26.2 实际问题与反比例函数-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

基础过关 1.D2.四3.C【变式】一64.65.解：(1)在正比例函数y=-2x中，当x=一2 时y=4点（一2,0在反比例函数y=兰的图象上，则k=一2X4=一8.“y=一是 当x=4时，y=一2：(2)在反比例函数y=一8中，当-4<<一2时，2<y<4. x 能力提升 6.B7.108.解：(1)由图可知点A的坐标为(-3,2).：反比例函数图象经过点A, 设反比例函数的解析式为y=冬k=一3X2=一6，反比例函数的解析式为y -6:(2)设直线OA的解析式为y=ax.将A(-3,2)代入y=ax,得2=-3a,解得a x =一号.直线OA的解析式为y=一号x由图象可知，直线OA向上平移3个单位长 2 度得到直线BC,则直线BC的解析式为y=一号x十3，联立 y=-3x十3， 解得 y=-6 x 3 去c(会) y=4, 思维拓展 9.解：(1)由题意，设反比例函数的解析式为y一2（加≠0），一次函数的解析式为y=k红 十b(k≠0).点A(一1,6)在反比例函数的图象上，.n=一1×6=一6，∴反比例函数 的解析式为)=一三.：点B在反比例函数的图象上，是（a一3)=一6，解得a=1. a B(3,-2).:点A(-1,6),B(3,一2)在一次函数y=kx十b的图象上， 日2.解雅怎2-次函数的解析式为一2z+4:2设点Mm,0 在y=-2x十4中，令y=0,则-2x十4=0，解得x=2,.C(2,0),∴.OC=2,∴.S△0B= Ssx+Sam=20C·1m+号0C·1g=号X2×6+号×2×2=6+2=8.“点 M在x轴上∴Saw=20MX6=3m.又：Samw=Sae3m=8,解得m- ±号∴点M的坐标为（号，0）或(-号0） 难点突破专题反比例函数与一次函数的综合 1,B2.C3,D4.>5.解：(1)片点A(m,2)在正比例函数y=2x的图象上，2 =子m,解得m=4.A4,2.:点A4,2)在反比例函数=上的图象上2=冬， 解得太=8，“反比例函数的解析式为为=三：(2)把直线=号x向上平移3个单位 长度得到的直线的解析式为y-号x十3，过点B作BMLx轴于点M,过点A作ANL x轴于点N,联立 1 解得/2， y=2x+3 1,或y(舍去)B(2,4DS△B= 1y=4, Sm+50w-Sw=号×2X4+号×2+0X4-2)-号×4X2=4+6-4= 6.6.D7.解：(1)将点A(-2,1)代入y=m,得m=-2×1=-2,则反比例函数的 解析式为)=-兰将点A(-2,D,B1,-2)分别代人y=kx十6，得2十6解 k十b=-2, 容”则一次函数的解析式为=1：(2)当反比例函数值大于一次函数 时，x的取值范围是一2<x<0或x>1.8.39.解：(1)：A(-3,2)在反比例函数y =”的图象上，m=一3×2=一6，∴.反比例函数的解析式为y=一 ：(2)：Bm, -3)在反比例函数y=- 号的图象上-3n=-6n=2点B的坐标是(2， 第31页（共72页） -3).将点A(-3,2),B(2,-3)分别代人y=6x十6，得3十6=2解得=-1， 2k十b=-3, b=-1, .一次函数的解析式为y=一x-1.在y=-x-1中，令y=0,则x=-1,点C的坐 标是(-1,0)Sae=Sam十Sac=号X1X2+合X1X3=2.5 重点突破专题反比例函数中k的几何意义 1.B2.123.k=4(答案不唯一)4.C5.106.D7.4 26.2实际问题与反比例函数 第1课时利用反比例函数解决实际生活中的问题 例题引路 【例】解：(1)共有就餐学生3×10×60=1800（名）；(2)由题意，得3x×60y=1800, y-9x>0. 基础过关 1.B2.S=9(d>0》3.44解：1：y是x的反比例函数设y=女(k≠0. 把14,0.5)代入，得0.5=帝，解得大=72.y与x之间的函数解析式为y=2 2)当x=180时，y=3=0.4,答：每月应还款0.4万元 能力提升 5.C6.5507.解：(1)：矩形体育活动场地占地面积为64m,.xy=64,∴.y关于x 的函数解析式为y-兰：(2)不能理由如下：把x=20代入y-4得y=32.∴周长 为2×(20十3.2)=46.4(m)>45m,..不能建造AB=20m的活动场地. 思维拓展 8.解：(1)设线段AB所在直线的解析式为y1=k1x+20,把B(10,40)代入，得10k十20 =40,解得1=2,1=2x+20.设CD所在双曲线的解析式为)=生，把C(25,40) f代入，得k,=25X40=100,y=1000.当I=5时，y=2×5+20=30.当2=30 时的100-930<罗1<，答：第三+分钟注意力更集中：2)令1 30 3636=2x十20，解得x=8.令2=36,36=1000，解得x≈27.8.：27.8-8= x 19.8>18.·经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目. 第2课时利用反比例函数解决有关物理问题 例题引路 【例1】A【例2】解：(1)把P(2,7.5)代入W=Fs,得W=7.5×2=15,∴.F与s之间的 函数解析式为F=15;(2)把F=5N代入F=15,得s=3m. 基础过关 1.D2.解：1)设p关于S的函数解析式为p=冬，把A1.5,40)代入，得及=1.5X 40=60.p6g(S>0):(2)当S=0.2时，p=808=30.当木板的面积为 0,2m㎡时，压强是3000P4.3.解：)设h关于p的函数解析式为h=。,把p=1,办 =20代入解析式，得k=1X20=20.:h关于p的函数解析式为h=20;(2)把h=25代 人h0得25=0解得p=0.8,答：该液体的密度p为0.8gcm 能力提升 4解：1)猜测y与x是反比例函数关系.设y=兰(k≠0)，把x=10,y=30代入，得 k=300,y=30.把其余各组数据代入验证均符合.y关于x的函数解析式为y= ：(2)把y=24代人y=四得24=，解得=12.5当砝码的质量为24g时， x 活动托盘B与点O的距离是12.5cm:(3)将活动托盘B往左移动时，活动托盘B与点 O的距离减小，根据反比例函数的增减性，砝码的质量增大，才能保持仪器左右平衡. 第32页（共72页） 故应添加砝码.5.解：(1)21.5(2)①根据表格数据描点：(1,4)，(2,3)，(4,2)，(6， 15),在平面直角坐标系巾面出对应雨数y=是（红≥0）的图象如图： ②不断减小(3)x≥2或x=0[解析：如图.由函数图象知，当 123456789x ≥减-0时半≥号十6即当≥0时半≥-名十6的解氣为≥2政 12 3 x=0.] 第二十六章整合与提升 高频考点突破 1.c2.号 3.A4.D5.C6.57.(2,1)8.C9.D10.311.D12.解： )由题意，将点B(一1,2)代入反比例函数)=只2=气m=一2反比例函 数的解析式为)=一兰：(2)根据函数图象可知：当x<-1或0<<2时，一次函数图 象在反比例函数图象的上面，.关于x的不等式kx十b>”的解集为x<-1或0<x <2:8)点A2a)在双曲线y=-兰上a=-号=-1A(2,-1).将A2, x B(12分别代入直线虹+6得%2解得直线山 b=1, 一x+1.设y=一x+1与y轴交于点C,则点C的坐标为(0,1)，.S△o=×0C× 1-a=之×1X3=号.13.C14.18015,解：1)当0≤x≤8时，设一次函数 解析式为y=ax+6(a≠0)，把(0,20)，(8,700)代入，得0-20： 8a+b=700, 解得/a=85, b=20, ∴.一次函数解析式为y=85x十20(0≤x≤8)；当x≥8时，设反比例函数解析式为y= ≠0)，把(8,70)代入，得k=8×700=5600,心反比例函数解析式为y=600( x ≥8)，(2)把y=400代入3y=5600,得400=500，解得x=14,放冷却的时间为148 x =6(min).答：材料需要冷却的时间为6min. 易错易混专攻 1.D2.-33.D4.-1<a<0 常考题型演练 1B2.D3.B4.24005.解：(1)点A(1,a)在一次函数y=-x十4上，a= -1十4=3，“点A的坐标为1,3).“点A(1,3)在反比例函数y=冬(k为常数，且≠ 0上一6=3，“反比例函数解析式为y=三.联立一次函数与反比例函数解析式，得 y=-x十4， 3解得'或{二1点B的坐标为3,1D2)当x+4≥时， y-T 次函数y=一x十4的图象在反比例函数y=三图象上方，∴自变量x的取值范围为工 <0或1<x<3;(3)在一次函数y=-x十4中，令y=0,得x=4,.C(4,0),即OC=4. :A1,3),B63,15am=Sac-Sar=号X4X3-合X4X1=4 第二十七章相似 27.1图形的相似 新知梳理 ①形状②相等目相等成比例相似比 例题引路 【例1】D【例2】是【例3】125°12 第33页（共72页）26.2 第1课时 利 冒名师导学。预习先知 方法指导 ①用反比例函数模型解决实际问题时， 注意各字母表示的意义及自变量的 取值范围 ②常见的与实际相关的反比例函数： (1)面积一定时，矩形的长与宽成反 比例； (2)面积一定时，三角形的一边长与 这条边上的高成反比例； (3)体积一定时，柱（锥）体的底面积 与高成反比例； (4)工作总量一定时，工作时间与工 作效率成反比例； (5)总价一定时，单价与商品的件数 成反比例； (6)溶质一定时，溶液浓度与溶液的 质量成反比例. 例题引路 【例】某学校食堂为方便学生就餐，同时 又节约成本，常根据学生的多少来决定 开放售饭窗口的数量.假定每个窗口平 均每分钟可以售饭给3名学生，开放 10个窗口时，需1h才能使全部学生 就餐完毕。 (1)共有多少学生就餐？ (2)设开放x个窗口时，需要yh才能 使就餐的学生全部吃上饭，求y关 于x的函数解析式. 【学生解答】 实际问题与反比例函数 用反比例函数解决实际生活中的问题 ②基础过关⊙逐点击破 知识点利用反比例函数解决实际问题 1.某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n 的函数关系图象是 A 2.为打赢“蓝天保卫战”，某市为保障清洁取暖实行“煤改 气”.燃气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱 形天然气储存室，则储存室的底面积S()与其深度 d(m)之间的函数解析式为 .(写出自变量 d的取值范围) 3.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形 态和部分行为的机器装置（如图），其最快移动 速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例 函数.已知一款机器狗载重后总质量=60kg时，它的最 快移动速度v=6m/s;当其载重后总质量m=90kg时，它 的最快移动速度v= m/s. 4.情境题购房贷款为了方便孩子入学，小王家购买了一套学 区房，交首付款15万元，剩余部分向银行贷款，贷款及贷 款利息按月分期还款，每月还款数相同.计划每月还款 y万元，x个月还清贷款，若y是x的反比例函数，其图象 如图所示。 (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若小王家计划180个月(15年)还清贷款，则每月应还 款多少万元？ y/万元个 0.5-- 144 x/月 第二十六章反比例函数118 。能力提升○整合运用 5.劳动教育课上，徐老师带领九(1)班同学对 三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培 养环境相同).如图，用A,B,C三点分别表 示三类种子的发芽率y与该类种子用于实 验的数量x的情况，其中点B在反比例函 数图象上，则三类种子中，发芽数量最多 的是 () A.A B.B C.C D.无法确定 1y/度 y A· B 400f--+ 0 O0.1250.250.4x/m (第5题图) (第6题图) 6.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度) 与镜片焦距x(m)成反比例，y关于x的函 数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗 后，小雪的镜片焦距由0.125m调整到 0.4m,则近视眼镜的度数减少了度. 7.为响应国家“双减”政策，丰富学生的课余生 活，某学校要修建一个占地面积为64m的 矩形体育活动场地，四周要建上高为1m的 围栏，学校准备了可以修建45m长的围栏 材料（可以不用完）.设矩形地面ABCD的边 长AB=xm,BC=ym. (1)求y关于x的函数解析式；（不必写出自 变量的取值范围) (2)能否建造AB=20m的活动场地？请说 明理由. 119名师测控·数学Ⅱ九年级全册 思维拓展⊙学科素养 8.(2024·来宾期中)心理学家研究发现，一般 情况下，一节课40min中，学生的注意力随 教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生 的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的 注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生 的注意力开始分散.经过实验分析可知，学 生的注意力指标数y随时间x(min)的变化 规律如图所示（其中AB,BC分别为线段， CD为双曲线的一部分). (1)开始上课后第五分钟与第三十分钟相比 较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲18min,为了效 果较好，要求学生的注意力指标数最低 达到36，那么经过适当安排，老师能否在 学生注意力达到所需的状态下讲解完这 道题目？ y 40 20A O1025 第2课时 冒名师导学。预习先知 方法指导 在实际问题中，反比例函数的自变 量取值范围通常是大于0的，因此它的 图象仅是双曲线的一个分支或其中一 部分. 例题团路 【例1】当电压为220V时，通过电路的 电流I(A)与电路中电阻R(2)之间的 函数关系为 ( A1=梁 B.I=220R C.I=R 20 D.220I=R 【学生解答】 【例2】由物理学的知识知道，在力 F(N)的作用下，物体会在力F的方向 上发生位移s(m),力F所做的功 W(J)满足：W=Fs.当W为定值时，F 与s之间的函数图象如图所示，P(2, 7.5)为图象上一点、 (1)试确定F与s之间的函数解析式； (不要求写出自变量的取值范围) (2)当F=5N时，s是多少 【名师点拨】(1)把，点(2,7.5)代入W Fs,可求W;(2)把F=5N代入F= W s ,求出s 【学生解答】 ↑FN 30 10 3 s/m 利用反比例函数解决有关物理问题 ②基础过关⊙逐点击破 知识点利用物理公式建立反比例函数模型【跨学科融合】 1.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与 U 电阻R(Q)是反比例函数关系(I=R),下列反映电流I与 电阻R之间函数关系的大致图象是 I/A I/A IA I/At R R/S R/S 2.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥 湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺 了若干块木板，构筑成一条临时过道.木板对地面的压强 p(Pa)是木板面积S(m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)写出这一函数解析式和自变量的取值范围； (2)当木板的面积为0.2m时，压强是多少？ p/Pa 600 400--- A1.5,400) 200H 00511522.533.54Sm 3.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度（如图）.密 度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是 液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度 为1g/cm3的水中时，h=20cm. (1)求h关于p的函数解析式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,求该液体 的密度 第二十六章反比例函数120 能力提升。整合运用 4.如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件 的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边 固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托 盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码， 使得仪器左右平衡.改变活动托盘B与点O 的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质 量y(g)的变化情况.实验数据记录如下表. z/cm 10 15 20 25 30 y/g 30 20 15 12 10 (1)猜测y与x之间的函数关系，求出函数 解析式并加以验证： (2)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与 点O的距离是多少？ (3)将活动托盘B往左移动时，保持仪器左 右平衡，应往活动托盘B中添加还是减 少砝码？ 0 121名师测控·数学Ⅱ九年级全册 父思维拓展○学科素养 5.在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压 为U=12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器 R(2)来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯 丝的阻值R.=2Ω)亮度的实验（如图①，假 设灯泡的电阻不随温度的变化而变化)，已 知串联电路中，电流I与电阻R,R之间的 U 关系为I一R十R,通过实验得出如下数据 (表格数据不完整)。 R/O … 1a46 I/A…432b… (1)a= ,b= (2)根据以上实验，构建出函数y=12 「x十2 (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= x宁2≥0)的图象与性质。 12 ①在平面直角坐标系中，画出对应函数 .12 x十2x≥0)的图象； y= ②随着自变量x的不断增大，函数值y 的变化趋势是 (3)请结合函数图象分析，当x≥0时，x十2之 12 多十6的解架为 5 A 0123456789x 图① 图②