专题02 一元二次方程中的实际问题（高效培优期中专项训练）数学苏科版九年级上册

专题02 一元二次方程中的实际问题 考点01 数字问题 考点02 营销问题. 考点03 与图形有关的问题 考点04 行程问题 考点05 分式方程转化成一元二次方程的实际问题 考点06 动态几何问题 考点01 数字问题 1．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 2．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 3．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 5．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 6．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 8．两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 考点02 营销问题 9．江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 10．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 11．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 12．中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． (1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． (2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒元进行销售，每天可售出盒；每盒的售价每涨元，销售量将减少盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 13．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 14．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 15．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划去甲商店购买一批笔记本用于摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买9个A型笔记本与3个型笔记本共54元 信息②：A型笔记本的单价比型笔记本的单价贵2元 信息③：购买一本A型笔记本与1本型笔记本共8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求型笔记本和型笔记本的单价； (2)甲商店平均每周售出A型笔记本300本，据销售经验发现：每涨价1元，A型笔记本销售量就会减少20本．A型笔记本应该定价多少元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元？ 16．列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 考点03 与图形有关的问题 17．在《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，则得到的大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积为56，则该方程的正数解为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 19．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 21．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 22．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 23．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 考点04 行程问题 24．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 25．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 26．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 27．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 28．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 29．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 考点05 分式方程转化成一元二次方程的实际问题 30．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 31．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 32．2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 33．我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 34．随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 考点06 动态几何问题 35．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 36．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 37．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 38．如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)____________．（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 39．如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 40．如下图，在中，．现有动点从点出发，沿边向终点运动，同时动点从点出发，沿边向终点运动．已知点的速度是，点的速度是．经过多少秒，的面积是面积的一半？ 41．如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ； ；（用t的代数式表示） (2)D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 42．如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）．    (1)填空：______，_____，（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，； (3)当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)， (2) (3)或3 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． 当运动时间为时，，， ∴ 故答案为：， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴当或3时，的面积为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程中的实际问题 考点01 数字问题 考点02 营销问题. 考点03 与图形有关的问题 考点04 行程问题 考点05 分式方程转化成一元二次方程的实际问题 考点06 动态几何问题 考点01 数字问题 1．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（   ） A．18 B．20 C．24 D．22 【答案】C 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． ∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴列方程：， 化简方程：，整理得． 因式分解：，解得或． ∵数字需为整数，故舍去 ∴个位数字，十位数字为， 该两位数为，对应选项C．   故选：C． 2．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 3．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：，     解得：，（舍去）， 故的值为， 故选：B． 4．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 【答案】 2 1或 【详解】（1） 由题意得： ， 故答案为： ； （2）∵数列是“梦数列”， ∴， ∵不论取何值， 数列都是“梦数列”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）∵数列是“梦数列”， ∴， ， 则有， ∴， 解得： 或. 故答案为： 或. 5．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）由题意得：，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 6．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 (4)15 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）解：； （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 8．两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 考点02 营销问题 9．江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为； (2)该品牌的头盔每个应涨价4元． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价4元． 10．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是；（2）每件的售价应降低20元 【详解】解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 11．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 12．中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． (1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． (2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒元进行销售，每天可售出盒；每盒的售价每涨元，销售量将减少盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 【答案】(1)该展牌的长为 (2)该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价为元 【详解】（1）解：设该展牌的长为，则宽为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该展牌的长为． （2）解：设每盒售价在原价元基础上涨了元，则新售价为元，根据题意得， 解得：或（舍去） 所以售价为元， 答：该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价为元． 13．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 14．2022年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2023年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2022年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2023年一季度销售总利润为1500万元，求a 的值．（销售利润销售收入总成本） 【答案】(1)每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． (2) 【详解】（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元， 根据题意，得， 解得：， ∴， ， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是800元，50元，30元． （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 15．某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划去甲商店购买一批笔记本用于摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买9个A型笔记本与3个型笔记本共54元 信息②：A型笔记本的单价比型笔记本的单价贵2元 信息③：购买一本A型笔记本与1本型笔记本共8元 (1)在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求型笔记本和型笔记本的单价； (2)甲商店平均每周售出A型笔记本300本，据销售经验发现：每涨价1元，A型笔记本销售量就会减少20本．A型笔记本应该定价多少元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元？ 【答案】(1)①③；A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； (2)A型笔记本应该定价元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元． 【详解】（1）解：选①③，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：①③； 选①②，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：①②； 选②③，设A型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型笔记本的单价为5元，型笔记本的单价为3元； 故答案为：②③； （2）解：设A型笔记本定价为m元/本，根据题意得 ． 化简方程得：． 解得． 答：A型笔记本应该定价元/本才能使它平均一周的销售款达到2000元． 16．列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 【答案】(1)甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制 (2)需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出 【详解】（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； （2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出． 考点03 与图形有关的问题 17．在《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，则得到的大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积为56，则该方程的正数解为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：如图所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为， 则该方程的正数解为． 故选：C． 18．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 19．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ， 解得，（负值舍去）， 正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比为： ． ∵正方形的边长为 ∴等腰三角形的底边上的高为： 故答案为：． 20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 21．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 22．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； （2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 23．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1) (2)不能使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为，理由见解析． 【详解】（1）解：∵小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为 故答案为：． （2）解：不能使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为， 理由： 设长方形纸片的宽为，长为，，则面积为， 由，得，， ∴ ∴长方形纸片的长为， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片， 答：不能使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为． 考点04 行程问题 24．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 25．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 26．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 27．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 28．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 29．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 考点05 分式方程转化成一元二次方程的实际问题 30．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 【答案】毛主席铜像的下部应设计为7.42米 【详解】解：设毛主席铜像的下部应设计为x米，依题意得， 解得： （舍）， 所以，    答：毛主席铜像的下部应设计为7.42米． 31．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 【答案】(1)①；②， (2)这个学校九年级共有名学生，． 【详解】（1）解：①由题意得 的取值范围是， 故答案为； ②铅笔的零售价每支应为，批发价每支应为， 故答案为：，； （2）由题意得， 整理得， ，， 、为正整数，且， ， 即， 解得：， 整数取或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ， 答：这个学校九年级共有名学生，． 32．2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)5 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 33．我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 (2)的值为 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； （2）解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为． 34．随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地 (2) 【详解】（1）解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 考点06 动态几何问题 35．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：点P的速度是，点Q的速度是，，，， ∴点P从点A到点B的时间为（秒），点Q从点B到点C的时间为（秒）， 设Q运动的时间为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 当时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去， ∴． ∴经过时，四边形的面积等于． 故选：A． 36．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 37．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 【答案】或后点P和点Q的距离是 【详解】解：过点P作交于E．则， 设运动时间为t秒， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形和是矩形， ∴，，， 在中，， 可得：， 解得． 答：P、Q两点从出发开始或后，点P和点Q的距离是． 38．如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)____________．（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向终点以的速度移动， ， ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ； 故答案为：，； （2）解：存在，时，能够使得五边形的面积等于，理由如下： 长方形的面积是：， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴， 解得． ∴不符合题意，舍去． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 39．如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 【答案】当点出发或后，的面积为 【详解】解：设当点，出发后，的面积为， 则，，，， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 经检验都符合题意， 故当点，出发或后，的面积为． 40．如下图，在中，．现有动点从点出发，沿边向终点运动，同时动点从点出发，沿边向终点运动．已知点的速度是，点的速度是．经过多少秒，的面积是面积的一半？ 【答案】经过的面积是面积的一半 【详解】解：设经过，的面积是面积的一半， 则，， 由题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故经过的面积是面积的一半． 41．如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ； ；（用t的代数式表示） (2)D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或4 【详解】（1）根据题意得： ，， ， 故答案为：，． （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， 又∵D是的中点， ∴，是的中位线， ∴， 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 当或4时，的面积是． 42．如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）．    (1)填空：______，_____，（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，； (3)当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)， (2) (3)或3 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． 当运动时间为时，，， ∴ 故答案为：， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴当或3时，的面积为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $