专题03 旋转（期中复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 旋转的定义及其性质 ①判断生活中的一些旋转现象； ②利用旋转的性质求角度； ③利用旋转的性质求线段。 ①判断旋转现象考小题 ②旋转的性质考小题和综合题 旋转作图 ①按要求画出旋转后的图形，或根据旋转前后的图形确定旋转中心、旋转角等要素 ②判断旋转对称图形及其旋转角。 ①作图考综合题 ②判断旋转对称图形及旋转角考小题 中心对称（图形）及其性质 ①判断中心对称或轴对称图形； ②中心对称（图形）的性质的应用。 常考小题 中心对称（图形）的作图 ①画出成中心对称的两个图形的对称中心 ②画出某图形关于某一点对称的图形 考综合题 坐标的旋转与对称 ①坐标的旋转 ②关于原点对称的点的坐标 常考小题 知识点01 旋转的定义及其性质 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3．旋转的性质： ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 知识点02 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点03 中心对称（图形）及其性质 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。 4. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全等的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点04 中心对称（图形）的作图 1. 对称中心的确定： 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 2. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。 得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点05 坐标的旋转与对称 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 3. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 题型一 基本现象与图形的判断 【典例1】（2025春•阜宁县期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【典例2】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025春•阜宁县期中）为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二 基本性质的熟悉判断 【典例1】（2025春•秦淮区校级期中）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOD＝80° D．AB∥DF 【典例2】（2025春•左权县期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　） A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′ C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′ 题型三 旋转性质的基础题（求角度与线段长度） 解｜题｜技｜巧 利用“对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”来求角度或线段长度 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【变式1】（2025春•宜兴市期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 【变式2】（2025春•高新区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（　　） A．30° B．60° C．50° D．40° 【典例2】（2025春•濉溪县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝2．将△ABC绕点A旋转，使点C的对应点C′落在BC上，点B的对应点为B′，则CC′的长度是（　　） A． B．1 C． D． 【变式1】（2025春•章丘区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，∠BAD的平分线交BC的延长线于点F，连接DF，若AC＝3，BC＝1，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•南山区期中）如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO＝3，CO＝6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则OP的长是（　　） A． B． C． D．6 题型四 中心对称（图形）的性质应用 解｜题｜技｜巧 在解决与面积有关的问题时，注意经过对称中心的直线把中心对称图形的面积分成相等的两部分。 【典例1】（2025春•漳浦县期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【典例2】（2025春•射阳县期中）如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为（　　） A．4 B．12 C．6 D．3 【变式1】（2025春•宿城区期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　 ． 【变式2】如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五 旋转中的最值问题 解｜题｜技｜巧 求最值：通过旋转变换路径，将“求线段和的最小值”问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的距离最短”的问题。 【典例1】（2025春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C若点M是AB边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点M'，则线段MM'长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025春•福田区期中）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，F是直线AD上一动点，连接BF，以BF为边在其上方作等边△BFE，连接AE，若BC＝9，则线段AE的最小值为 　 ． 【变式2】（2025春•槐荫区期中）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型六 旋转（中心对称（图形））作图题 解｜题｜技｜巧 根据作图步骤进行即可 【典例1】（2025春•杏花岭区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）． （1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A1B1C，并写出A1的坐标； （2）将△A1B1C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标； （3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转90°得到，直接写出旋转中心的坐标． 【变式1】（2025春•扬州期中）如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 【典例2】（2025春•西安期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点　 　 ． 【变式1】（2025春•象州县期中）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 【典例3】如图所示，请在网格中作出△ABC关于点O对称的△A1B1C1． 【变式1】如图，已知坐标系中△ABC． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′； （2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 题型七 坐标的旋转与对称 解｜题｜技｜巧 根据坐标的旋转规律和对称规律解题即可 【典例1】（2025春•修水县期中）在平面直角坐标系中，将点A（4，5）绕原点逆时针旋转90°，得到点B的坐标为（　　） A．（5，4） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣4，5） D．（﹣5，4） 【变式1】（2025春•遂平县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，顶点A（0，﹣1），B（3，0），C（4，m）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点C的对应点的C′坐标为（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4） 【典例2】（2025春•乐平市期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1） 【变式1】（2025春•新昌县期中）已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【变式2】（2025春•临川区期中）已知点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称，则（　　） A．m＝0 B．n＝0 C．m+n＝0 D．m﹣n＝0 题型六 旋转综合题 解｜题｜技｜巧 等线段代换：通过旋转，将分散的线段集中到一个三角形中，利用三角形三边关系、勾股定理等进行计算。 构造全等三角形：旋转90°或60°等特殊角度，必然产生等腰直角三角形或等边三角形，用于证明线段或角相等。 【典例1】如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝FM． （2）当AE＝2时，求EF的长． 【变式1】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（　　） A．甲醛 B．甲烷 C．水 D．乙酸 【典例2】同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025春•三元区期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•惠山区校级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 3．（2025春•灌云县期中）如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOC＝∠A′OC′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′ 4．（2025春•碑林区校级期中）如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 5．（2025春•大丰区期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，下列说法不一定正确的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．△ABC≌△ADE C．∠DAC＝∠CAB D．AE＝AC 6．（2025春•工业园区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（2025春•射阳县期中）如图所示的图片是一个旋转对称图案，电风扇的叶片至少旋转（　　）度能与自身重合． A．90 B．120 C．180 D．360 8．（2025春•广饶县期中）如图，点A坐标为（4，4），点C坐标为（2，0），将线段CA绕点C顺时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（6，﹣2） C．（2，﹣4） D．（4，﹣2） 9．（2025春•西华县期中）把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A．10 B． C． D． 10．（2025春•金凤区期中）若点P（m，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 　 　 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（2025春•盐田区期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，4），点P（2，3）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（　　） A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2） 12．（2025春•徐闻县期中）如图，点G是菱形ABCD的对称中心，连接BD，点E是AD边上一点，且，连接EG并延长交BC于点F，连接CG．S1，S2分别表示四边形ABGE和△GFC的面积，若S2＝6，则S1＝　 　 ． 13．（2025春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2025春•南京期中）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF的长的最小值是　1　 ． 15．（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　 　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（2025春•兴宁市校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，∠ACB＝30°，将线段AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤180°），得到线段BP，连接AP，PC，当∠BCP＝30°时，AP的长为　 　 ． 17．（2025春•锦江区校级期中）如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，BD＝4，∠ADC＝135°．M，N为边AB和AD上的动点，且，连接MN，将线段MN绕点M顺时针旋转45°得到线段MP，连接PD、PO，则PD+PO的最小值为 　 　 ． 18．（2024秋•丛台区校级期中）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． 求：①旋转角的度数 　 　 ； ②线段OD的长 　 　 ； ③求∠BDC的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明． 18/18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 旋转的定义及其性质 ①判断生活中的一些旋转现象； ②利用旋转的性质求角度； ③利用旋转的性质求线段。 ①判断旋转现象考小题 ②旋转的性质考小题和综合题 旋转作图 ①按要求画出旋转后的图形，或根据旋转前后的图形确定旋转中心、旋转角等要素 ②判断旋转对称图形及其旋转角。 ①作图考综合题 ②判断旋转对称图形及旋转角考小题 中心对称（图形）及其性质 ①判断中心对称或轴对称图形； ②中心对称（图形）的性质的应用。 常考小题 中心对称（图形）的作图 ①画出成中心对称的两个图形的对称中心 ②画出某图形关于某一点对称的图形 考综合题 坐标的旋转与对称 ①坐标的旋转 ②关于原点对称的点的坐标 常考小题 知识点01 旋转的定义及其性质 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3．旋转的性质： ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 知识点02 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点03 中心对称（图形）及其性质 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。 4. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全等的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点04 中心对称（图形）的作图 1. 对称中心的确定： 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 2. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。 得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点05 坐标的旋转与对称 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 3. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 题型一 基本现象与图形的判断 【典例1】（2025春•阜宁县期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【解答】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，故本选项符合题意； B．升国旗的上升过程，属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转，故本选项不符合题意； D．电电梯的升降，属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025春•阜宁县期中）为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 题型二 基本性质的熟悉判断 【典例1】（2025春•秦淮区校级期中）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOD＝80° D．AB∥DF 【答案】D 【解答】解：∵△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF， ∴AB＝DE，∠CAB＝∠FDE，∠AOD＝80°， 故A，B，C选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出AB∥DF， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【典例2】（2025春•左权县期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　） A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′ C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′'关于O成中心对称， ∴OB＝OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，点A的对称点是点A′，BC∥B′C′， 故A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 题型三 旋转性质的基础题（求角度与线段长度） 解｜题｜技｜巧 利用“对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”来求角度或线段长度 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【解答】解：由旋转性质可知：AB＝AD， ∵点D恰好落在BC的延长线上， ∴∠B＝∠ADB＝50°， ∴∠BAD＝80°， 即旋转角的度数是80°， 故选：B． 【变式1】（2025春•宜兴市期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 【答案】C 【解答】解：由旋转的性质得AC＝AC′． ∵CC′∥AB，∠CAB＝65°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝65°． ∵AC＝AC′， ∴∠CC′A＝65°， ∴∠C′AC＝180°﹣2∠CC′A＝180°﹣2×65°＝50°． 故选：C． 【变式2】（2025春•高新区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（　　） A．30° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD′， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBD′+∠DBC＝60°， ∴∠DBD′＝60°， 又∵BD＝BD′， ∴△BDD′为等边三角形， ∴∠BD′D＝60°， 在△ABD和△CBD′中， ， ∴△ABD≌△CBD′（SAS）， ∴∠BD′C＝∠BDA＝100°， ∴∠DD′C＝∠BD′C﹣∠BD′D＝100°﹣60°＝40°． 故选：D． 【典例2】（2025春•濉溪县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝2．将△ABC绕点A旋转，使点C的对应点C′落在BC上，点B的对应点为B′，则CC′的长度是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC． 由旋转得，AC＝AC'， ∴△ACC'为等腰三角形， ∴CC'＝2CD． 设CD＝x，则BD＝BC﹣CD． 在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即， 解得x， ∴CD， ∴CC'． 故选：D． 【变式1】（2025春•章丘区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，∠BAD的平分线交BC的延长线于点F，连接DF，若AC＝3，BC＝1，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：延长ED、BF交于点H， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE， ∴∠EAC＝∠DAB＝90°，AE＝AC＝3，DE＝BC＝1，AD＝AB， ∵∠ACB＝90°，∠BAD的平分线交BC的延长线于点F， ∴∠ACH＝90°，∠DAF＝∠BAF， ∵四边形ACHE是矩形，且AE＝AC， ∴四边形ACHE是正方形， ∴∠H＝90°，HE＝HC＝AC＝3， ∴HD＝HE﹣DE＝3﹣1＝2， 在△ADF和△ABF中， ， ∴△ADF≌△ABF（SAS）， ∴DF＝BF， ∴HF＝HC+BC﹣BF＝3+1﹣DF＝4﹣DF， ∵HD2+HF2＝DF2， ∴22+（4﹣DF）2＝DF2， 解得DF， 故选：A． 【变式2】（2025春•南山区期中）如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO＝3，CO＝6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则OP的长是（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【解答】解：当点D恰好落在BC上时，如图， ∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD， ∴OP＝OD，∠POD＝60°， ∴∠AOP+∠COD＝180°﹣∠POD＝120°． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°， ∴∠COD+∠CDO＝180°﹣∠C＝120°， ∴∠AOP+∠COD＝∠COD+∠CDO， ∴∠AOP＝∠CDO， ∴△AOP≌△CDO（AAS）， ∴AP＝CO＝6． 过O作OH⊥AP于点H， ∴∠AOH＝30°， ∴， ∴PH＝AP﹣AH，OH， ∴OP． 故选：A． 题型四 中心对称（图形）的性质应用 解｜题｜技｜巧 在解决与面积有关的问题时，注意经过对称中心的直线把中心对称图形的面积分成相等的两部分。 【典例1】（2025春•漳浦县期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：由中心对称图形可知△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE2， 故选：D． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OCAC，OBBD， ∵AC＝2，BD＝8， ∴OC＝1，OB＝4， ∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C， ∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4， ∴AO′＝AC+O′C＝3， ∴AB′5． 故选：C． 【典例2】（2025春•射阳县期中）如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为（　　） A．4 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【解答】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O， ∴△BOE≌△DOF． ∴阴影面积＝△AOB的面积AB•BC＝3． 故选：D． 【变式1】（2025春•宿城区期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2， ∴AB＝2， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6． 故答案为：6． 【变式2】如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形， 所以直线经过两个平行四边形的对角线的交点即可， 观察图象可知，选项B，C，D符合题意， 故选：A． 题型五 旋转中的最值问题 解｜题｜技｜巧 求最值：通过旋转变换路径，将“求线段和的最小值”问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的距离最短”的问题。 【典例1】（2025春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C若点M是AB边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点M'，则线段MM'长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C， ∴CM＝CM′，∠MCM′＝90°， ∴△CMM′为等腰直角三角形， ∴MM′CM， ∴CM长度最小时，线段MM'长度的最小， ∵当CM⊥AB时，CM的长度最小， 此时CM•ABAC•BC， 解得CM， 即CM的最小值为， ∴线段MM'长度的最小值为． 故选：C． 【变式1】（2025春•福田区期中）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，F是直线AD上一动点，连接BF，以BF为边在其上方作等边△BFE，连接AE，若BC＝9，则线段AE的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接CF， 由题意可得：∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，AB＝BC， ∴∠EBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF，即∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∴线段AE的最小值，即为线段CF的最小值， 又∵F为直线AD上一动点，CD⊥AD， ∴点F与点D重合时，CF最小， ∵在等边△ABC中，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝9， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025春•槐荫区期中）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：如图，连接BF， 由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAE＝30°，BD＝4， ∴∠CBF＝30°， 即点F的运动轨迹为直线BF， ∴当DF⊥BF时，DF最短， 此时，DFBD4＝2， ∴DF的最小值是2， 故选：C． 题型六 旋转（中心对称（图形））作图题 解｜题｜技｜巧 根据作图步骤进行即可 【典例1】（2025春•杏花岭区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）． （1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A1B1C，并写出A1的坐标； （2）将△A1B1C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标； （3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转90°得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）作图见解析，A1（4，﹣4）； （2）作图见解析，C2（﹣3，3）； （3）（﹣3，﹣1）． 【解答】解：（1）△A1B1C如图1即为所求； A1的坐标为（4，﹣4）； （2）△A2B2C2如图2即为所求； C2的坐标为（﹣3，3）； （3）旋转中心的坐标为（﹣3，﹣1）．理由如下： 如图3， 若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转90°得到，作BB2和CC2的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得P（﹣3，﹣1）． 【变式1】（2025春•扬州期中）如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△A1B1C1与△A2C2B2关于直线l成轴对称， 如图，直线l即为所求． 【典例2】（2025春•西安期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点　P　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BB′、CC′，交点为对称中心点P． 如图所示： 故答案为：P． 【变式1】（2025春•象州县期中）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 【答案】（1）见解析；（2）18． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）； （2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称， ∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18． 答：△DEF 的周长为18． 【典例3】如图所示，请在网格中作出△ABC关于点O对称的△A1B1C1． 【答案】见解析． 【解答】解：△ABC关于点O对称的△A1B1C1，如图即为所求． 【变式1】如图，已知坐标系中△ABC． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′； （2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3），C′（﹣3，0）． 【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求： （2）由（1）中图可得：A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3），C′（﹣3，0）． 题型七 坐标的旋转与对称 解｜题｜技｜巧 根据坐标的旋转规律和对称规律解题即可 【典例1】（2025春•修水县期中）在平面直角坐标系中，将点A（4，5）绕原点逆时针旋转90°，得到点B的坐标为（　　） A．（5，4） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣4，5） D．（﹣5，4） 【答案】D 【解答】解：过A点作AD⊥x轴，过B点作BE⊥y轴，垂足分别为D、E， 由条件可知AD＝5，OD＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝∠BOE， ∵OA＝OB， 在△AOD和△BOE中， ， ∴△AOD≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OD＝4，BE＝AD＝5， ∴点B的坐标为（﹣5，4）． 故选：D． 【变式1】（2025春•遂平县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，顶点A（0，﹣1），B（3，0），C（4，m）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点C的对应点的C′坐标为（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4） 【答案】D 【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵A（0，﹣1），B（3，0），C（4，m）， ∴OA＝1，OB＝3，OM＝4， ∴BM＝4﹣3＝1＝OA． 在Rt△OAB和Rt△MBC中， ， ∴Rt△OAB≌Rt△MBC（HL）， ∴CM＝OB＝3． 由旋转可知， OC＝OC′，∠COC′＝90°， ∴∠COP+∠POC′＝∠COP+∠COM＝90°， ∴∠POC′＝∠COM． 在△POC′和△MOC中， ， ∴△POC′≌△MOC（AAS）， ∴C′P＝CM＝3，PO＝MO＝4， ∴点C′的坐标为（﹣3，4）． 故选：D． 【典例2】（2025春•乐平市期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1） 【答案】A 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，5）． 故选：A． 【变式1】（2025春•新昌县期中）已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：∵点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称， ∴a＝﹣（﹣3）＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+（﹣2）＝1． 故选：C． 【变式2】（2025春•临川区期中）已知点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称，则（　　） A．m＝0 B．n＝0 C．m+n＝0 D．m﹣n＝0 【答案】C 【解答】解：∵点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称， ∴m＝﹣n， ∴m+n＝0． 故选：C． 题型六 旋转综合题 解｜题｜技｜巧 等线段代换：通过旋转，将分散的线段集中到一个三角形中，利用三角形三边关系、勾股定理等进行计算。 构造全等三角形：旋转90°或60°等特殊角度，必然产生等腰直角三角形或等边三角形，用于证明线段或角相等。 【典例1】如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝FM． （2）当AE＝2时，求EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且BC＝6， ∴BM＝BC+CM＝6+2＝8， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， 在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 则EF＝5． 【变式1】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】（1）见解析； （2）50°； （3）140°或125°或110°． 【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， ∴∠ADO＝90°， 即△AOD是直角三角形； （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠ADO＝α﹣60°， △ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°； （3）解：分三种情况： ①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO． ∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO． ∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD． ∵190°﹣α＝50°， ∴α＝140°， 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（　　） A．甲醛 B．甲烷 C．水 D．乙酸 【答案】C 【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【典例2】同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 【答案】D 【解答】解：根据旋转的意义，字母按顺时针方向旋转180°，即两个字母成中心对称， 从而可确定为D图，故选D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025春•三元区期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2．（2025春•惠山区校级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2025春•灌云县期中）如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠AOC＝∠A′OC′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OB′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′， 故选项A，C正确， ∵∠AOC＝∠A′OC′，故选项B正确． 故选：D． 4．（2025春•碑林区校级期中）如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】A 【解答】解：根据旋转的性质知：△DBE≌△ABC，∠DBA＝∠CBE＝40°， ∴∠A＝∠D， ∵AB⊥DE， ∴∠DBA+∠D＝90°， ∴∠A＝∠D＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 5．（2025春•大丰区期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，下列说法不一定正确的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．△ABC≌△ADE C．∠DAC＝∠CAB D．AE＝AC 【答案】C 【解答】解：由条件可知△ABC≌△ADE，AB＝AD，AE＝AC， ∴∠ABD＝∠ADB． 但∠DAC不一定等于∠CAB． 故选：C． 6．（2025春•工业园区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解答】解：连接PP1，NN1， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， ∴分别作出PP1，NN1的垂直平分线，PP1，NN1的垂直平分线的交点为B， ∴旋转中心是点B， 故选：B． 7．（2025春•射阳县期中）如图所示的图片是一个旋转对称图案，电风扇的叶片至少旋转（　　）度能与自身重合． A．90 B．120 C．180 D．360 【答案】B 【解答】解：电风扇的图片是一个旋转对称图形，电扇的叶片旋转120度能与自身重合． 故选：B． 8．（2025春•广饶县期中）如图，点A坐标为（4，4），点C坐标为（2，0），将线段CA绕点C顺时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（6，﹣2） C．（2，﹣4） D．（4，﹣2） 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠A+∠ACD＝90°， 由条件可知OD＝4，AD＝4，OC＝2， ∴CD＝OD﹣OC＝2， 由旋转性质可知：AC＝CB，∠ACB＝90°，且点B位于第四象限， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CE＝AD＝4，BE＝CD＝2， ∴OE＝OC+CE＝6， ∴点B的坐标是（6，﹣2）， 故选：B． 9．（2025春•西华县期中）把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AC′， ∵四边形AB'C'D'是正方形， ∴∠D'AC'＝45°， ∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°， ∴∠D'AC'＝∠D'AB＝45°， ∴B在对角线AC′上， ∵B′C′＝AB′＝5， 在Rt△AB′C′中，AC′5， ∴BC′＝55， 在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝55， 在Rt△OBC′中，OC′（55）＝10﹣5， ∴OD′＝5﹣OC′＝55， ∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝10+55+55＝10， 故选：D． 10．（2025春•金凤区期中）若点P（m，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称， ∴m＝﹣3，2﹣n＝﹣3， ∴n＝5， 则m+n＝﹣3+5＝2． 故答案为：2． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（2025春•盐田区期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，4），点P（2，3）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（　　） A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2） 【答案】C 【解答】解：将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，如图，分别连接PC和P′C，过点P和P′分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∴PM＝P′M，∠PCP′＝90°， ∴∠PCM+∠P′CN＝∠PCM+∠P＝90°， ∴∠P′CN＝∠P． 在△PCM和△CP′N中， ， ∴△PCM≌△CP′N（AAS）， ∴P′N＝MC，CN＝PM， 又∵点A的坐标为（0，4），点P坐标为（2，3）， ∴P′N＝MC＝2，CN＝PM＝3， ∴点P′的坐标为（7，2）． 同理可得： 第2次旋转后，点P的坐标为（10，1）， 第3次旋转后，点P的坐标为（13，2）， 第4次旋转后，点P的坐标为（18，3）， 点5次旋转后，点P的坐标为（23，2）， ……， 每旋转四次，点P的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现， ∴点P4n的坐标为（16n+2，3）， ∴P20（82，3）， ∴连续旋转20次后，点P的坐标为（82，3）． 故选：C． 12．（2025春•徐闻县期中）如图，点G是菱形ABCD的对称中心，连接BD，点E是AD边上一点，且，连接EG并延长交BC于点F，连接CG．S1，S2分别表示四边形ABGE和△GFC的面积，若S2＝6，则S1＝　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：如图，过点G作GM⊥AD于点M， 过点B作BN⊥AD于点N， ∵点G是菱形ABCD的对称中心， ∴DG＝BG，S△DEG＝S△BFG，S△ABD＝2S△BCG， ∴BN＝2GM， ∵S△DEGDE×GM， S△ABDAD×BN， ， ∴， 设S△DEG＝a， 则S△ABD＝5a，S△BCG，S△GFB＝a， ∴S△GFCa， ∵S△GFC＝6， ∴6， 解得a＝4， ∴S△ABD＝5×4＝20， ∴四边形ABGE的面积S1＝S△ABD﹣S△DEG＝20﹣4＝16． 故答案为：16． 13．（2025春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE， ∴∠ABF＝60°，∠A＝∠D， ∵∠A＝30°， ∴∠A+∠ABF+∠AFB＝180°， ∴30°+60°+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝90°， ∴AG⊥BD； ∴②正确； ∴∠DFG＝90°， ∵∠A＝∠D＝30°， ∴∠DGF＝60°， ∴∠FGE＝120°； ∴①正确； AB＝BD，∠ABF＝60°，如图，连接AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠DAF＝30°， 在△ABG和△ADG中， ， ∴△ABG≌△ADG（SAS）， ∴DG＝BG， ∴③正确； 连接CE，如图， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE， ∴AC＝DE，BC＝BE， ∵AG＝AC+CG， ∴AG＝DE+CG， ∵∠CBE＝60°，BC＝BE， ∴△BCE是等边三角形， ∴CE＝BE， ∵∠FGE＝120°， ∴BE＝CE＞CG+GE， ∴AG≠DE+BE， ∴④错误； 综上所述，正确的为①②③，共3个； 故选：C． 14．（2025春•南京期中）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF的长的最小值是　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接CE，取BC的中点N，连接NF，如图所示： ∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°， ∴∠DCE＝30°， ∵点N为BC的中点，点F为BE的中点， ∴NF是△BCE的中位线， ∴NF∥CE， ∴∠CNF＝∠DCE＝30°， ∴点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°， 当CF⊥NF时，CF最短， ∵AB＝BC＝4， ∴CN＝2， 在Rt△CNF中，∠CNF＝30°， ∴CFCN＝1， ∴线段CF长度的最小值为1； 故答案为：1． 15．（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　BD2+CE2＝DE2　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2； 理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB， ∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE ∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°， 故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°， 易证△AFD≌△AED，故FD＝DE， 在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2； 即：BD2+CE2＝DE2． （2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB， 故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2， ∴CE2＝BD2+DE2． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（2025春•兴宁市校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，∠ACB＝30°，将线段AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤180°），得到线段BP，连接AP，PC，当∠BCP＝30°时，AP的长为　3或6或　 ． 【答案】3或或6． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝6， ①当点P在BC上方时，0°＜α＜90°，如图1， ∵∠ACB＝30°，∠PCB＝30°， ∴点P在AC上，∠A＝60°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BP， ∴AB＝BP， ∴△ABP是等边三角形， ∴AP＝AB＝3； ②当90°＜α＜180°， ∵△ACP是等边三角形， ∴∠P＝60°，PC＝AC＝6， ∵BP＝BP′＝AB， ∴△BPP′为等边三角形， ∴∠PBP′＝∠BP′P＝60°，PP′＝BP＝3， ∴P′为CP中点， ∴AP′⊥CP， 在直角三角形APP′中，由勾股定理得：， ③当点P在BC下方时，延长AB交CP于点P，如图2，此时∠ABP＝α＝180°， ∵∠ACB＝30°，∠PCB＝30°， ∴∠ACP＝60°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACP是等边三角形， ∴AP＝AC＝6； 综上所述，AP的长为3或或6， 故答案为：3或或6． 17．（2025春•锦江区校级期中）如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，BD＝4，∠ADC＝135°．M，N为边AB和AD上的动点，且，连接MN，将线段MN绕点M顺时针旋转45°得到线段MP，连接PD、PO，则PD+PO的最小值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：在AB上取点Q，使得∠PQA＝45°，连接BP，作BE⊥BD，且BE＝BD，连接OE，PE，如图： 由旋转的性质可知，∠NMP＝45°，MN＝MP， ∴∠PMQ+∠AMN＝135°， ∵∠AMN+∠ANM＝135°， ∴∠ANM＝∠PMQ， 在△AMN和△QPM中， ， ∴△AMN≌△QPM（AAS）， ∴PQ＝AM，MQ＝AN， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB， ∵DN＝2AM， ∴BQ＝AD﹣AN﹣AM＝AM＝PQ， ∴∠PBQ＝22.5°， ∴P在与AB夹角22.5°的线段上， ∴∠DBP（180°﹣45°）﹣22.5°＝45°， ∵BE⊥DE， ∴∠EBP＝∠DBP， 在△EBP和△DBP中， ， ∴△EBP≌△DBP（SAS）， ∴PE＝PD， ∴PD+PO＝PE+PO≥OE， ∵O是菱形ABCD对角线的交点， ∴OBBD＝2， ∴OE2． 故答案为：2． 18．（2024秋•丛台区校级期中）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． 求：①旋转角的度数 　60°　 ； ②线段OD的长 　4　 ； ③求∠BDC的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°， ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴旋转角的度数为60°； ②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴BO＝BD， 而∠OBD＝60°， ∴△OBD为等边三角形； ∴OD＝OB＝4； ③∵△BOD为等边三角形， ∴∠BDO＝60°， ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴CD＝AO＝3， 在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5， ∵32+42＝52， ∴CD2+OD2＝OC2， ∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°； （2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下： ∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO， ∴△OBD为等腰直角三角形， ∴ODOB， ∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴OA2+2OB2＝OC2， ∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°． 2/7 学科网（北京）股份有限公司 $