分是， ， ． （3）解：， ， 的整数部分是13，小数部分为， ，其中是整数，且， ，， ； （4）解：正方形的面积为2， ， 设点表示的数为， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是， 故答案为：． 85．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据，再根据，其中是整数，且可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根为； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 86．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)8， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8． ∴的小数部分为． 故答案为：8，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴，， ∴． 87．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 88．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，，其中x是整数，且，可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：，即， 而a是的小数部分 ，∴． 又，即， 而b是的整数部分， ， ∴； （3）解：，其中x是整数，且， ，， 的相反数． 89．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)整数部分是4，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 90．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． $