专题03 轴对称（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学课件围绕轴对称、等腰三角形等核心几何知识，通过生活实例（如汽车牌照倒影、镜面时间）导入，构建“定义-性质-判定-综合应用”的递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光（生活实例抽象几何模型）、数学思维（分类讨论等腰三角形多解问题）和数学语言（尺规作图规范表达），题型分层覆盖基础到重难题，如镜面对称、等腰三角形存在性问题，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供丰富教学资源。

专题03 轴对称 八年级数学上学期 期中复习大串讲 人 教 版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴对称图形 能准确说出轴对称和轴对称图形的定义，区分二者联系与区别 基础考点，多在选择题、填空题中考查对概念的理解与辨别 平面直角坐标系中的轴对称 掌握平面直角坐标系中关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，并能运用规律求对称点坐标 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决平面直角坐标系中图形轴对称问题的基础 垂直平分线的性质与判定 理解并能熟练运用垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） 高频考点，易与等腰三角形、三角形全等结合，在几何证明与计算中频繁出现 等腰三角形 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一等）和判定（等角对等边），并能运用解决角度计算、线段证明等问题 核心考点，贯穿等腰三角形相关题目，在计算、证明题中高频出现，常与三角形内角和定理等结合 等边三角形 掌握等边三角形的性质（三边相等、三角都是 60° 等）和判定（三边相等、三角相等、有一个角是 60° 的等腰三角形），能运用解决相关问题 重要考点，多与等腰三角形、直角三角形等知识结合，在几何证明与计算中应用广泛 含 30° 角的直角三角形 掌握含 30° 角的直角三角形的性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半），并能运用解决线段长度计算等问题 常考考点，多在几何计算题目中出现，与直角三角形其他性质结合考查 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 轴对称与轴对称图形 知识点01 1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段； 2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条 1. 轴对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称. 解读 示例 正方形有四条对称轴 圆有无数条对称轴 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 轴对称与轴对称图形 知识点01 2. 轴对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【补充】 3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：   轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联 系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 轴对称与轴对称图形 知识点01 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 轴对称与轴对称图形 知识点01 4. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 平面直角坐标系中的轴对称 知识点02 1）关于x轴对称： 点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）， 2）关于y轴对称： 点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b）， -3 -2 -1 1 2 3 x O -3 -2 -1 1 3 2 y 简记：横同纵反. 简记：纵同横反. （a，b） （a，-b） （-a，b） 垂直平分线的性质与判定 知识点03 定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. C B A ∟ 数学语言 ∵C为线段AB的中点，l⊥AB， ∴直线l为线段AB的垂直平分线. l 性质 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. P 数学语言 ∵l是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴PA=PB 垂直平分线的性质与判定 知识点03 C B A ∟ l P 判定 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言 ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结 等腰三角形 知识点04 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （简称“三线合一”）. 定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示， 在△ABC中，AB＝AC， 其中AB、AC为腰，BC为底边， ∠A是顶角，∠B、∠C是底角. 等腰三角形性质定理 1）等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”）. ∟ 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形 （简称“等角对等边”）. 等腰三角形 知识点04 C B A ∟ D 【注意】 1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”. 等腰三角形的判定定理： 2 1 AD为中线 AD平分∠BAC AD⊥BC 等边三角形 知识点05 等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°.   文字描述 数学语言 图示 定义法 三条边都相等的三角形 是等边三角形 ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形 等角法 三个角都相等的三角形 是等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 等腰三角形法 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 定义 三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质 等边三角形的判定 含30°角的直角三角形 知识点06 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论 D A B C ∟ 如图，在Rt△ABC中，若∠BAC=30°， 则BC= AB. 几何表述 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 轴对称图形的识别 题型一 解｜题｜技｜巧 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） 解：．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，该选项符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； 轴对称图形的识别 题型一 B． D． A． C． B 解： A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 轴对称图形的识别 题型一 2．（24-25八年级上·云南临沧·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） B． D． A． C． 纳米 文心一言 C 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 轴对称图形的识别 题型一 D 4．（24-25八年级上·全国·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 解：A选项：“爱”字不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：“国”字不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：“敬”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“业”字是轴对称图形，故D选项符合题意． D 垂直平分线的性质与判定 题型二 解｜题｜技｜巧 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； （1）证明：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； 垂直平分线的性质与判定 题型二 解：，，   ，， ，   ，   设，，   ，， ，，   ， ，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． (2)已知，求的度数． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． （1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； 垂直平分线的性质与判定 题型二 （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 7．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． （1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； 垂直平分线的性质与判定 题型二 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 8．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． ∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； 垂直平分线的性质与判定 题型二 （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． （1）证明： 解｜题｜技｜巧 镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准 “对称轴”，再结合 “对应点 / 数字 / 时间” 的规律，就能快速解决. 镜面对称特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键，根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可。 镜 面 对 称 题型三 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为 ． 镜 面 对 称 题型三 F59583 F 5 9 5 8 3 解：关于水平方向的轴对称图形，如图所示 ∴该汽车牌照号码为F59583． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． : ． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中） 在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 镜 面 对 称 题型三 12．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（    ） A. B. C. D. A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； D 解： ∴实际时间最接近的是． 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 解｜题｜技｜巧 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点， 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 13．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，其中，，． (1)画出与关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标； (2)在轴上找一点，使最小，画出点的位置，并直接写出点的坐标 ． （1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示，点P即为所求作，点， 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 14．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 （1） 解：如图，即为所求 （2）解：如图，即为所求 （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 15．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 解：如图，为所求． 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 16．（山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 （1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； Q （3）解：如图，过点A作交直线l于G，由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． Q 在中，， ， 的最小值为9． G ∟ (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 17．（21-22七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 的周长 最小． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总） 题型四 18．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在中，是的角平分线． 如图，的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ∴， （1）解：作图 ， ， ． （2）证明： 关于坐标轴对称的点的坐标特征 题型五 解｜题｜技｜巧 根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数. 19．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 解：∵， ， ∴， 解得， ∴， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 关于坐标轴对称的点的坐标特征 题型五 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点关于直线的对称点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）点关于直线的对称点的坐标为 ； 点关于直线的对称点的坐标为 ． 解：（1）依题意， ， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）依题意，， ∴点关于直线的对称点的坐标为； 依题意， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 关于坐标轴对称的点的坐标特征 题型五 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）若点与点关于轴对称，则 ， ； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （4）若点与点关于轴对称，则 ， ． 解：（1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为， （2）若点与点关于轴对称， 则，， ∴， （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为； （4）若点与点关于轴对称，则，， 关于坐标轴对称的点的坐标特征 题型五 2 -5 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知直角坐标系中一点，先将它关于x轴作一次轴对称变换，再关于y轴作一次轴对称变换，最终得到的点的坐标为，求点的坐标． 解：∵直角坐标系中一点，将它关于x轴作一次轴对称变换 ∴得出， ∵关于y轴作一次轴对称变换， ∴得出， 依题意，， 解得 ， ∴点Q的坐标为． 关于坐标轴对称的点的坐标特征 题型五 等腰三角形分类讨论问题 题型六 解｜题｜技｜巧 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 23．（25-26八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 解：根据题意，分类讨论： ①当底边长为cm，则腰长为：cm， ∵， ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm； ②当腰长为cm，则底边长为：cm， ∵ ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm 类型一 当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 或 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，求腰长． 解：根据题意分情况讨论： ①若一腰长为，则另一腰长也为， ∴底边长为． ， ∴此种情况能构成三角形，符合题意． ②若底边长为，则腰长为． ， ∴此种情况能构成三角形，符合题意． 综上所述，腰长为或． 类型一 当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 25．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 解：（1）是等腰三角形的底角时， 顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 类型二 当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 或． 26．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是 度． 解：如图， （1）顶角是钝角时，， ∴顶角，不是钝角，不符合； （2）顶角是锐角时，， ，是锐角，符合． 50 27．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰中，已知一内角等于，则三角形的底角为 ． 解：①当是底角时，则答案为：； ②当是顶角时，底角为： ； 所以底角的度数为或． 类型二 当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 或 28．（黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2021-2022学年八年级上学期10月模拟测试数学试卷（五四制））等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 类型三 当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 或． 解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 29．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角；、 综上所述，等腰顶角度数为或或． 类型三 当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 或或 30．（21-22八年级下·辽宁盘锦·开学考试）在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，那么 ． 解：当点在线段上时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴； 类型四 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 或 31．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 解：如图1， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； 类型四 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 如图2， ∵∠𝑨𝑬𝑫=𝟏𝟎°，𝑬𝑭垂直平分𝑨𝑩， ∴∠𝑨𝑫𝑬=∠𝑩𝑫𝑭=𝟗𝟎°， ∴∠𝑨=𝟗𝟎°−𝟏𝟎°=𝟖𝟎°， ∵𝑨𝑩=𝑨𝑪， ∴∠𝑩=∠𝑨𝑪𝑩 =(𝟏𝟖𝟎°−𝟖𝟎°)=𝟓𝟎°， ∴∠𝑩𝑭𝑬=∠𝑩𝑫𝑭+∠𝑩 =𝟗𝟎°+𝟓𝟎°=𝟏𝟒𝟎°， 当垂直平分线与线段交于点， ∵∠AED=10°，EF垂直平分AB， ∴∠BAC=90°-10°=80°， ∴∠BEA=20° ∴∠BEC=160° ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=1/2 (180°-80°)=50°， ∴∠BEC+∠BCA=210° △BCE中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段AC交于点E，此种情况不存在， 综上，∠BFE=50°或140°。 31．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则 ． 类型四 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 50°或140° 32．（24-25七年级下·四川成都·期末）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．或 B． C． D． 解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 取一腰的中点，连接该中点与底边顶点形成中线，中线将原三角形的周长分为两部分： 一部分为腰长的一半和底边之和：； 另一部分为腰长的一半和另一腰之和：； 两部分的周长差为，解得或， 验证解：当时，三边为、、，满足三角形三边关系； 当时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边，舍去； 综上，腰长为， 类型五 由腰上的中线所引起的分类讨论 D 33．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 解：为的边上的中线，． 分两种情况讨论： ①当时，即． ， ， 周长为； 类型五 由腰上的中线所引起的分类讨论 ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 题型七 解｜题｜技｜巧 对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解. 【注意】已知多个等腰三角形时，常利用方程思想解题. 34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一等腰三角形的两外角的度数之比为，试求其与底角相邻的外角的度数． 解：设这两个外角分别为x，4x， ①若底角的外角是x，则 解得， 则底角为，不合题意； 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 题型七 ②若顶角的外角是x，则 ， 解得， 则顶角为，底角为， 故底角的外角的度数为， 即与底角相邻的外角度数为． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，且，求的度数． 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 题型七 解：如图，在上截取， 连接． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的外角， ∴，∴， 在中，， 即，解得， ∴． 解：∵𝑨𝑴=𝑨𝑵,𝑪𝑵=𝑪𝑷， ∴△𝑨𝑴𝑵,△𝑪𝑵𝑷都是等腰三角形， ∴∠𝑨𝑵𝑴=∠𝑨𝑴𝑵,∠𝑪𝑵𝑷=∠𝑪𝑷𝑵， ∴∠𝑨𝑵𝑴=∠𝑨𝑴𝑵=(𝟏𝟖𝟎°−∠𝑨)， ∠𝑪𝑵𝑷=∠𝑪𝑷𝑵=(𝟏𝟖𝟎°−∠𝑪)， ∵∠𝑨+∠𝑪=𝟏𝟖𝟎°−∠𝑨𝑩𝑪=𝟖𝟎°， ∴∠𝑨𝑵𝑴+∠𝑪𝑵𝑷 = (𝟏𝟖𝟎°−∠𝑨) + (𝟏𝟖𝟎°−∠𝑪) =𝟏𝟖𝟎°− (∠𝑨+∠𝑪)=𝟏𝟒𝟎°， ∴∠𝑴𝑵𝑷=𝟏𝟖𝟎°−∠𝑨𝑵𝑴−∠𝑪𝑵𝑷=𝟏𝟖𝟎°−(∠𝑨𝑵𝑴+∠𝑪𝑵𝑷)=𝟒𝟎°． 36．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示，△𝑨𝑩𝑪中，∠𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟎𝟎°, 𝑨𝑴=𝑨𝑵，𝑪𝑵=𝑪𝑷，求∠𝑴𝑵𝑷的度数． 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 题型七 37．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数． 解：设这个等腰三角形底角的度数为， 则它的顶角的度数为 根据“三角形的三个内角和等于”得： ， 解得： 即 答：这个三角形的三个内角分别为. 利用等腰三角形的性质求角的度数的方法 题型七 59 等腰三角形的个数问题 题型八 解｜题｜技｜巧 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论， ①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点； ②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. 38．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 解：如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 等腰三角形的个数问题 题型八 C 39．（20-21八年级上·山东临沂·期中）在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：如图： 从图中第一列中，可知当格点在最下方时，为等腰三角形， 第二列中没有构成等腰三角形的格点； 第三列中第一个格点和第二个格点可以构成等腰三角形，； 第四列中第二个格点和第四个格点可以构成等腰三角形，； 第五列中没有构成等腰三角形的格点． 等腰三角形的个数问题 题型八 C 40．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 等腰三角形的个数问题 题型八 （1）如图：即为所求， （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， 40．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标；． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个． 等腰三角形的个数问题 题型八 （3）如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点，作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 解：所有满足条件的点A如图所示： 等腰三角形的个数问题 题型八 见等腰，构造三线合一 题型九 解｜题｜技｜巧 已知等腰三角形，通过作底边的高（底边的中线，顶角的角平分线），利用等腰三角形三线合一的性质求解. 42．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． （1）解：如图，过作于， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， 见等腰，构造三线合一 题型九 H ∟ ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； 42．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 见等腰，构造三线合一 题型九 H ∟ 2）解：）如图，选择作为条件， 作为结论，理由如下： 过作于， 则， ∵，， ∴，， ∵，∴， ∵，， ∴， ∴，∴； ）如图，选择作为条件，作为结论， 理由如下：过作于， 则， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 见等腰，构造三线合一 题型九 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 43．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 见等腰，构造三线合一 题型九 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． H ∟ 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 证明：如图，连接， ∵中，， ，为边上的中点， ∴， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 见等腰，构造三线合一 题型九 在和中， ， ∴， ∴． 见等腰，构造三线合一 题型十 解｜题｜技｜巧 已知等腰三角形，通过作底边的高（底边的中线，顶角的角平分线），利用等腰三角形三线合一的性质求解. 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． 见等腰，构造三线合一 题型十 45．（第十五章轴对称数学活动）【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据 ； ②请你写出另一种证法； 等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或） ②证明：如图，连接． ∵，D是的中点， ∴是的平分线． ∵，， ． 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 见等腰，构造三线合一 题型十 （2）解：， 连接， ∵，D是的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 3）证明：选择①： ∵分别是和的中线， ，． ∵， ． 又∵D是的中点， ． 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 见等腰，构造三线合一 题型十 选择②：∵，D是的中点， ， ． 又∵分别是和的角平分线， ． 在和中， ∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(ASA ) ． 在和中 ， ∴． 46．（21-22八年级下·云南文山·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、．(1)兴趣小组现需要证明， 见等腰，构造三线合一 题型十 请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）． 证明：连接，由题意得，，， ∵ ， ， ， ， ∴， 又∵， ∴（ ）， ∴． (2)当点在延长线上时（点在点的右边），、、之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）． （2）解：，作图如图所示： 于点，交的延长线于点，于点， 由题意得，，， ， ， ， 又，， ， ， ； 46．（21-22八年级下·云南文山·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、．(1)兴趣小组现需要证明， (3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，请直接写出点的坐标． 46．（21-22八年级下·云南文山·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、．(1)兴趣小组现需要证明， （3）解：在中， 令得； 令得， ，， 同理求得， ∴， ， ∴， 即为等腰三角形， 设点坐标为， 根据题意可得； ②当点在延长线上时， 由得： ，， 把它代入中求得： ， 此时， ③当点在的延长线上时， 不存在； 综上所述：点的坐标为或． ①当点在边上时， 由得： ， ， 把它代入中求得：， 此时； 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 解｜题｜技｜巧 1）当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定； 2）当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明； 3）当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明. 48．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 （1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ； 即是等腰三角形； 48．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 （2）解：∵， ， ， 又平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ， ∴， ∴， ， 又∵， 49．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． （1）证明：∵点是的中点， ， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． （1）证明：∵， ∴， ∴ 即， 在和中， ， 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 ∴， ∴； 50．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 等腰三角形判定与性质综合 题型十一 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴ ， ， ∴除与外所有的等腰三角形为： ，，，． 构造等腰三角形五种方法 题型十二 解｜题｜技｜巧 1）作边的平行构造等腰三角形. 2）“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系； 3）“角平分线+垂线”构造等腰三角形，逆用等腰三角形的三线合一性质定理； 4）应用“垂直平分线”构造等腰三角形； 5）利用二倍角关系构造等腰三角形. 51．如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 解：． 理由： ，分别是，的平分线， ，． 又∵， ，， ，， 即，， ． 构造等腰三角形五种方法 题型十二 52．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习） （1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （1）解：将𝑨𝑫延长至𝑮，使𝑨𝑫=𝑫𝑮，连接𝑩𝑮，如下图所示： 在△𝑨𝑫𝑪和△𝑮𝑫𝑩中 ∴△𝑨𝑫𝑪≌△𝑮𝑫𝑩， ∴𝑨𝑪=𝑩𝑮=𝟒， 在△𝑨𝑩𝑮中，𝑨𝑩−𝑩𝑮<𝑨𝑮<𝑨𝑩+𝑩𝑮 ∴ 𝟔−𝟒<𝟐𝑨𝑫<𝟔+𝟒 ∴ 𝟏<𝑨𝑫<𝟓． 𝑮 52．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习） 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 𝑮 （2）证明：将延长至，使， 连接，如图所示： 由（1）中结论： ， 又 ， ， ， 即． 53．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． (1)求证：； (2)若的周长比的周长大8，试求出的长度． （1）证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （2）解： ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 ， ∵的周长比的周长大8， ∴ ． 54．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， 构造等腰三角形五种方法 题型十二 E ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 构造等腰三角形五种方法 题型十二 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； 构造等腰三角形五种方法 题型十二 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （2）∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作 ______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 55．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 构造等腰三角形五种方法 题型十二 （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， H E ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 解｜题｜技｜巧 1）与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 2）与等边三角形有关的线段长度的计算问题，常常与勾股定理相结合，利用等边三角形的性质构造直角三角形，借用勾股定理求线段长度. 56．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和 ， 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 57．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 ， 是等边三角形， ， ，， ． 58．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 证明：、是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 ， ， ， ， ． 59．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：；(2)求的度数．(3)求证：； （1）证明： ∵均为等边三角形， ∴ ， ， 即， 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 在与中， ， ． 59．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：；(2)求的度数．(3)求证：； 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 （2）解：由（1）知： ， ， ， ， ． 59．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． (1)求证：；(2)求的度数．(3)求证：； 利用等边三角形的性质求角度/线段长度 题型十三 （3）证明： ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 等边三角形判定与性质综合 题型十四 解｜题｜技｜巧 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 60．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． （1）证明：， ， 在和中， ， ∴， ， 是等腰三角形； 等边三角形判定与性质综合 题型十四 60．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 等边三角形判定与性质综合 题型十四 （2）， ， ， ， ， ； （3）， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 61．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． （1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； 等边三角形判定与性质综合 题型十四 61．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 等边三角形判定与性质综合 题型十四 （2）解：如图，过点O作OF⊥BC，交BC于点F， ∵DE是边AC的垂直平分线， ∴△CDE是直角三角形， 在Rt△CDE中， ∠DCE=30°， DE=OD+OE=6， ∴CE=2DE=12， ∠CED=90°-∠DCE=60°， ∵OF⊥BC， ∴△OEF是直角三角形， F ∟ ∴∠EOF=90°-∠CED=30° ∴在Rt△OEF中 EF=OE=×4=2， ∴CF=CE-EF=12-2=10， 由（1）得OB=OC， ∴△OBC是等腰三角形， 根据三线合一得，BF=CF=10， ∴BE=BF-EF=10-2=8． 62．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∠AOB=105°，连接OA，OD． (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)∠BOC=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形． （1）证明： ， ， ， 是的等边三角形； 等边三角形判定与性质综合 题型十四 （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； ， 是直角三角形， 62．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∠AOB=105°，连接OA，OD． (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)∠BOC=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形． 等边三角形判定与性质综合 题型十四 （3）解：若，则， 则 ，， ∴， ①当时， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 利用含30°角的直角三角形的性质求解 题型十五 解｜题｜技｜巧 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形. 63．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 利用含30°角的直角三角形的性质求解 题型十五 ∵， ∴， ∴， ∴， 64．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 利用含30°角的直角三角形的性质求解 题型十五 D ∟ 65．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． （1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 利用含30°角的直角三角形的性质求解 题型十五 65．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． （2）解：，， 是等边三角形， ， 平分， ，， ，， ， 在中，， ． 利用含30°角的直角三角形的性质求解 题型十五 等腰三角形存在性问题 题型十六 解｜题｜技｜巧 66．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 等腰三角形存在性问题 题型十六 （2）解：当时，， ∴点，即， ∴； 66．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题 题型十六 （3）解： 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵的面积是面积的， ∴， 解得：当点M在上时， ， 此时点M的坐标为； 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 66．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题 题型十六 （4）解：设，∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：，∴； 当时， 则， ∴或 当时 点与点关于过点且垂直轴的直线对称， 则，∴； 综上，当P的坐标为或或或时，是等腰三角形． 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：， ，， ，， ，； 等腰三角形存在性问题 题型十六 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； 等腰三角形存在性问题 题型十六 （2）解：由（1）知，，， ，， ， ，， 当点在线段上时，即时， 如图，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (3)若，则t的值为______； 等腰三角形存在性问题 题型十六 （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时， 即， 如图2，由运动知，， ， 4或8 同（2）的方法得， ， ， ， 即时，的值为4或8； 67．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题 题型十六 （4）解： ，，点， ， ，， 当时， ， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或. 68．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求的面积（用含的代数式表示）； (3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：设直线的解析式为， 把，代入得： 等腰三角形存在性问题 题型十六 直线的解析式为； 解得 （2）解：在中， 令得， ， 是直线上一动点， 且在点上方，纵坐标为， ， ， 的面积为； 68．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． (1)求直线的解析式； (2)求的面积（用含的代数式表示）； (3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题 题型十六 （2）解：在中，令得， ， 是直线上一动点，且在点上方，纵坐标为， ， ， 的面积为； 68．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． (3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题 题型十六 （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，理由如下： 的面积等于1， ， 解得， ， 设， ， ， ， ， ①当时，， 解得或； 或； ②当时，， 解得；； ③当时，， 方程无实数解； 综上所述，的坐标为或或． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中综合拓展练 1．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． （1）证明：是的角平分线， ． 设， 则． 垂足为， ． 中， ． ， ． ， ． ． ． 期中综合拓展练 1．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． （2）解：，．理由如下： 过点E作交于点M， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， M 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 期中综合拓展练 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． （1）解：点N第一次运动到点B用时为 ， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． 期中综合拓展练 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 解：存在．理由如下： 如图，点M，N在上，连接， M N ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中 ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时， ． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $