第三章 重点题型强化（三） 函数性质的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

1．理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件，培养数学抽象核心素养．　2.掌握函数性质的综合应用问题，培养逻辑推理、数学运算核心素养． 题型一　函数图象的对称性 例1　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋，则f 等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D． 答案：B 解析：因为y＝f(x)的图象关于点对称，所以f ＋f ＝0，即f(1＋x)＋f(－x)＝0.又因为y＝f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，所以f ＝－f ＝0.故选B. 1．函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ 2．函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 对点练1.已知函数f(x)的定义域为R，若f(1－x)为奇函数，f(x－1)为偶函数．设f(－2)＝1，则f(2)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：A 解析：因为f(x－1)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(x)图象关于直线x＝－1对称，所以f(－2)＝f(0)＝1；因为f(1－x)为奇函数，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)图象关于点(1，0)对称，所以f(2)＝－f(0)＝－1.故选A. 题型二　函数性质的综合应用 例2　已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在(－1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)根据题意得 即解得 所以f(x)＝. (2)证明：任取x1，x2∈(－1，1)，且令x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为－1<x1<x2<1， 所以x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0，1－x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，1)上是增函数． (3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． 因为f(x)在(－1，1)上是增函数， 所以解得0<t<. 所以不等式的解集为. 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域． 对点练2.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 解：(1)由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)， 即＝－＝， 可得－3x＋n＝－3x－n，解得n＝0. 又f(2)＝，即＝，解得m＝2. 所以实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝，∀x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＝， 因为－2≤x1<x2≤－1， 所以x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[－2，－1]上单调递增． 所以f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 学生用书↓第88页 题型三　抽象函数的性质 例3　定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，有f(x)>0. (1)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明； (2)试判断f(x)的单调性，并加以证明； (3)若对于∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)f(x)是奇函数．理由如下： 取x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 对任意x∈R，取y＝－x，则f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 又∀x∈R，都有－x∈R， 所以f(x)是R上的奇函数． (2)f(x)在R上单调递增．理由如下： 任取x1，x2∈R，令x1<x2，则x2－x1>0， 又当x>0时，f(x)>0，知f(x2－x1)>0， 因为对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在R上单调递增． (3)∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立等价于f(t－t2)<f(k)， 所以t－t2<k恒成立． 因为t－t2＝－＋≤， 故实数k的取值范围为. 判断抽象函数奇偶性、单调性的方法 判断抽象函数的奇偶性、单调性，主要是利用定义判定： 1．找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系． 2．赋值代换，至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值－1或0或1来达到解题目的． 对点练3.已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. 解：(1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，又当x>0时，f(x)>1，知f(x2－x1)>1. 因为函数f(x)对∀a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1>1＋f(x1)－1＝f(x1)， 所以f(x)是R上的增函数． (2)由题意知f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5， 所以f(2)＝3，所以f(3m2－m－2)<3＝f(2)． 由(1)可知f(x)是R上的增函数， 所以3m2－m－2<2，即3m2－m－4<0， 所以－1<m<. 故不等式f(3m2－m－2)<3的解集为. 1．已知定义在R上的函数f(x)，下列说法中正确的个数是(　　) ①f(x)＋f(－x)是偶函数；②f(x)－f(－x)是奇函数；③f(x)f(－x)是偶函数；④f(|x|)是偶函数；⑤|f(x)|是偶函数． A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：①中，函数f(x)＋f(－x)是偶函数，故①正确；②中，f(x)－f(－x)是奇函数，故②正确；又f(－x)f(x)＝f(x)f(－x)，且f(|－x|)＝f(|x|)，所以③中函数与④中函数均是偶函数，故③，④正确；对于⑤，若f(x)＝x2－2x＋1，则|f(x)|不是偶函数，故⑤错误．故选C. 2．已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是(　　 ) A．(－∞，1) B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，1] 答案：C 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.故选C. 3．若f(x＋1)是R上的奇函数，则f(－3)＋f(5)＝________． 答案：0 解析：因为f(x＋1)是R上的奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(5)＝－f(－3)，即f(5)＋f(－3)＝0. 4．函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)<f 的解集为________． 答案： 解析：由于y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)＝f(|x|)．由f(2x－1)<f ⇒f(|2x－1|)<f ，又y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，进而转化为不等式|2x－1|<，解这个不等式得x的取值范围是. 学生用书↓第89页 学科网（北京）股份有限公司 $