第三章 函数 单元培优检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第三章 函数 单元培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知函数，则（　　） A．1 B． C． D．2 3．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．1 C． D．3 5．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 6．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   7．已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知函数的图象经过点，，则正确的是（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为. 10．已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 11．已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是奇函数，且.若，则 . 13．已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 14．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 16．某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） (1)求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； (2)已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； (3)在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 17．已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为6，求的值. 18．已知函数为偶函数，且. (1)求. (2)判断并证明在上的单调性. (3)我们定义：满足的函数叫做“合六函数”，请判断是否为“合六函数”，并解不等式. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式； (2)求函数图象的对称中心； (3)若定义在上的函数为奇函数，当时，，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 单元培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 两者相异，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且， 两个函数为同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为， 故两者相异，故C错误； 对于D，，两个函数对应法则相异，故D错误. 故选：B. 2．已知函数，则（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据定义域求解即可. 【详解】因为函数，易知； 所以. 故选：C. 3．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性列出关于的不等式组，求解即得. 【详解】由题意可得， 解得. 故选：C. 4．已知为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义结合条件计算即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，则， 所以，两式相加得，即. 故选：D． 5．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 6．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 7．已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】令结合建立方程求得判断A；结合奇函数性质判断B；令结合建立方程求得判断C；先求得，然后由及基本不等式求解即可判断D. 【详解】令，由得，即， 所以，故A错误； 令，由得，即， 所以，故C错误； 若定义在上的函数为奇函数，则，显然与矛盾，故B错误； 令，由得，即， 因为，则， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：D 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知函数的图象经过点，，则正确的是（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为. 【答案】AC 【分析】代入点的坐标求解可判断AB，由偶函数的定义、结合函数的单调性可判断CD. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由函数解析式可知：在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得， 解得，故选项D错误； 故选：AC. 10．已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，可得，再确定定义域，即可判断A，由“囧点”的概念即可确定B；根据与的关系判断C；再根据单调性确定最值即可． 【详解】当时，，， 对于A的定义域为，定义域关于原点对称，且， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，所以函数的图象与轴的交点为， “囧点”为，故B正确； 对于C，由，得， 时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，的最大值为，故D正确， 故选：ABD． 11．已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A：令，则．对． 对于B：令，则，所以．错． 对于C：赋为，为，则， 又，所以， 所以． 若，则，与不符，所以． 于是，即为偶函数．C错D对. 故选:． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是奇函数，且.若，则 . 【答案】-2 【分析】设，由是奇函数得到，令求出，即可求出. 【详解】设. 因为是奇函数，所以， 即，所以. 将代入上式可得，因为，所以， 所以. 故答案为：-2 13．已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【详解】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质及图象，结合不等式恒成立得到，时有为关键. 14．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图象，将问题转化为与的交点问题，结合图象对称性和韦达定理可将化为关于的二次函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】设， 则是与交点的横坐标， 根据解析式可作出图象如下图所示， ，，， 令，解得：或； 令，解得：； ； 令，则，； ， 在上单调递增，， 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 16．某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） (1)求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； (2)已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； (3)在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 【答案】(1) (2)22元/件 (3)100万元 【分析】（1）先求出总成本和总收入，进而求出利润的解析式即可. （2）先列出不等式，然后化简求解即可. （3）先求出第二年的总成本，然后列出第二年的利润表达式，根据二次函数的性质和售价的范围确定利润的最大值即可. 【详解】（1）由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为， 销售总收入为万元， 所以利润为. 即. （2）由题意知，，所以， 化简得，即， 因为，所以. 因此该电子产品第一年的售价为22元/件. （3）第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元， 所以总成本为万元，则第二年利润. 因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以. 对于二次函数，其对称轴为. 因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小， 所以当时，有最大值，万元， 因此，第二年利润的最大值为100万元. 17．已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. （2）由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 （3）由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 18．已知函数为偶函数，且. (1)求. (2)判断并证明在上的单调性. (3)我们定义：满足的函数叫做“合六函数”，请判断是否为“合六函数”，并解不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)是“合六函数”， 【分析】（1）根据偶函数的定义求出，再根据求出； （2）根据单调性的定义求证； （3）根据“合六函数”的定义化简，再结合奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】（1）因为为偶函数，则， 即，即恒成立，得， 又因为，有，得， 所以； （2）由（1）可知，， 在上单调递增，证明如下： 对，且，有 ， 根据，有均大于，, 则，即， 在上单调递增； （3）是“合六函数”，理由如下： ，有， 根据，可知， 所以可改为， 又为偶函数，且在上单调递增，则， 则，，，得， 又根据定义域要求，，得到不等式解集为. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式； (2)求函数图象的对称中心； (3)若定义在上的函数为奇函数，当时，，求不等式的解集. 【答案】(1)，，等，写出一个即可 (2) (3) 答案见解析 【分析】（1）由题意可得函数为奇函数，进而写出一个即可； （2）由题意可得函数为奇函数，进而根据奇函数的定义列方程求解即可； （3）根据题意易得以在上单调递增，进而解不等式可得，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为函数图象关于点成中心对称，所以该函数为奇函数， 常见的奇函数有，，等，写出一个即可. （2）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数. 设， 则， 因为， 所以 所以且，解得，， 所以对称中心为. （3）因为在上的函数为奇函数，所以关于中心对称， 当时，， 根据对勾函数的单调性可知，函数在单调递增； 又因为关于中心对称，且，所以在上单调递增. 由，得， 则，即； 当时，不等式为， 则不等式解集为； 当时，解得或，则不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. 【点睛】本题关键在于灵活运用函数奇偶性、对称性与单调性的相关性质；对于函数对称中心问题，要牢记函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数这一重要结论，通过展开式子并结合奇函数性质求参数.判断数单调性时，利用单调性定义直接判断，解含参不等式时，对参数进行合理分类讨论是关键，要根据参数不同取值范围得出不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $