专题03 全等三角形综合提分练（动点问题最值问题）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形综合提分练 (动点问题最值问题) 题型归纳·内容导航 题型1全等三角形相关最值问题（重点） 题型4动点最值问题（难点） 题型2全等三角形相关动点定值问题（难点） 题型5动点存在性问题（常考点） 题型3动点定值问题（难点） 题型6动点求值（常考点） 题型通关·靶向提分 题型1全等三角形相关最值问题（共5小题） 1.(22-23八上山东济宁邹城六中期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5, BD平分∠ABC,点E是AB上的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为 B 2.(23-24八上山东青岛市南区青大附中期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5,BC=12, AD平分∠CAB交BC于D点，E,F分别是AD,AB上的动点，则BE+EF的最小值为一 E C B D 3.(22-23八上北京朝阳期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D,E为AB边上的两个动 点，且AD=BE,连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 4.(24-25八年级山东济宁汶上苑庄镇中学.月考)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4,连接BD, BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为一· A D 的 P C 5.(24-25八上福建厦门莲花中学期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，点4，C的坐标分别为 (-3,n-2),(0,n)(n为任意实数)，∠ACB=90°，AC=BC,则OB长的最小值为 题型2全等三角形相关动点定值问题（共5小题） 6.(24-25八上山东滨州阳信城区集团校·月考)定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形. D E B 图1 图2 (1)互补四边形ABCD中，若LB:∠C:LD=2:3:4,则∠A=_° 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)己知：如图1，在四边形ABCD中BD平分∠ABC,AD=CD,BC>BA.求证：四边形ABCD是互补四边 形； (3)如图2，互补四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD,CD=3,点E,F分别是边BC,CD的动点，且 ∠EAF=∠BAD,△CEF周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由， 7.(24-25八上山东济南商河期末)如图：ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点.由点 A向点C运动(P与点A、C不重合)，点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q 不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E,连接PO交AB于点D. (1)若设AP的长为x,则PC OC= (2)当∠BQD=30°时，求AP的长： (3)点P,Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果变化，请 说明理由， 8.(24-25八上湖南长沙雨花区金海中学第一次月考)如图，点A(a,0),B(0,b),且a、b满足 (a-1)2+|2b-2=0. B B D 0 图1 图2 图3 (1)如图1，求A0B的面积； (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且LCOD=45°，猜想线段 AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB,PB⊥PE且PB=PE,直线AE交y轴 于点Q,当P点在x轴上移动时，线段BQ长为定值，请求出该定值 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(24-25八上浙江台州名校发展共同体.期中)已知AD为等边ABC的角平分线，ABC的边长为6， 动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE,以BE为一边在BE的下方作等边△BEF,连接CF. M 图1 图2 (1)如图1，若点E在线段AD上， ①求证：△ABE≌△CBF; ②当DE=2AE,S,HBc=9V5时，则点F到BC的距离是-： (2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE,CF交于点M. ①求∠AMC的度数； ②若P,Q为直线CF上的两个动点，且PQ=8,连接BP,BQ,判断BPQ的面积是否为定值.若是，请 直接写出这个定值；若不是，请说明理由 10.(24-25八上湖北武汉东湖高新区期中)平面直角坐标系中，点A(α，0)，B(0,b)，△ABC为等腰直 角三角形，BA=BC,∠ABC=90°，AC交y轴负半轴于点D. B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，a、b满足关系式a+2b+(b-2)☐=0，直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点E是x轴正半轴上的动点，过点B作BF⊥BE交AC于点F,且BF=BE·求证：点D是 CF的中点； (3)在(2)的条件下，如图3，点F在线段AC上， S四的值是否为定值？若是，请计算出定值：若 △ABE 不是，请用含有a,b的代数式表示. 题型3动点探究线段数量关系（共5小题） 11.(22-23八上山西大同一中南校阶段性)等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为射线 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC上的一个动点（不与点B,C重合），连接AP,以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直 角三角形PAD,使AP=AD,连接CD, ① ② (1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：△BAP≌△CAD; (2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系， 12.(22-23八上山东德州齐河期末)己知点P是线段MN上一动点，分别以PM,PW为一边，在MN的 同侧作△APM,△BPN,并连接BM,AN. B B M 图1 图2 图3 (I)如图1，当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90时，试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关 系，并证明你的猜想； (IⅡ)如图2，当△APM,△BPN都是等边三角形时，(I)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由 (IⅢ)在(IⅡ)的条件下，连接AB得到图3，当PN=2PM时，求∠PAB度数 13.(23-24八上山东德州夏津金光中学期中)已知，ABC是等腰直角三角形，BC=AB,A点在x轴负 半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方， B A A A B B 图1 图2 图3 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1所示，若A的坐标是(-3,0)，点B的坐标是(0,1，求点C的坐标： (2)如图2，过点C作CDLy轴于D,请直接写出线段0A,OD,CD之间等量关系： (3)如图3，若x轴恰好平分LBAC,BC与x轴交于点E,过点C作CF⊥x轴于F,问CF与AE有怎样的数 量关系？并说明理由. 14.(22-23八上山东济宁金乡·期中)在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足 分别为B,C.且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上. M M B B D D 图1 图2 (1)如图1，若BED CFD,请说明DE=DF; (2)如图2，若LBDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF,BE,CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理 由. 15.(23-24八上山东德州夏津金光中学·期中)已知：ABC中，∠ACB=90°，AC=BC. 4 E C D B D 图1 图2 (1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证：AD=BF; (2)如图2，点D在线段BC上，连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,间BD 与CF有何数量关系，并加以证明； 题型4动点探究角的数量关系（共5小题） 16.(22-23八上山东滨州惠民期中)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与点B、 C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC连接CE,设∠BAC=a, ∠DCE=B. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D D 图1 图2 (1)当点D在线段BC上运动时， ①当a=40°时，则B是多少？ ②猜想与B之间的数量关系，并对你的结论进行证明； (2)如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与B之间的数量关系，并对你的结论给出证明. (3)根据以往学习经验，点D还可能在什么位置？请画出图形，直接写出与B之间的数量关系， 17.(24-25八上山东淄博张店区·期末)【初步探索】 (1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结 论应是 D ⊙ E 图1 图2 图3 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上，点F在 CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明 过程. 18.(24-25八上山东济宁邹城期末)如图，P为等边ABC的边BC延长线上的一动点，以AP为边向上 作等边△APD,连接CD. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABP≌△ACD: (2)当PC=AC时，求∠PDC的度数； (3)∠PDC与∠PAC有怎样的数量关系？随着点P位置的变化，∠PDC与∠PAC的数量关系是否会发生变 化？请说明理由. D B P 19.(21-22八上山西吕梁交城期中)综合与实践：初步探究： (1)如图1，直线m同侧有两定点D,E,点A,B,C是直线m上的三个动点.在运动过程中，当∠DAB =∠DBE=∠BCE=6O时，求∠D和∠E的数量关系. D D E E A C m A B C m 图1 图2 深入探究： (2)当点A,B,C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°，求此时∠D 和∠E的数量关系；若∠DAB=∠DBE=∠BCE=时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出 这两个问题的答案) 拓展应用： (3)在图2中，如果∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°仍然存在，再添加条件BD=EB,求证：AC=AD十CE. 20.(23-24八上·重庆綦江中学·月考)在△ABM中，AMLBM,垂足为M,AM=BM,点D是线段AM上 一动点. (1)如图1，点C是BM延长线上一点，MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的长； (2)如图2，在(1)的条件下，点E是△ABM外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF (3)如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE,AE=EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关 系.（不用证明） B M B M 图1 图2 图3 题型5动点存在性问题（共5小题） 21.(24-25八上山东泰安肥城龙山中学期中)如图，在ABC中，BC=7,高线AD,BE相交于点O.且 AE BE A E o B D C B D 备用图 (1)ZACB+ZAOB= 度； (2)求证： AEO≌BEC; (3)点F是直线AC上的一点.且CF=B0,动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向 终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P 到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O,P为顶 点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在.请说 明理由. 22.(24-25八上山东青岛三十九中学.期末)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点 P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： 9/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 o B P B (1)PC _cm,(用t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌△DCP? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vCm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由 23.(22-23八上广东广州七十五中学.期中)如图(1)，AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB, AC=BD=3cm,点P在线段AB上以Icms的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点 D运动.它们运动的时间为(s· D 图(1) 图(2) (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1=1时，△ACP与BPQ是否全等，请说明理由，并判断 此时线段PC和线段PQ的位置关系； (2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB"改为“∠CAB=∠DBA=60”,其他条件不变.设点Q 的运动速度为xcm /s,是否存在实数x,使得△ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不 存在，请说明理由， 24.(24-25八上山东滨州期中)己知，在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上， ∠BDA=∠AEC=∠BAC, D→A E m A E m E m 图① 图② 图③ (1)如图①，若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为-，BD,CE与DE的数量关系为-； (2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由： 10/13专题03 全等三角形综合提分练 （动点问题最值问题） 题型1 全等三角形相关最值问题（重点） 题型4 动点最值问题（难点） 题型2 全等三角形相关动点定值问题（难点） 题型5 动点存在性问题（常考点） 题型3 动点定值问题（难点） 题型6 动点求值（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 全等三角形相关最值问题（共5小题） 1．（22-23八上·山东济宁邹城六中·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】山东省济宁市邹城第六中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 2．（23-24八上·山东青岛市南区青大附中·期中）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点B到的垂线段长度． 【详解】解：在上取一点，使， ∵在中，，，， ∴ ，，， ， ， ， 则最小值时即垂直时，等于的长度， 此时， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23八上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题 【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果． 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点不共线时，； 当，，三点共线时，． 的最小值是的长， ，， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25八年级·山东济宁汶上苑庄镇中学·月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ． 【答案】4 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 5．（24-25八上·福建厦门莲花中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，（为任意实数），，，则长的最小值为 ． 【答案】2 【来源】福建省厦门莲花中学2024—2025学年上学期期中质量检测八年级数学试题 【分析】作轴于点，轴于点，则，先推导出，再证，则，作直线轴于点，则，可知点在直线上运动，由，得，则长的最小值为2，于是得到问题的答案． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点的横坐标为2， 作直线轴于点，则， 点在直线上运动， ， ， 长的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型2 全等三角形相关动点定值问题（共5小题） 6．（24-25八上·山东滨州阳信城区集团校·月考）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八上·山东济南商河·期末）如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则_________，____________． (2)当时，求的长； (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由见解析 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； （2）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作的平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．（24-25八上·湖南长沙雨花区金海中学·第一次月考）如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)2 【来源】湖南省长沙市雨花区金海中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图 且， ， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（24-25八上·浙江台州·名校发展共同体·期中）已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，则点F到的距离是 ； (2)如图2，若点E在的反向延长线上，且直线，交于点M． ①求的度数； ②若P，Q为直线上的两个动点，且，连接，，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②的面积是定值，定值为12．理由见解析 【来源】浙江省台州市初中名校发展共同体2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）①直接利用证明三角形全等即可； ②通过三角形的中线和线段之间的比例关系，得到，再通过三角形面积公式计算即可； （2）①同第一问的①先证出，再利用角度之间的关系进行计算即可； ②已知底边求面积，推出高的值即可，联系①中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）解：①证明：和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ②∵， ∴， ∴， ∵为等边的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点F到的距离是为， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ②过作于点， ∵为等边的角平分线， ∴，， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值， 【点睛】本题考查三角形全等的证明及性质和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． 10．（24-25八上·湖北武汉东湖高新区·期中）平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． (1)如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； (3)在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 【答案】(1)，，， (2)详见解析 (3)是定值， 【来源】湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识点， (1)由可知，，据此即可求出A，B两点的坐标，如图，过点C作轴交y轴于点M，证出，可得，，进而即可得解； （2）如图，过点F作轴交y轴于点N，先证，得出，再证，得出，进而即可得解； （3）设，分别用a，b，x表示出和，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，过点C作轴交y轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过点F作轴交y轴于点N， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点D是的中点； （3）是定值，，理由如下， 由（2）知，， ∴，，， 由（1）知， 设， ∴, ∴，， ∴． 题型3 动点探究线段数量关系（共5小题） 11．（22-23八上·山西大同一中南校·阶段性）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD． (1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：； (2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【来源】山西省大同市一中南校2022-2023学年八年级上学期阶段性综合素养测评（一）数学试题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用SAS即可进行证明； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，· ∴， ∴ 在△CAD与△BAP中， ∴． （2）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，· ∴， ∴ 在△CAD与△BAP中， ∴， ∴，∠PBA=∠DCA， ∵∠PBA+∠BCA=90°， ∴∠DCA+∠BCA=90°，即∠BCD=90°， ∴ 综上：； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 12．（22-23八上·山东德州齐河·期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 13．（23-24八上·山东德州夏津金光中学·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 14．（22-23八上·山东济宁金乡·期中）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 15．（23-24八上·山东德州夏津金光中学·期中）已知：中，，．    (1)如图1，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； 【答案】(1)详见解析； (2) ，证明详见解析． 【来源】山东省德州市夏津县金光中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形的全等 （1）利用三角形全等的判定性质证明． （2）利用三角形全等的判定性质证明． 【详解】（1）证明：如图中，     于， ， ， ， ， ， ． （2）结论： 理由：如图中，作 于．   ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ． 题型4 动点探究角的数量关系（共5小题） 16．（22-23八上·山东滨州惠民·期中）如图1，在中，，点是直线上一点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，连接．设，． (1)当点在线段上运动时， ①当时，则是多少？ ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明； (2)如图2，当点在线段的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． (3)根据以往学习经验，点还可能在什么位置？请画出图形，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② ，见解析 (2) ，见解析 (3)点可能在的延长线上，图见解析，此时 【来源】山东省滨州市惠民县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）①根据已知得出，证明得出，进而根据，即可求解； ②同①的方法进行证明即可； （2）根据已知得出，证明得出，进而得出，即可得出结论； （3）根据已知得出，证明得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①， 在与中， 又 四边形的内角和为 ． ∵， ∴． ② ． 理由如下： ， 在与中， 又 四边形的内角和为 ． （2）． 理由如下： ，， 在与中， ≌ ，， 即 ． （3）点可能在的延长线上，图形如下，此时． 理由如下： ，， 在与中， ≌ ，， 即 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（24-25八上·山东淄博张店区·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 18．（24-25八上·山东济宁邹城·期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（21-22八上·山西吕梁交城·期中）综合与实践：初步探究： （1）如图1，直线同侧有两定点D，E，点A，B，C是直线上的三个动点．在运动过程中，当∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°时，求∠D和∠E的数量关系． 深入探究： （2）当点A，B，C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此时∠D和∠E的数量关系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出这两个问题的答案） 拓展应用： （3）在图2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加条件BD＝EB，求证：AC＝AD＋CE． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析 【来源】山西省吕梁市交城县2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据平角和三角形内角和的性质可得，再根据三角形内角和的性质即可求解； （2）根据平角和三角形内角和的性质可得，再根据三角形内角和的性质即可求解； （3）通过证明，得到，，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）按照（1）中的方法，可得 ∵ ∴ 当时， ∴ 故答案为， （3）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 20．（23-24八上·重庆綦江中学·月考）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点． （1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长； （2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF． （3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）    【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2 【详解】解：（1）如图1，∵AM⊥BM，    ∴∠AMC＝∠BMD＝90°， ∵AM＝BM，MD＝MC， ∴△AMC≌△BMD（SAS）， ∴AC＝BD＝17． （2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，    ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， ∵∠BFG＝∠CFE， ∴△BFG≌△CFE（SAS）， ∴BG＝EC，∠G＝∠CEF， 又∵BD＝AC，EC＝AC， ∴BD＝EC， ∴BG＝BD， ∴∠G＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠CEF． （3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F， ∵AM⊥BM，AE⊥BE， ∴∠BEC＝∠AMC＝90°， ∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH， ∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，   ∴△BFM≌△AHM（AAS）， ∴FM＝HM， ∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM， ∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL）， ∵∠FEH＝90°， ∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°， ∵∠AEB＝∠GEC＝90°， ∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°， ∵AE＝EG，EM＝EM， ∴△AEM≌△GEM（SAS）， ∴∠AME＝∠GME， ∵∠BEM＝∠BAM＝45°， ∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1， ∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1， ∵∠3＝∠AMG+∠2， ∴∠3＝2∠1+∠2．    题型5 动点存在性问题（共5小题） 21．（24-25八上·山东泰安肥城龙山中学·期中）如图，在中，，高线，相交于点O．且． (1)________度； (2)求证：； (3)点F是直线上的一点．且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O，P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)180 (2)证明见解析 (3)t的值为或 【详解】（1）∵的高，相交于点O， ∴. ∵四边形的内角和， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵，是高， ∴. 由（1），得， ∵， ∴. ∵， ∴． （3）存在，t的值为或． 由题意，得，． ∵，． 当Q在边线段上时，如图，≌， ∴， 即， ； 当Q在边延长线上时，如图，≌， ∴， 即， ． ∴t的值为秒或秒时，以点B为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等． 22．（24-25八上·山东青岛三十九中学·期末）如图，在长方形中，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1) __________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【详解】（1）解：点P从点B出，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； 综上所述：当或2时与全等． 23．（22-23八上·广东广州七十五中学·期中）如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（），将图（）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析； (2)，或，． 【来源】广东省广州市第七十五中学2022—2023学年八年级上学期数学期中考试 【分析】（）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论：时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 24．（24-25八上·山东滨州·期中）已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，， (1)如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由： (3)如图③，若只保持点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∴． 综上所述，存在x，使得与全等，或． 25．（23-24八上·山东德州禹城·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【来源】山东省德州市禹城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 题型6 动点求值（共5小题） 26．（23-24八上·浙江台州椒江·书生中学·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】浙江省台州市椒江区书生中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质键． （1）根据同角的余角相等得到，根据证明，故可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证出，则可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）得到，，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴E点为的中点； （3）如图3，过点F作，交的延长线于H，    ∵，， ∴， 由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)3或7 【详解】（1）解：    在与中 故答案为： （2）成立． 理由如下： 因为， ． ．   在和中， ．   所以．    因为在中，， 所以． 所以，即． 所以． （3）当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，3或7． 【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 28．（21-22八上·辽宁大连甘井子区部分学校·10月月考）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点B是x轴负半轴上的一个动点，∠BAC=90°，AB=AC，A的坐标是(0，2)，B的坐标是(m，0)． （1）如图1所示，若点C在x轴上，则点m的值是________； （2）如图2，当点B在x轴上移动时，AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E． ①小明发现点C的横坐标始终不变，证明小明发现的结论； ②若点D是AC的中点时，请求出点E的坐标． 【答案】（1）-2；（2）①见解析；②点E的坐标为(0，-)． 【来源】辽宁省大连市甘井子区部分学校2021-2022学年八年级上学期10月月考数学试题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC，即可求解； （2）①过点C作CM⊥y轴，利用AAS证明ΔABO≅ΔCAM，推出AO=CM=2，即可证明点C的横坐标为2； ②过点C作CN⊥x轴，利用AAS证明ΔAOD≅ΔCND，求得点C(2，−2)，利用面积法求得AE=，即可求得点E的坐标． 【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AO⊥BC， ∴OA=OB=OC， ∵A的坐标是(0，2)，B的坐标是(m，0)， ∴OA=OB=OC=2， 又点B是x轴负半轴上， ∴m=-2， 故答案为：-2； （2）①过点C作CM⊥y轴，如图： ∵∠BAC=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在ΔABO和ΔCAM中，， ∴ΔABO≅ΔCAM(AAS)， ∴AO=CM=2， ∴点C的横坐标为2，始终不变； ②再过点C作CN⊥x轴于N， 在ΔAOD和ΔCND中，， ∴ΔAOD≅ΔCND(AAS)， ∴CN=AO=2， ∴点C(2，−2)， 由①得，AM=BO=4， ∴B(−4，0)， ∴AB=， ∴SΔABC=AB2=10， 又SΔABC=AE(BO+CM)=10， ∴AE=，OE=−2=， ∴点E的坐标为(0，-)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 29．（24-25八上·湖北十堰五校·10月月考）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【来源】湖北省十堰市五校联考2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系找到全等的条件，利用全等三角形的性质进行证明和计算． （1）通过角度互余关系找到相等角，结合已知的边和角，证明，从而得出对应边相等． （2）如图2，过点作，交的延长线于，证明，得到对应边相等，再证明，从而证明； （3）设，证明，利用线段比例关系求解面积比． 【详解】（1）（1）证明：∵， ， ， 又， ， ； （2）（2）证明：如图2，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （3）当点在线段上时，如图， ， 设， 由（1）得：， ， ， ， 又， ， ， ， （2）当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于， ， 设， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值为或． 30．（24-25八上·四川眉山东坡中学·期中）如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且，过点作直线于点． 观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，判断线段与之间的关系，并说明理由． 探究迁移： （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，试判断（1）中的结论是否还成立？此时吗？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，直接写出和的面积． 【答案】（1），，理由见解析；（2）线段与之间的关系不变，，理由见解析；（3）和的面积分别为20和120 【来源】四川省眉山市东坡区东坡中学2024-2025学年八年级上期期中数学质量监测 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用“割补法”求三角形面积是解答本题的关键． （1）通过证明，然后根据全等三角形的性质可得，再结合两条线段的位置关系进而得出结论； （2）先证明可得线段和的关系不变，再证明，同样可得出； （3）由（2）可知，和，可得，，，易得线段和的长度，进而求出；对于的面积，根据，可由“割补法”得到，即可求出答案． 【详解】（1）结论：，，理由如下， 根据题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故线段与之间的关系为：且； （2）结论：线段与之间的关系不变，，理由如下： 从图②可知，，， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，当点在线段的延长线上时， 同理可得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则根据图形面积割补法可得： ， ∴， ∴和的面积分别为20和120． $