专题01 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题01一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义及其一般形式 ①准确判断一元二次方程； ②根据一元二次方程的定义求值； ③把一元二次方程化为一般形式并判断其各项系数 基础必考点，常出现在小题 一元二次方程的解 根据一元二次方程的解的意义求字母或式子的值 基础必考点，常出现在小题（易错题） 解一元二次方程 ①掌握解一元二次方程的所有方法，能够熟练的选择适当的方法解方程 ②利用配方法求代数式的最值 ③利用配方法比较代数式的大小关系 ①综合题考解方程的基本方法 ②小题或综合题考配方法的应用（易错题） 根的判别式的应用 ①根据方程判断根的情况 ②根据根的情况求方程中未知字母的取值范围 常考小题与综合题（易错题） 根与系数的关系 ①熟练求出与两根有关的代数式的值，包含基本式与拓展式 ②已知方程的一根，求另一根及字母系数 ③已知两根满足某种关系，求字母系数 常考小题与综合题（易错题） 一元二次方程的实际应用 熟练解决一元二次方程实际应用的各种类型 常考小题或综合题（必考题） 知识点01一元二次方程的定义及其一般形式 1. 一元二次方程的定义： 只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是。其中是二次项，a是二次项系数。bx是一次项，b一次项系数。c是常数项。 ·易错点：判断一元二次方程的每一项时必须先将其化成一般形式再进行判断，且每一项包含前面的符号。 知识点02二元一次方程的解 一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的解。 注意：若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 知识点03解一元二次方程 1. 直接开方法： （1）解的一元二次方程： ①时，一元二次方程有2个不相等的实数根，即，。他们互为相反数。 ②当时，一元二次方程有2个相等的实数根，即。 ③当时，一元二次方程没有实数根。 （2）解的一元二次方程： ①当时，一元二次方程有2个不相等的实数根。，。 ②当时，一元二次方程有2个相等的实数根。。 ③当时，一元二次方程没有实数根。 2. 配方法：将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 （1）配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程变形，含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数。且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 ·示例：利用配方法解2x2+3＝7x 解：移项得2x2﹣7x＝﹣3， 二次项系数化为1，得x2x． 配方，得x2x+（）2（）2 即（x）2， 开方得x±， ∴x1＝3，x2． （2）配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的最小值；若，则为二次三项式的最大值。 具体步骤： ①提公因式：即提二次项系数。 ②配方：在一次项后面加上一次项系数一半的平方，为了式子的值不发生变化，再减去一次项系数一半的平方。 ③将式子写成的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 ·示例：求代数式x2﹣10x+5的最小值 x2﹣10x+5 ＝x2﹣10x+25－25+5 ＝（x﹣5）2﹣20， ∴当x＝5时，代数式的最小值为﹣20 （3） 利用配方法比较式子的大小关系： 步骤：作差→配方→与0比较大小→得出结论。 ·示例：已知Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数），试比较M、N的大小关系。 ∵Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数）， ∴， ∴N＞M 3. 公式法： （1）求根公式 做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即；。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即。 ③时，一元二次方程没有实数根。 （2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定 a，b，c的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 ·示例：用公式法解x（x+8）＝16 x（x+8）＝16， x2+8x﹣16＝0， a＝1，b＝8，c＝﹣16， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0， x， x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4； 4. 因式分解法： （1）因式分解法解一元二次方程的定义： 将方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是，则A＝0或B＝0。 （2）因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式：； 完全平方公式：； ③十字相乘法：分解，若且，则。 （3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 5. 换元法（整体法）： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 ·示例：解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0， 设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2． 原方程化为y2﹣3y＝0，① 解得y1＝0，y2＝3． 当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 知识点04 根的判别式的应用 1. 根的判别式： 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若方程有两个不相等的实数根。 ②若方程有两个相等的实数根。 ③若方程没有实数根。 知识点05 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是与。由此可求出：①；②。 2. 根与系数的关系的推广应用： ①； ②； ③； ④； ⑤。 ⑥。 知识点06 一元二次方程的实际应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案。 2. 一元二次方程与传播问题： 若原病例数是a，传播数为x，传播2轮后总病例数为b，则： 计算公式：a（1＋x）2=b。 3. 一元二次方程与数字问题： 若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。若是一个三位数，则百位乘100，十位乘10，把他们相加再加上个位数字就是该数。 4. 一元二次方程与单（双）循环问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：。 双循环（两两之间比赛（握手）两次）：n（n-1）=总数。 5. 一元二次方程与平均增长率： 若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x 计算公式：平均增长类型：。 平均下降类型：。 6. 一元二次方程与销售利润问题： 计算公式：总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 7. 一元二次方程与几何图形： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 题型一 判断一元二次方程以及利用一元二次方程的定义求未知系数 解｜题｜技｜巧 根据一元二次方程的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解 【典例1】（2025春•定海区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+xy＝3 C．x2+3x＝4 D．3（x﹣2）＝5x 【变式1】（2025春•蒙城县期中）方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠3 【变式2】（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 题型二 利用一元二次方程的解求字母或式子 解｜题｜技｜巧 将一元二次方程的解带入方程即可得到字母的值；若求式子，则需确定所求式子与已知式子之间的倍数关系即可 【典例1】若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式1】（2025春•宁海县期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 题型三 解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 选择合适的方法解一元二次方程即可 易｜错｜点｜拨 再利用换元法时，需注意被换式子整体的取值范围 【典例1】（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【变式1】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【变式2】【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0⋯① 解方程①可得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴； ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】（1）在由原方程的到方程①的过程中，是利用换元法达到 　 　 的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： ①x4﹣x2﹣6＝0； ②（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 题型四 利用配方法求式子的最值或比较式子的大小关系 解｜题｜技｜巧 再求最值时，利用配方法将化为的形式，若a＞0，则k为最小值；若a＜0 则k为最大值 若比较两个式子的大小关系时，将式子作差，配方，再将最值与0进行大小比较 【典例1】（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【典例2】（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 题型五 判断根的情况以及根据根的情况求值 解｜题｜技｜巧 求△的值判断根的情况；根据根的情况利用△建立不等关系求值 易｜错｜点｜拨 注意不要忽略二次项系数不能为0的限制条件 【典例1】一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式1】关于x的方程x2+kx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（2025春•龙口市校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【变式3】已知：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣（m+2）x+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求m的值． 题型六 根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 若求两根之和与两根之积的基本式子，直接带入求值即可；若求拓展式子，则用相应的计算转换用基本式子表达，再带入求值；若求两根的次数不对称的式子，则需要进行降次转换再带入求值 易｜错｜点｜拨 在解决利用根与系数的关系满足的式子求值时，注意字母一定时在一元二次方程有根时的取值范围内进行取值 【典例1】（2025春•丰城市校级期中）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【变式1】已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 【变式2】关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【变式3】（2025春•珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 题型六 一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 按照步骤进行即可 易｜错｜点｜拨 注意方程的解一定要满足实际情况 【典例1】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36 C． D． 【变式1】红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂十、十一月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．50（1+x）2＝72 B．50（1﹣x）2＝72 C．72（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）＝72 【变式2】如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　） A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300 B．（80+2x）（60+2x）＝6300 C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300 D．（80+2）（60+x）＝6300 【变式3】（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s 【典例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为25米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即st．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少 　 　 米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为 　 　 米/秒； （2）小球滚动24米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 下列属于一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4x C．x2+2x﹣3＝0 D．x﹣2y＝3 2．若x＝3是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣1 3．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 6．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（2025春•瑞安市期中）已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣0.5 B．x1＝2，x2＝0.5 C．x1＝2，x2＝﹣0.5 D．x1＝﹣2，x2＝0.5 9．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 10．已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 11．（2025春•绿园区校级期中）若x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则2a2+4a+2025的值为 　 　 ． 12．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m、n，则2m2﹣3m+n的值为 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值． 14．（2025春•龙口市期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（2025春•莱州市期中）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　 　 ． 16．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是 　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 17．（2025春•张店区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义及其一般形式 ①准确判断一元二次方程； ②根据一元二次方程的定义求值； ③把一元二次方程化为一般形式并判断其各项系数 基础必考点，常出现在小题 一元二次方程的解 根据一元二次方程的解的意义求字母或式子的值 基础必考点，常出现在小题（易错题） 解一元二次方程 ①掌握解一元二次方程的所有方法，能够熟练的选择适当的方法解方程 ②利用配方法求代数式的最值 ③利用配方法比较代数式的大小关系 ①综合题考解方程的基本方法 ②小题或综合题考配方法的应用（易错题） 根的判别式的应用 ①根据方程判断根的情况 ②根据根的情况求方程中未知字母的取值范围 常考小题与综合题（易错题） 根与系数的关系 ①熟练求出与两根有关的代数式的值，包含基本式与拓展式 ②已知方程的一根，求另一根及字母系数 ③已知两根满足某种关系，求字母系数 常考小题与综合题（易错题） 一元二次方程的实际应用 熟练解决一元二次方程实际应用的各种类型 常考小题或综合题（必考题） 知识点01一元二次方程的定义及其一般形式 1. 一元二次方程的定义： 只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是。其中是二次项，a是二次项系数。bx是一次项，b一次项系数。c是常数项。 ·易错点：判断一元二次方程的每一项时必须先将其化成一般形式再进行判断，且每一项包含前面的符号。 知识点02二元一次方程的解 一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的解。 注意：若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 知识点03解一元二次方程 1. 直接开方法： （1）解的一元二次方程： ①时，一元二次方程有2个不相等的实数根，即，。他们互为相反数。 ②当时，一元二次方程有2个相等的实数根，即。 ③当时，一元二次方程没有实数根。 （2）解的一元二次方程： ①当时，一元二次方程有2个不相等的实数根。，。 ②当时，一元二次方程有2个相等的实数根。。 ③当时，一元二次方程没有实数根。 2. 配方法：将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 （1）配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程变形，含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数。且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 ·示例：利用配方法解2x2+3＝7x 解：移项得2x2﹣7x＝﹣3， 二次项系数化为1，得x2x． 配方，得x2x+（）2（）2 即（x）2， 开方得x±， ∴x1＝3，x2． （2）配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的最小值；若，则为二次三项式的最大值。 具体步骤： ①提公因式：即提二次项系数。 ②配方：在一次项后面加上一次项系数一半的平方，为了式子的值不发生变化，再减去一次项系数一半的平方。 ③将式子写成的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 ·示例：求代数式x2﹣10x+5的最小值 x2﹣10x+5 ＝x2﹣10x+25－25+5 ＝（x﹣5）2﹣20， ∴当x＝5时，代数式的最小值为﹣20 （3） 利用配方法比较式子的大小关系： 步骤：作差→配方→与0比较大小→得出结论。 ·示例：已知Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数），试比较M、N的大小关系。 ∵Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数）， ∴， ∴N＞M 3. 公式法： （1）求根公式 做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即；。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即。 ③时，一元二次方程没有实数根。 （2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定 a，b，c的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 ·示例：用公式法解x（x+8）＝16 x（x+8）＝16， x2+8x﹣16＝0， a＝1，b＝8，c＝﹣16， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0， x， x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4； 4. 因式分解法： （1）因式分解法解一元二次方程的定义： 将方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是，则A＝0或B＝0。 （2）因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式：； 完全平方公式：； ③十字相乘法：分解，若且，则。 （3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 5. 换元法（整体法）： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 ·示例：解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0， 设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2． 原方程化为y2﹣3y＝0，① 解得y1＝0，y2＝3． 当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 知识点04 根的判别式的应用 1. 根的判别式： 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若方程有两个不相等的实数根。 ②若方程有两个相等的实数根。 ③若方程没有实数根。 知识点05 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是与。由此可求出：①；②。 2. 根与系数的关系的推广应用： ①； ②； ③； ④； ⑤。 ⑥。 知识点06 一元二次方程的实际应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案。 2. 一元二次方程与传播问题： 若原病例数是a，传播数为x，传播2轮后总病例数为b，则： 计算公式：a（1＋x）2=b。 3. 一元二次方程与数字问题： 若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。若是一个三位数，则百位乘100，十位乘10，把他们相加再加上个位数字就是该数。 4. 一元二次方程与单（双）循环问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：。 双循环（两两之间比赛（握手）两次）：n（n-1）=总数。 5. 一元二次方程与平均增长率： 若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x 计算公式：平均增长类型：。 平均下降类型：。 6. 一元二次方程与销售利润问题： 计算公式：总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 7. 一元二次方程与几何图形： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 题型一 判断一元二次方程以及利用一元二次方程的定义求未知系数 解｜题｜技｜巧 根据一元二次方程的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解 【典例1】（2025春•定海区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+xy＝3 C．x2+3x＝4 D．3（x﹣2）＝5x 【答案】C 【解答】解：A是分式方程，故A不符合题意； B是二元二次方程，故B不符合题意； C是一元二次方程，故C符合题意； D化简为2x+6＝0，是一元一次方程，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025春•蒙城县期中）方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠3 【答案】B 【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1． 故选：B． 【变式2】（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知：， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 题型二 利用一元二次方程的解求字母或式子 解｜题｜技｜巧 将一元二次方程的解带入方程即可得到字母的值；若求式子，则需确定所求式子与已知式子之间的倍数关系即可 【典例1】若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 【变式1】（2025春•宁海县期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2025＝3×1+2025＝2028． 故选：C． 题型三 解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 选择合适的方法解一元二次方程即可 易｜错｜点｜拨 再利用换元法时，需注意被换式子整体的取值范围 【典例1】（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【答案】（1）x1＝2，x2＝2； （2）x1＝3，x2． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x（x﹣3）+x＝3， 2x2﹣6x+x﹣3＝0， 2x2﹣5x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49， ∴x， ∴x1＝3，x2． 【变式1】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：设x＝a2+b2， ∴x2﹣4x﹣12＝0， （x+2）（x﹣6）＝0， 解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6， ∴原式＝6+1＝7， 故选：A． 【变式2】【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0⋯① 解方程①可得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴； ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】（1）在由原方程的到方程①的过程中，是利用换元法达到 　降次　 的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： ①x4﹣x2﹣6＝0； ②（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0． 【答案】（1）降次． （2）x1，x2；②x1＝3，x2＝﹣2 【解答】解：（1）利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想， 故答案为：降次． （2）①x4﹣x2﹣6＝0， 设x2＝a， ∴原方程化为：a2﹣a﹣6＝0， ∴（a﹣3）（a+2）＝0， 解得：a1＝3，a2＝﹣2， 当a＝3时，x2＝3， 解得：x1，x2； 当a＝﹣2时，x2＝﹣2， ∴此方程无解， ∴原方程的根为x1，x2； ②（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， 设x2﹣x＝y， ∴原方程化为：y2﹣4y﹣12＝0， ∴（y﹣6）（y+2）＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣2， 当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2； 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣8＜0， ∴此方程无解， ∴原方程的根为x1＝3，x2＝﹣2． 题型四 利用配方法求式子的最值或比较式子的大小关系 解｜题｜技｜巧 再求最值时，利用配方法将化为的形式，若a＞0，则k为最小值；若a＜0 则k为最大值 若比较两个式子的大小关系时，将式子作差，配方，再将最值与0进行大小比较 【典例1】（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【答案】A 【解答】解：∵m﹣n2＝2， ∴n2＝m﹣2≥0，m≥2， ∴m2+2n2+4m﹣3 ＝m2+2m﹣4+4m﹣3 ＝m2+6m+9﹣16 ＝（m+3）2﹣16， 则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9． 故选：A． 【典例2】（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【答案】A 【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴M≥N， 故选：A． 题型五 判断根的情况以及根据根的情况求值 解｜题｜技｜巧 求△的值判断根的情况；根据根的情况利用△建立不等关系求值 易｜错｜点｜拨 注意不要忽略二次项系数不能为0的限制条件 【典例1】一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣4）2+4×1×3＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式1】关于x的方程x2+kx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝k2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2】（2025春•龙口市校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0， 解得：k且k≠1， 故选：B． 【变式3】已知：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣（m+2）x+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求m的值． 【答案】（1）见解答； （2）m＝4或3． 【解答】（1）证明：由一元二次方程得m﹣2≠0， Δ＝（m+2）2﹣4（m﹣2）×4 ＝m2+4m﹣16m+36 ＝（m﹣6）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：（m﹣2）x2﹣（m+2）x+4＝0，即[（m﹣2）x﹣4]（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1． ∵方程的两个根为不相等的正整数， ∴m＝4或3． 题型六 根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 若求两根之和与两根之积的基本式子，直接带入求值即可；若求拓展式子，则用相应的计算转换用基本式子表达，再带入求值；若求两根的次数不对称的式子，则需要进行降次转换再带入求值 易｜错｜点｜拨 在解决利用根与系数的关系满足的式子求值时，注意字母一定时在一元二次方程有根时的取值范围内进行取值 【典例1】（2025春•丰城市校级期中）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 【变式1】已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 【答案】A 【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根， 所以a+b＝﹣6， 将x＝a代入方程得， a2+6a﹣2＝0， 即a2+6a＝2， 所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4． 故选：A． 【变式2】关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【答案】C 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣（2m﹣3），， ∵， ∴， 整理得m2+4m﹣5＝0， 解得m＝﹣5或m＝1， 当m＝﹣5时，方程为x2﹣13x+26＝0， 而Δ＝（﹣13）2﹣4×1×26＝65＞0，符合题意； 当m＝1时，方程为x2﹣x+2＝0， 而Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴m＝1不合题意，舍去， 故选：C． 【变式3】（2025春•珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 题型六 一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 按照步骤进行即可 易｜错｜点｜拨 注意方程的解一定要满足实际情况 【典例1】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36 C． D． 【答案】D 【解答】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D． 【变式1】红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂十、十一月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．50（1+x）2＝72 B．50（1﹣x）2＝72 C．72（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）＝72 【答案】A 【解答】解：设平均每月增长的百分率为x， 根据题意，得50（1+x）2＝72， 故选：A． 【变式2】如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm．则可列的一元二次方程是（　　） A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300 B．（80+2x）（60+2x）＝6300 C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300 D．（80+2）（60+x）＝6300 【答案】B 【解答】解：根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300， 故选：B． 【变式3】（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s 【答案】D 【解答】解：∵方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16， ∴小球经过约0.88s和1.16s离地面的高度为5m，故选项A，B不符合题意； 小球上升时经过约0.88s离地面的高度为5m，并将继续上升，小球下降时经过约0.16s离地面的高度为5m，并将继续下降，故选项C不符合题意； 小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为1.16﹣0.88＝0.28s，故选项D符合题意． 故选：D． 【典例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为25米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即st．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少 　2　 米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为 　（10﹣2t）　 米/秒； （2）小球滚动24米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】（1）2，（10﹣2t）； （2）4； （3）1． 【解答】解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少10÷5＝2（m/s）， 从开始到滚动了t秒后小球的速度为（10﹣2t）米/秒， 故答案为：2，（10﹣2t）； （2）设小球滚动24米约用了x秒，此时速度为（10﹣2x）米/秒， 由题意得：， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x＝4或x＝6， 当x＝6时，10﹣2x＝10﹣2×6＝﹣2＜0，不符题意，舍去， ∴x＝4． 所以小球滚动24米用了4秒， 答：小球滚动24米用了4秒； （3）根据题意，小球的滚动速度平均每秒减少10÷5＝2（m/s），从开始到滚动了t秒后小球的速度为（10﹣2t）米/秒， ∴小球滚动距离， 当t＝5时，﹣t2+10t＝﹣52+10×5＝25（m）， ∴小球滚动25米后停止， 当t＝4时，﹣t2+10t＝﹣42+10×4＝﹣16+40＝24（m）， 故小球在最后一秒滚动了25﹣24＝1（米）． 答：小球在最后一秒滚动了1米． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列属于一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4x C．x2+2x﹣3＝0 D．x﹣2y＝3 【答案】C 【解答】解：A．