专题01 一元二次方程（期末复习专项训练，16个题型）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点） 题型2 直接开平方 题型10 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型3 配方法 题型11 根与系数关系的综合应用（重点） 题型4 因式分解法 题型12 与几何图形的综合应用（常考点） 题型5公式法（常考点） 题型13 增长率问题（常考点） 题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题 题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点） 题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次发方程有关的概念（共5小题） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据一元二次方程的定义，逐一分析每个选项是否符合一元二次方程的条件．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式是（），选项中未明确， ∴ 选项不一定是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项展开为，即，符合一元二次方程的定义， ∴ 选项是一元二次方程． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程中，二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 5．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可解答． 【详解】解：， 则， 解得：，， 故选：A． 题型二 直接开平方（共3小题） 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得． 【详解】解：， 或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先将方程变形得，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：两边直接开平方得：， 则， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 配方，得：， 两边开平方解得：． 3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 题型三 配方法（共6小题） 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两边，形成完全平方式． 【详解】解：移项，得 配方：，即 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开平方得， 即或， 即． （2）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开平方得， 即或， 即． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项将原方程变形为，再将等号左边写成完全平方式的形式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：由方程，得或， 解得，． 故选：C． 5．（24-25九年级上·青海海东·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂的意义，解一元二次方程，先根据零指数幂的意义得出，，然后代入方程，根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴， 又有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 题型四 因式分解法（共4小题） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程的两根，则该三角形的周长为（  ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是解一元二次方程． 利用因式分解法求出的值，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵， ， 则或， 解得：或， 故三角形的三边分别为，能组成三角形，周长为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解答即可，掌握解解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 4．（24-25九年级上·四川·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用因式分解法依次对所给方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 则或， 所以， （2）解：， ， ， ， 则或， 所以， 题型五 公式法（共2小题） 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；先把方程整理为一般形式：，利用公式法求解即可． 【详解】解：原方程整理为：， ∵， ∴， 即． 2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键．先将一元二次方程整理成一般形式，求出判别式，得方程有两个不相等的实数根，然后利用公式法求出此方程的解． 【详解】解：， 移项，得，， ， ， ，． 题型六 用适当的方法解方程（共4小题） 1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，Δ ∴ 解得：， （2）解： ∴ ∴或 解得： 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法和换元法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解：， 或， ． （2）解：， ， 或， ． 题型七 含绝对值的一元二次方程（共2小题） 1．（23-24九年级上·河南·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 题型八 换元法（共4小题） 1．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 2．（23-24八年级下·山东·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，． 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，， 根据上面的解答，解决下面的问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元；转化 (2)该方程的解为； 【分析】（1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想． （2）令，原方程化为，解得a得值，再分情况即可求解． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元；转化． （2）令，原方程化为，    解得 ，， 当时，， ∴该方程无解； 当时， ， ， 综上，该方程的解为， ． 【点睛】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为    ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)用换元法解方程： (2)三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）设，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设，解方程，得出，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． （2）设， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； ∵斜边， ∴，则 ∴ ∴ 又， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 题型九 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 【详解】（1）证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． （2）解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是等腰三角形，，另外两边是方程的根，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)10或14． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：解方程得， ，． 当时，解得，此时等腰三角形三边分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长为； 当时，解得，此时等腰三角形三边分别为4，4，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长为． 综上所述，的周长为10或14． 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】±6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，根据根的判别式列出关于m的一元二次方程是解题的关键． 根据根的判别式列出关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 题型十一 根与系数关系的综合应用（共4小题） 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）设分别是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2022 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可． 【详解】解：分别是方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为：2022． 4．（24-25九年级上·福建·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系． 先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系求出，，再将化为计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴    故答案为： 题型十二 与几何图形的综合应用（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 【答案】 【分析】首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，从而得到上下边衬的宽度． 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的关键． 【详解】解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是， 依题意得： （舍） 答：此作品上下边衬的宽度是． 题型十三 增长率问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】由题知，， 故选：C． 2．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 3．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)他们的目标能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1)设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量，可求出第四阶段水稻亩产量，将其与公斤比较后即可得出结论． 【详解】（1）设亩产量的平均增长率为， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去） 答：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为． （2）（公斤）， ， 他们的目标能实现． 题型十四 传染问题（共5小题） 1．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：． 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（    ）小分支． A．8 B．9 C．2 D．8或2 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则， 解得：（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 题型十五 经济问题（共4小题） 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件； (2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)30 (2)每件商品应降价20元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量件； （2）解：设每件商品应降价x元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件商品应降价20元． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 (2)29元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． （2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 【答案】任务一：；任务二：950元 【分析】本题考查了列一元二次方程的应用——增长率问题和购买问题，解应用题的关键是熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，总价与单价和数量的关系，列出方程． 任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为x，列方程，解方程即可求解； 任务二：设每人的团费下调a元，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为x， 由题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． ∴． 答：这两个月报名人数的月平均增长率为． 任务2：设每人的团费下调a元， 由题意，得． 解得，． 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：下调后每人的团费为950元． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． （1）根据图像上点坐标，，代入，用待定系数法求出即可． （2）根据总利润单个利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 依题意，得，解得 所以与的函数关系式为； （2）解：依题知． 整理方程，得． 解得． ∵此设备的销售单价不得高于32万元， ∴（舍），所以． 答：该设备的销售单价应是30万元． 题型十六 动态几何问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 【答案】(1)运动秒或秒时，点P，Q相距 (2)的面积不能等于．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用： （1）设运动时间为，则，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据三角形面积公式建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，则． ∵在中，，， ∴，即：． 解得：，． ∴运动秒或秒时，点P，Q相距． （2）解：的面积不能等于．理由如下： 当的面积等于时，则， ∴，即：． ∵． ∴方程无实数解． ∴的面积不能等于． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1) (2)经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一元二次方程． （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：，， ∴， 当时，在中， ， 整理，得：， 解得：； 当时，的长度等于． （2）设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积，， ①当的面积为面积的时， 则： 整理，得： 解得：或； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； 经过2秒或4秒时，线段能将分成面积的两部分． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值； （）分当时，当时，当时情况讨论即可求解； （）当时（）时，（） 时（）时，（），讨论即可求解； 此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 【答案】 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可； 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解题的关键． 【详解】（）∵中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （）根据题意，，， ∵，， ∴， 由 点到点的时间为，则点到点的时间为， 由题意得：， 当平分的面积时，，即， ∴，整理得， 解得，(舍去)， ∴当时，平分的面积， 故答案为：． 5.（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：    (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)当时，是等腰三角形 (2)x为1或5时，的面积为 (3)x为或时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 解得：， 即当时，是等腰三角形； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当x为1或5时，的面积为； （3）解：根据题意，分两种情况： ①当时，如图1所示：    在和中，由勾股定理得：，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴； ②当时，如图2所示：    在和中，，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴． 综上所述，当x为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． $专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点） 题型2 直接开平方 题型10 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型3 配方法 题型11 根与系数关系的综合应用（重点） 题型4 因式分解法 题型12 与几何图形的综合应用（常考点） 题型5公式法（常考点） 题型13 增长率问题（常考点） 题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题 题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点） 题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次发方程有关的概念（共5小题） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．0 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程化成一般形式是 ． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 5．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程的一个根是（   ） A． B． C． D． 题型二 直接开平方（共3小题） 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）解方程 (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 题型三 配方法（共6小题） 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 5．（24-25九年级上·青海海东·期末）若，则 ． 6．（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 题型四 因式分解法（共4小题） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程的两根，则该三角形的周长为（  ） A．12 B．15 C．18 D．20 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）解方程： 4．（24-25九年级上·四川·期末）解方程： (1)； (2) 题型五 公式法（共2小题） 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 题型六 用适当的方法解方程（共4小题） 1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 题型七 含绝对值的一元二次方程（共2小题） 1．（23-24九年级上·河南·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 题型八 换元法（共4小题） 1．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 2．（23-24八年级下·山东·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，． 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，， 根据上面的解答，解决下面的问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想； (2)解方程． 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为    ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)用换元法解方程： (2)三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 题型九 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是等腰三角形，，另外两边是方程的根，求的周长． 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 题型十一 根与系数关系的综合应用（共4小题） 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 2．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ． 3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）设分别是方程的两个实数根，则的值是 ． 4．（24-25九年级上·福建·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 题型十二 与几何图形的综合应用（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 题型十三 增长率问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 题型十四 传染问题（共5小题） 1．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（    ）小分支． A．8 B．9 C．2 D．8或2 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 题型十五 经济问题（共4小题） 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件； (2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 题型十六 动态几何问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 5.（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：    (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)当x为何值时，的面积为； (3)当x为何值时，为等腰三角形． $