13.2命题与证明讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

13.2 命题与证明 学习目标 1. 了解命题的概念，能够判断一个语句是否为命题。 2. 理解命题的构成，能准确区分命题的题设和结论。 3. 掌握判断命题真假的方法，并能举出反例说明假命题。 4. 理解逆命题的概念，会写出一个命题的逆命题，并判断其真假。 5. 了解定理与证明的含义，初步体会逻辑推理与论证的过程。 6. 掌握三角形内角和定理的证明方法，并能运用相关知识进行简单推理。 知识点讲解 1. 命题的定义 判断一件事情的语句，叫做命题。 命题通常由陈述句表达，并且具有明确的真假性，即要么是真的，要么是假的，不能模棱两可。 例如：“对顶角相等”是命题；“今天天气好吗？”不是命题（疑问句）；“画一条线段”不是命题（祈使句）；“这个数很大”不是命题（无法判断真假）。 2. 命题的构成——题设和结论 一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。 “如果”后面的部分是题设（或已知条件），“那么”后面的部分是结论（或由题设推出的结果）。 有些命题的题设和结论不明显，需要将其改写成“如果……那么……”的形式，再进行区分。 3. 判断命题的真假 · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。 4. 举反例说明命题 要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），使得该命题的题设成立，但结论不成立即可。 反例的特点：符合命题的题设，但不符合命题的结论。 5. 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。 原命题：如果 p，那么 q。 逆命题：如果 q，那么 p。 注意：原命题的真假性与逆命题的真假性没有必然联系。原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 6. 定理与证明 · 公理（基本事实）：人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的原始依据的真命题叫做公理。例如：“经过两点有且只有一条直线”，“两点之间，线段最短”。 · 定理：经过推理证实的真命题叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。 · 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 证明的一般步骤： 1. 根据题意，画出图形。 2. 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。 3. 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程（每一步推理都要有依据，依据可以是公理、定义、已学过的定理）。 7. 逻辑推理与论证 逻辑推理是证明的核心。在证明过程中，要使用规范的数学语言，清晰、有条理地表达推理过程。 常用的推理方法有：综合法（从已知条件出发，逐步推出结论）和分析法（从结论出发，追溯导致结论成立的条件）。 论证时，每一步都必须有依据，不能凭空臆断。 例题解析 例题 1：判断下列语句是否是命题。 (1) 今天天气真好啊！ (2) 你喜欢数学吗？ (3) 对顶角相等。 (4) 画一条线段等于已知线段。 (5) 如果 a > b，那么 a + c > b + c。 例题 2：指出下列命题的题设和结论。 (1) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (2) 同位角相等，两直线平行。 例题 3：判断下列命题的真假，并说明理由。若是假命题，请举一个反例。 (1) 若 a = b，则 a² = b²。 (2) 若 a² = b²，则 a = b。 (3) 互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角。 例题 4：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 (1) 两直线平行，同位角相等。 (2) 如果 |a| = |b|，那么 a = b。 例题 5：证明：直角三角形的两个锐角互余。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列语句中，属于命题的是 A. 画线段 AB = CD B. 你好吗？ C. 同位角相等 D. 请安静 2. 命题“等角的补角相等”的题设是 A. 等角 B. 补角 C. 等角的补角 D. 两个角是等角的补角 3. 下列命题中，属于假命题的是 A. 对顶角相等 B. 两点之间线段最短 C. 若 a > 0，b > 0，则 a + b > 0 D. 若 a > b，则 ac > bc 4. 命题“如果 a 是偶数，那么 a 能被 2 整除”的逆命题是 A. 如果 a 能被 2 整除，那么 a 是偶数 B. 如果 a 不是偶数，那么 a 不能被 2 整除 C. 如果 a 不能被 2 整除，那么 a 不是偶数 D. 如果 a 是偶数，那么 a 不能被 2 整除 5. 在证明过程中，作为推理依据的是 A. 只有公理 B. 只有定理 C. 公理、定理和定义 D. 只有定义 二、填空题 6. 将命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为：_________________________。 7. “相等的角是对顶角”是______命题（填“真”或“假”），它的逆命题是_________________________，逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 8. 要说明命题“任何数的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是：_________________________。 三、解答题 9. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举一个反例。 (1) 若 x > y，则 x² > y²。 (2) 垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 10. 证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（提示：结合三角形内角和定理进行证明） 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2 命题与证明 学习目标 1. 了解命题的概念，能够判断一个语句是否为命题。 2. 理解命题的构成，能准确区分命题的题设和结论。 3. 掌握判断命题真假的方法，并能举出反例说明假命题。 4. 理解逆命题的概念，会写出一个命题的逆命题，并判断其真假。 5. 了解定理与证明的含义，初步体会逻辑推理与论证的过程。 6. 掌握三角形内角和定理的证明方法，并能运用相关知识进行简单推理。 知识点讲解 1. 命题的定义 判断一件事情的语句，叫做命题。 命题通常由陈述句表达，并且具有明确的真假性，即要么是真的，要么是假的，不能模棱两可。 例如：“对顶角相等”是命题；“今天天气好吗？”不是命题（疑问句）；“画一条线段”不是命题（祈使句）；“这个数很大”不是命题（无法判断真假）。 2. 命题的构成——题设和结论 一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。 “如果”后面的部分是题设（或已知条件），“那么”后面的部分是结论（或由题设推出的结果）。 有些命题的题设和结论不明显，需要将其改写成“如果……那么……”的形式，再进行区分。 3. 判断命题的真假 · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。 4. 举反例说明命题 要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），使得该命题的题设成立，但结论不成立即可。 反例的特点：符合命题的题设，但不符合命题的结论。 5. 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。 原命题：如果 p，那么 q。 逆命题：如果 q，那么 p。 注意：原命题的真假性与逆命题的真假性没有必然联系。原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 6. 定理与证明 · 公理（基本事实）：人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的原始依据的真命题叫做公理。例如：“经过两点有且只有一条直线”，“两点之间，线段最短”。 · 定理：经过推理证实的真命题叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。 · 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 证明的一般步骤： 1. 根据题意，画出图形。 2. 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。 3. 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程（每一步推理都要有依据，依据可以是公理、定义、已学过的定理）。 7. 逻辑推理与论证 逻辑推理是证明的核心。在证明过程中，要使用规范的数学语言，清晰、有条理地表达推理过程。 常用的推理方法有：综合法（从已知条件出发，逐步推出结论）和分析法（从结论出发，追溯导致结论成立的条件）。 论证时，每一步都必须有依据，不能凭空臆断。 例题解析 例题 1：判断下列语句是否是命题。 (1) 今天天气真好啊！ (2) 你喜欢数学吗？ (3) 对顶角相等。 (4) 画一条线段等于已知线段。 (5) 如果 a > b，那么 a + c > b + c。 解析： (1) 是感叹句，不是命题。 (2) 是疑问句，不是命题。 (3) 是对一件事情作出判断的陈述句，是命题。 (4) 是祈使句，描述的是一个动作，不是命题。 (5) 是对一件事情作出判断的陈述句，是命题。 答案：(1) 不是；(2) 不是；(3) 是；(4) 不是；(5) 是。 例题 2：指出下列命题的题设和结论。 (1) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (2) 同位角相等，两直线平行。 解析： (1) 题设：两条直线都与第三条直线平行。 结论：这两条直线也互相平行。 (2) 先改写成“如果……那么……”的形式：如果同位角相等，那么两直线平行。 题设：同位角相等。 结论：两直线平行。 答案： (1) 题设：两条直线都与第三条直线平行；结论：这两条直线也互相平行。 (2) 题设：同位角相等；结论：两直线平行。 例题 3：判断下列命题的真假，并说明理由。若是假命题，请举一个反例。 (1) 若 a = b，则 a² = b²。 (2) 若 a² = b²，则 a = b。 (3) 互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角。 解析： (1) 真命题。因为如果 a = b，那么将等式两边同时平方，可得 a² = b²。 (2) 假命题。反例：当 a = 2，b = -2 时，a² = 4，b² = 4，满足 a² = b²，但 a ≠ b。 (3) 假命题。反例：两个角都为 90°，它们的和为 180°，是互补的，但它们既不是锐角也不是钝角。 答案： (1) 真命题； (2) 假命题，反例：a=2，b=-2 时，a²=b²，但 a≠b； (3) 假命题，反例：两个 90° 的角互补。 例题 4：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 (1) 两直线平行，同位角相等。 (2) 如果 |a| = |b|，那么 a = b。 解析： (1) 原命题：两直线平行，同位角相等。这是真命题。 逆命题：同位角相等，两直线平行。这也是真命题。 (2) 原命题：如果 |a| = |b|，那么 a = b。这是假命题，例如 |2| = |-2|，但 2 ≠ -2。 逆命题：如果 a = b，那么 |a| = |b|。这是真命题，因为如果 a 和 b 相等，它们的绝对值必然相等。 答案： (1) 逆命题：同位角相等，两直线平行。原命题真，逆命题真。 (2) 逆命题：如果 a = b，那么 |a| = |b|。原命题假，逆命题真。 例题 5：证明：直角三角形的两个锐角互余。 解析： 已知：在 △ABC 中，∠C = 90°。 求证：∠A + ∠B = 90°。 证明： 因为在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）。 又因为 ∠C = 90°（已知）。 所以 ∠A + ∠B = 180° - ∠C。 即 ∠A + ∠B = 180° - 90°。 所以 ∠A + ∠B = 90°（等式的性质）。 因此，直角三角形的两个锐角互余。 答案：证明过程如上。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列语句中，属于命题的是 A. 画线段 AB = CD B. 你好吗？ C. 同位角相等 D. 请安静 2. 命题“等角的补角相等”的题设是 A. 等角 B. 补角 C. 等角的补角 D. 两个角是等角的补角 3. 下列命题中，属于假命题的是 A. 对顶角相等 B. 两点之间线段最短 C. 若 a > 0，b > 0，则 a + b > 0 D. 若 a > b，则 ac > bc 4. 命题“如果 a 是偶数，那么 a 能被 2 整除”的逆命题是 A. 如果 a 能被 2 整除，那么 a 是偶数 B. 如果 a 不是偶数，那么 a 不能被 2 整除 C. 如果 a 不能被 2 整除，那么 a 不是偶数 D. 如果 a 是偶数，那么 a 不能被 2 整除 5. 在证明过程中，作为推理依据的是 A. 只有公理 B. 只有定理 C. 公理、定理和定义 D. 只有定义 二、填空题 6. 将命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为：_________________________。 7. “相等的角是对顶角”是______命题（填“真”或“假”），它的逆命题是_________________________，逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 8. 要说明命题“任何数的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是：_________________________。 三、解答题 9. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举一个反例。 (1) 若 x > y，则 x² > y²。 (2) 垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 10. 证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（提示：结合三角形内角和定理进行证明） 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：命题是判断一件事情的语句。A 是祈使句，B 是疑问句，D 是祈使句，都不是命题；C 是对一件事情的判断，是命题。 2. 答案：D 解析：将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等”。故题设是“两个角是等角的补角”。 3. 答案：D 解析：A、B、C 都是真命题。D 是假命题，当 c ≤ 0 时，若 a > b，则 ac ≤ bc，例如 a=3，b=2，c=-1 时，ac=-3，bc=-2，此时 ac < bc。 4. 答案：A 解析：原命题的题设是“a 是偶数”，结论是“a 能被 2 整除”。交换题设和结论即可得到逆命题：“如果 a 能被 2 整除，那么 a 是偶数”。 5. 答案：C 解析：在证明过程中，公理、定理和定义都可以作为推理的依据。 二、填空题 6. 答案：如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，那么这两条直线平行。 解析：改写时要明确题设是“同旁内角互补”（需指明是两条直线被第三条直线所截形成的），结论是“两直线平行”。 7. 答案：假；对顶角相等；真。 解析：“相等的角是对顶角”是假命题，例如等边三角形的三个内角都相等，但它们不是对顶角。其逆命题是“对顶角相等”，这是真命题。 8. 答案：0 的平方是 0，不是正数。（或：0² = 0） 解析：0 是一个非正数，0 的平方是 0，不是正数，所以 0 可以作为反例。 三、解答题 9. 答案与解析： (1) 假命题。反例：当 x = 1，y = -2 时，x > y，但 x² = 1，y² = 4，此时 x² < y²。 (2) 假命题。反例：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面。（或：在同一平面内，如果这两条直线都垂直于同一条直线且在同一平面内，则平行；但如果是在不同平面，情况不同。此处仅需举一例，如墙角处的三条交线，其中两条都垂直于第三条，但它们互相垂直而非平行。） 10. 答案与解析： 已知：在 △ABC 中，∠ACD 是 △ABC 的一个外角（∠ACD 是 ∠ACB 的邻补角）。 求证：∠ACD = ∠A + ∠B。 证明： 在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）。 所以 ∠A + ∠B = 180° - ∠ACB（等式的性质）。 因为 ∠ACD 是 △ABC 的外角， 所以 ∠ACB + ∠ACD = 180°（平角的定义）。 所以 ∠ACD = 180° - ∠ACB（等式的性质）。 所以 ∠ACD = ∠A + ∠B（等量代换）。 即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 学科网（北京）股份有限公司 $