当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程，不符合题意； B．是多项式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若x＝3是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：把x＝3代入x2+kx﹣6＝0， 得32+3k﹣6＝0，即9+3k﹣6＝0， 解得k＝﹣1． 故选：D． 3．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【答案】A 【解答】解：根据题意可得： ， 解得k＝﹣2． 故选：A． 4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠0， 故选：C． 6．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1， ∴x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣1）＝3． 故选：C． 7．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设房价定为x元， 根据题意，得（x﹣15）（60）＝10890． 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（2025春•瑞安市期中）已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣0.5 B．x1＝2，x2＝0.5 C．x1＝2，x2＝﹣0.5 D．x1＝﹣2，x2＝0.5 【答案】C 【解答】解：设2x﹣3＝y， 方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0可变形为：y2+3y﹣4＝0． ∵方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4， ∴y1＝1，y2＝﹣4． 当y＝1时，即2x﹣3＝1， 解得x＝2， 当y＝﹣4时，即2x﹣3＝﹣4， 解得x＝﹣0.5， ∴方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是x1＝2，x2＝﹣0.5， 故选：C． 9．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【答案】C 【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b， ∴x★2＝x2﹣3x+2， 即：x2﹣3x+2＝6， ∴x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 10．已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程， ∴m﹣1≠0且|m+1|＝2， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（2025春•绿园区校级期中）若x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则2a2+4a+2025的值为 　2041　 ． 【答案】2041． 【解答】解：由条件可得：a2+2a﹣8＝0， ∴2a2+4a+2025＝2（a2+2a）+5＝2×8+2025＝2041． 故答案为：2041． 12．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m、n，则2m2﹣3m+n的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n2， ∴2m2﹣3m+n ＝2m2﹣4m+m+n ＝1+2 ＝3． 故答案为：3． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得 Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2+3）≥0， 解得k≤﹣1； （2）根据题意得：， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝14， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝14， 即 k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14， 整理得 k2﹣2k﹣8＝0， 解得 k1＝﹣2，k2＝4， ∵k≤﹣1， ∴k＝﹣2． 14．（2025春•龙口市期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%； （2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【解答】解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）枚， 根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400， 整理得：m2﹣3m﹣40＝0， 解得：m1＝8，m2＝﹣5 （不符合题意，舍去）， 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（2025春•莱州市期中）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b， ∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根， 则a+b＝﹣5，ab＝2， ∴a＜0，b＜0， 则原式 ， 故答案为：． 16．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是　3或﹣2　 ． （2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 【答案】（1）3或﹣2； （2）关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值； （3）①a＝﹣2； ②a＝1或2． 【解答】解：（1）x2﹣6＝x， x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， 故答案为3或﹣2； （2）2x2﹣x+1＝x， 2x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值， （3）①a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， ∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， ∵仅有一个不动值， ∴Δ＝0， [﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0， 整理得：a4+4a3+4a2＝0， a2（a2+4a+4）＝0， a2（a+2）2＝0， 解得：a＝0（不合题意，舍去），a＝﹣2， ∴a＝﹣2； ②a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x， 整理得：a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， 设方程两个解为s，t， ∴s+t，st， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st， ∵s﹣t为整数， ∴1为整数， ∴正整数a＝1或2． 17．（2025春•张店区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 2/27 学科网（北京）股份有限公司 $