21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&重点突破专题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

*21.2.4 冒名师导学○预习先知 新知梳理 如果方程ax2十bx十c=0(a≠ 0)有两个实数根x1,x2,那么x1十 x2= x1x2= 注意：根与系数的关系是在a≠0 且b2-4ac≥0的前提条件下得出的. 例题引路 【例1】不解方程，求下列方程两个根 1,x2的和与积. (1)x2+3x+1=0;(2)3.x2-2x-1=0; (3)-2x2+3=0;(4)2x2+5x=0. 【名师点拨】将一元二次方程整理为一 般形式，再利用西十=一 ,x1x2= C求出即可， 【学生解答】 【例2】已知m,x2是方程2x2-5.x十1= 0的两个实数根，求下列各式的值. (1)x7+x号； (2)1+1 【名师点拨】(1)把x十x化成(x1十 )P-2的形式：(2)可道分把子十 工化成十2求解」 T1x2 【学生解答】 13名师测控·数学Ⅱ九年级全册 一元二次方程的根与系数的关系 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.若x1,x2是方程x2一6x一7=0的两个根，则 A.x1+x2=6 B.x1十x2=-6 7 C.:6 D.x1x2=7 2.关于x的一元二次方程x2+2x一1=0的两根之积为 3.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2+2x+1=0的两个 实数根的和为2，则k的值为 知识点2利用根与系数的关系求相关代数式的值 4.(2024·南宁青秀区校级期中)若，x2是一元二次方程x2 2x十1=0的两个实数根，则1十x2一5.1x2的值为 ( A.-4 B.-3 C.4 D.-7 5.(2024·桂林龙胜县期中)若a,b是方程x2-2x一5=0的 两个实数根，则(a一2)(b一2)的值为 6.一元二次方程x2-4x一2=0的两根分别为m,n,则1十1 m n 的值为 知识点3利用根与系数的关系求方程的解或确定方 程中待定字母的值 7.若关于x的方程2x2十mx十n=0的两个根是一2和1，则 nm的值为 A.-8 B.8 C.16 D.-16 8.已知一元二次方程x2一4x十m=0的一个根为x1=1,则另 一个根x2= !易错点利用根与系数的关系求待定字母的值时，忽 视△≥0而致错 9.已知关于x的方程x2一(2m一1)x十m2=0的两实数根为 x1,x2.若(x1+1)(x2十1)=3，则m的值为 ( A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 能力提升⊙整合运用 10.逆向思维法(2024·南宁期末)小州与小冬 在解方程x2十bx十c=0时，小州写错了常 数项，得到方程的两个根是2和一4，小冬 写错了一次项系数，得到方程的两个根是 一1和3，则b与c的值分别是( ) A.b=2,c=-8 B.b=2,c=-3 C.b=-2,c=8 D.b=2,c=3 11.设x1,x2是一元二次方程x2十x一2026=0的 两个根，则x十2x1十x2的值为 12.构造方程模型法已知实数5，t满足2s2十3s 1=0,2+3t-1=0且s≠t,则1-上的值 为 13.(2024·四川内江)已知关于x的一元二次 方程x2-px十1=0(p为常数)有两个不相 等的实数根x1和x2. (1)填空：x1十x2= ’X1x2= (2)求++1 T T2 (3)已知x十x2=2p十1，求p的值. ⊙ 思维拓展。学科素养 14.新视角新定义我们定义：如果关于x的一元 二次方程ax2十b.x十c=0有两个实数根，且 其中一个根为另一个根的2倍，则称这样 的方程为“倍根方程”. (1)请说明方程x2一3x十2=0是“倍根 方程”； (2)若(x一2)(mx十n)=0是“倍根方程”， 则m,n具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程a.x2十b.x十c=0(b一 4ac≥0)是“倍根方程”，请直接写出a, b,c的等量关系. 第二十一章一元二次方程14 重点突破专题 一元二次方程 类型1根的判别式的应用 1.新视角新定义)对于实数a,b定义运算“☒”为 a☒b=b-ab,例如3☒2=22-3×2= 一2，则关于x的方程(k一3)☒x=k一1根的 情况，下列说法正确的是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2.若关于x的一元二次方程x2一3.x十m=0有两 个相等的实数根，则实数的值为（ A.-9 &一 c D.9 3.(2024·柳州柳南区校级期中)若关于x的 一元二次方程kx2+2x十1=0有两个实数 根，则实数的取值范围是 () A.k≤1 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k<1且k≠0 【变式1】若关于x的方程x2一x十k=0没有 实数根，则k的取值范围是 【变式2】(2024·山东泰安)若关于x的一元 二次方程2x2一3x十k=0有实数根，则实数 k的取值范围是 A长号 RA≤君 C≥号 n长司 4.（2024·防城港期中)已知关于x的一元二 次方程x2-(2m十1)x十4m-2=0. (1)求这个一元二次方程的根的判别式的值 (用含有m的式子表示)； 15名师测控·数学Ⅱ九年级全册 根的判别式及根与系数的关系 (2)求证：无论m取何值，这个方程总有实 数根 类型2根与系数的关系的应用 5.若一元二次方程x2-3x十1=0的两个根为x1, x2,则x十3x2十x1x2一2的值是( A.10 B.9 C.8 D.7 6.构建方程模型法方程，如同一首精致的诗，以 简洁的线条勾勒出深沉的数学之美.已知α， b满足a2+2a-3=0,b+2b-3=0,且a≠ 6则+名 类型3根的判别式和根与系数的关系 的综合应用 7.(2024·桂林龙胜县期中)已知关于x的方 程x2+21x十m2-1=0. (1)不解方程，判断方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m的值及方程的 另一根-2,a2=6.当a=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0.，△=12-4X1×2=-7<0, 此方程无实数根.当a=6时，x2十x=6,即x2十x-6=0,解得x1=一3，x2=2.∴.原 方程有两个实数根：x1=-3,x2=2. 方法技巧专题一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2=144,x2=36,x=±6，x1=6,x2=-6:(2)4(x-2)2=121,(x-2)2= 1x-2=士号x-2-号或x-2=号=子2.解：1)移项，得 15. 4 x2十4x=12.配方，得x2十4x十2=12十22，(x十2)2=16.由此可得x十2=士4，x1=2, x2=-6;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x=5.配方，得x2十4x 十2=5十2，(x十2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a=3,b= -6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=2,b=7,c =3.△=b-4ac=72-4×2X3=25>0,方程有两个不等的实数根x=b士-4a 2a 生西-二75，即1=-3=一子.4.解：1)因式分解，得(x一7)1-) 2×2 4 =0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原方程可变形为3(x-2)一x(x 2)=0.因式分解，得(x-2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0,x1=2,x2=3. 5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2=-1.当y=4时， x2=4,∴x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解.∴.原方程的解为x1=2,x2= -2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2,y2=9.当y=2 时，x2-2=2,x2=4,.x=士2.当y=9时，x2-2=9,.x2=11,x=±√.原 方程的解为x1=2,x2=-2,x3=-√1，x4=√.6.解：①当x-1≥0时，此时x ≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x=0(不符合题意，舍去)； ②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x2十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得x1= -2,x2=1(不符合题意，舍去).原方程的根是无=1，x2=-2. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 例题引路 2 【例】解：(1)x十x2=3,xzx2=1:(2)十x2三3，xxg=二3：（3)x十x2=0 号：()十=一号函=0.【例2】根据根与系数的关系，得十 号=分1原式=十)-2=()-2×号-头，(2原式=十 5 xIx2 5 2 基础过关 1.A2.-13.04.B5.-56.-27.C8.39.A 能力提升 10.B1山.202512.±713.解：(1)p1(2)”x十x=p,x1=1,1+ =十工=上=.“关于x的一元二次方程x2-px十1=0(p为常数)有两个不相等 xIx2 1 的实数根和-p十1=0，一p叶子=0，即十子=p:3):十 =p,x1x2=1,且x1十x=2p+1,∴.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，∴.p2-2=2p+1,解 得p1=3,p2=-1.当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0;当p=-1时，△=p2-4=-3 <0,不合题意，舍去..p=3. 思维拓展 14.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,∴.方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)：(x-2)(mx十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,.x=2,x2= 一”“此方程是“倍根方程”，分以下两种情况讨论：当一”=2×2=4时，n一 一4m,即4m十月=0：当一只=之×2=1时，=一m,即m十n=0.综上所述，m,n的关 m 第4页（共72页） 系式为4m十n=0或m十n=0:(3):一元二次方程a.x2十bx十c=0(b-4ac≥0)是“倍 根方程”，设方程的两根分别为，2t.根据根与系数的关系，得t十2：=一么，t·21= a 合=品2…（品）(a)=后26=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.A2.C3.C【变式1】>}【变式2B4.解：1)：关于x的一元二次方程x -(2m+1)x+4m-2=0,a=1,b=-(2m+1),c=4n-2,.△=b-4ac=[-(2m+ 1)]-4×1×(4m-2)=(2m-3);(2)由(1)知，△=(2m-3)≥0，∴.无论m取何值， 2 这个方程总有实数根。5.D6,号7.解：1)：a=1,b=2m,c=m-1△=6- 4ac=(2m)2一4×1×(m2一1)=4>0，即方程有两个不相等的实数根；(2)：x2十2m.x 十m-1=0有一个根是3，.把x=3代入方程，得32+2m×3十m-1=0.整理，得 m2+6m十8=0.解得m=-4,2=-2.当1=-4时，方程为x2-8x十15=0，另一根 为5，当m=-2时，方程为x2-4x十3=0，另一根为1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 1 【例1】(1)(x-1)2x(x-1)(2)2x(x-1)=4X7(3)2=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5一x).根据题意，得(10x十5一x)[10(5一x)十x=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B2.1+x十x(x+1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个 同学，则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x2 x一1560=0.解得x1=40,x2=-39(不符合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学. 5.x2-7x+12=06.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题 意，得60x2=24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均 每个有益菌可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后 有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得号n(n一3)=14.整理，得m2-3m-28=0.解得m=7,m=一4 :n≥3，∴n=一4不符合题意，舍去..n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当2n(n-3)=10时，整理，得-3n-20=0.解得n= 3±√/89 2 “符合方程n一3n一20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确. 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)200 0×10）=640.整理，得-8x十12=0.解得2=2，x=6.又要减少进货量x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.20%3.D4.解：设每只杯子降价x元.根据题意，得(100十10x)(60一40一 x)=2240.整理，得x2-10x十24=0.解得=4,2=6.答：每只杯子应降价4元或6元. 能力提升 5.D6.10%7.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y=kx十b.又结合表格数据可 第5页（共72页） 知图象过(4555.55,4,45大十6-5·解科二10，y与工的函数关系式为 {55k+b=45, =一x十100；(2)由题意，得日销售额为x(-x十100)=-x2+100x.当日销售额是 2600元时，2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0..△=(-100)2-4×2600= 10000一10400=一400<0..此方程无实数根，故该商品日销售额不能达到2600元. 思维拓展 8.解：任务1：设工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为x.根据题意， 得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作实 验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为20%：任务2：设该零件的实际售价定 为y元，则月销售量为800+50)Y×20=1300-10y(个).当1300-10y<900,即y> 2 40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300-10y)=13500. 整理，得y2-160y十5250=0.解得y1=80一5√46，y2=80十5√46.（均不符合题意， 舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y-30十5)元.根据题 意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y-155y+4600=0.解得y1=40, y2=115(不符合题意，舍去).答：该零件的实际售价应定为40元. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.A【变式】24.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10一2x) =16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去). 答：需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2=72一2x(m).根据题意， 得x(72一2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16,x2=20.当x=16时，72 -2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当羊圈的长为40m,宽为 16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈；(2)不能.理由如 下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0.△=（一36）2一4×325 =一4<0，∴该一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.A2.C3.-24.-75.解：(1)x2=16,x=士4，x1=4,x2=-4;(2)原方程变 形，得x(x十3)一2(x十3)=0.因式分解，得(x十3)(x-2)=0.于是得x十3=0，或x一 2=0.x1=-3,x2=2;(3)a=1,b=-3,c=1.△=6-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0. 方程有两个不等的实数根=生公证-装款-，即=3 2a 2×1 22= 35 2 6.D7.B8.解：(1)a=1,b=-(m+2),c=-1,△=b-4ac=[-(m十 2)]2一4×1×(-1)=m十4+4一4n十4=m2十8..m≥0，.△>0..无论m取 何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x1x2=1一1.：x 十x-x1x2=9,即（十x2)2-3x1x2=9,.(1十2）2-3(m-1)=9.整理，得m2十m- 2=0..(m十2)(m-1)=0.解得m1=-2,2=1,.m的值为-2或1.9.610.解： 0设散丙手办的单价为：元，则哪凭手办的单价为1.元，根据题意，相 1000=14,解得x=50.经检验x=50是原方程的解，且符合题意.1.3x=1.3×50=65 (元).答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；(2)由(1)可得计划购买救 丙手办100=20（个），哪吒手办20+14=34（个）.根据题意，得(65-3m)(34十2m)+ 50 (50-m)(20+2)=2210十1000+100.整理，得m2-m=0.解得m1=1,2=0(不符合 题意，舍去).答：m的值为1， 易错易混专攻 1.-22.-1 常考题型演练 1.A2.D3.解：(1)设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,根据题意， 得300(1十x)2=432.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该基地 “阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%：(2)设销售单价应降低y元.根据题意， 得(20-y-10)(300十+50y)=3150.整理，得y2-4y十3=0.解得y1=1,y2=3.:要使 消费者尽可能获得实惠，·y=3,此时20一y=17.答：销售单价应定为17元. 第6页（共72页）