第三章 函数（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确． 故选：D． 2．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，则， 故， 所以． 故选：B． 3．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则可化为，解得，又，所以． 当时，，则可化为，解得，又，所以．综上，． 故选B． 4．若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1,， 中取得， 所以，，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故选：C． 5．有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设总时间为，传令员从排头到排尾所用时间为，从排尾到排头所用时间为， 所以，所以， 解得，即， 所以. 故选：C. 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 7．已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】函数，，， ，解得；，解得或， 可得，图象如图所示： 设，由得，解得或， 即或， 当时，由图可知有两个实根， 当时， 当时，没有实根，当时，有一个实根，当时，有两个实根， 综上，有两个实根或三个实根或四个实根， ∴实根个数的最小值为2． 故选：． 8．已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是关于的方程的两个不等实根， 所以，解得，且， 由，，所以函数的图象关于点对称， 则，且， 又对任意的，都有成立， 所以在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 故可知，函数在R上为增函数， 由，可得，解得， 又，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由函数的对称性得到，并结合函数单调性求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 10．设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】选项 A：代入 ，函数为： 当 时，，故 ； 当 时，（等号在 时成立）； 当 时，（因为 ，故 ），故选项 A 正确. 选项 B：当 时，，解得 ； 由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根； 当 时，，即 ， 由于 ，有 ，故 ，无实数解； 当 时，，即 ，解得 ， 但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误. 选项 C：当 时，，值域是； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线， 在 处取最大值 ； 当 时，，因为 ，所以； 比较各段：在 段，（因为 时 ）； 在 段，；在 段，. 因此，的最大值在 处取，值为 ，故选项 C 正确. 选项 D：当 时，，故函数在区间上单调递增； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ， 故函数在区间上单调递增； 考虑分段点 ：当时，， 因此，函数在 上单调递增，故选项 D 正确. 故选：ACD 11．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得为偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 因为，故， 所以， 当时，恒成立，即对满足要求， 当时，在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 综上，的取值范围为． A选项，由于，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，显然不是的子集，D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 13．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 14．函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，即，解得或（舍去）， 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，； 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，. 综上，函数的值域. 因为集合可取得中所有值， 所以，，则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域． 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 3分 所以图象如图所示． 5分 （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 8分 图象法表示的图象如图． 11分 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 13分 16．（15分）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）当时，， 2分 当时，， 4分 所以. 6分 （2）当时，， 当时，万元， 10分 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 13分 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 15分 17．（15分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 3分 联立方程，解得，. 6分 （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 10分 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 13分 可得，即， 所以实数的取值范围为. 15分 18．（17分）已知函数 (1)若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围; (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 【详解】（1）①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意； 2分 ②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意； 4分 ③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意； 6分 ④，， 解得：， 综上：a的取值范围是 8分 （2）的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 无最大值不合题意； 11分 当 即 时，在 上递减，无最大值不合题意； 14分 当 即 时， 的最大值为 解得 ( 舍去)， 所以 17分 19．（17分）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 2分 令，，则，即， 因为，所以，所以； 4分 （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； 8分 （3）令，则， 所以，所以． 10分 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 15分 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 10．设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 11．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 13．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 14．函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域． 16．（15分）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（15分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数 (1)若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围; (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 19．（17分）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B C C A C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．7 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 3分 所以图象如图所示． 5分 （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 8分 图象法表示的图象如图． 11分 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 13分 16．【详解】（1）当时，， 2分 当时，， 4分 所以. 6分 （2）当时，， 当时，万元， 10分 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 13分 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 15分 17．【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 3分 联立方程，解得，. 6分 （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 10分 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 13分 可得，即， 所以实数的取值范围为. 15分 18．【详解】（1）①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意； 2分 ②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意； 4分 ③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意； 6分 ④，， 解得：， 综上：a的取值范围是 8分 （2）的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 无最大值不合题意； 11分 当 即 时，在 上递减，无最大值不合题意； 14分 当 即 时， 的最大值为 解得 ( 舍去)， 所以 17分 19．【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 2分 令，，则，即， 因为，所以，所以； 4分 （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； 8分 （3）令，则， 所以，所以． 10分 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 15分 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，都有成立．若m，n是关于x的方程的两个不等实根，则关于t的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 10．设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 11．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 13．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 14．函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域． 16．（15分）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（15分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数 (1)若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围; (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 19．（17分）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $