专题08 期中真题百炼通关（30题6类压轴题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08+期中真题百炼通关(30题6类压轴题型) 题型归纳·内容导航 题型1全等三角形相关综合问题（难点） 题型4分式方程应用题方案问题（重点） 题型2全等三角形相关动点问题（难点） 题型6轴对称相关最值问题（难点） 题型3分式方程含参运算（常考点） 题型7等边三角形相关含辅助线证明题 题型通关·靶向提分 题型1全等三角形相关综合问题（共5小题） 1.(21-22八上山东青岛市北区期中)如图，点E在菱形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上， CE⊥AB,CD=CF,则下列结论正确的有()个. ①AE=BE;②AC·BD=AB·CE;③aBCE≌aCDF;④S△DF=S菱形ABCD D E A.4 B.3 C.2 D.1 2.(23-24八上山东烟台招远期中)如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接 AE与CD交于点H,AE与DB交于点G,BE与CD交于点F,下列结论：①AE=CD;②∠AHD=6O°； ③△AGB≌△DFB:④BH平分∠GBF;⑤GFIAC;⑥点H是线段DC的中点.正确的有() A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25八上山东泰安宁阳期中)如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧 分别作等边ABC和等边aCDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ、 OC,以下结论：①AD=BE;②△CPQ为等边三角形；③LA0E=120°；④CO平分∠AOE;正确的有() 个 B A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25八上山东济宁任城期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD,满足 AD=AC,E为BC上一点，连接AE,∠CAD=2LBAE,连接DE,以下结论中：①LADE=∠ACB;② ∠DEC=60°；③∠AEB=∠AED;④DE=CE+2BE.其中正确的有() D E A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①③④ 5.(23-24八下.山东滨州惠民·教学监测)如图，ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P, PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,下列结论：①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上： ③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中正确的有() M B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 题型2全等三角形相关动点问题（共5小题） 6.(24-25八上江苏常州二十四中天宁分校月考2)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm, AC=8cm,AB=I0cm,现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止， 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 速度为2cm/s,设运动时间为t秒. 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP= cm. (2)如图①，当1=_时，△APC的面积等于ABC面积的一半： (3)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,在ABC的边上，若另外有一个 动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某时刻， 恰好aAPQ≌aDEF,求点Q的运动速度， 7.(24-25八上山东济南钢城区新兴路学校期中)如图①，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s,设运动时间为s. 4 B B E 图① 图② (1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于ABC面积的一半； (2)如图②，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在ABC的边上，若另外有一个动 点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻， 恰好aAPQ≌aDEF，求点Q的运动速度. 1 8.21-2八上-山东济南山师大二附中期中如图1，直线4：c与直线么：y=-+b相交于点4(4,3引， 1 直线么：y=2+b与x轴交于点B,点E为线段AB上的动点，过点E作EF∥y轴交直线于点F,连接 BF. 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F A A B12 B 12 图1 图2 (1)求k、b的值； (2)如图2，若点F的坐标为8,6)，∠0FE的角平分线交x轴于点M. ①求线段OM的长； ②点N在直线I的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标. 9.(23-24八上山东济南历下区期中)如图1，直线4：y=:与直线：y=-2x+b相交于点A(4,3), 直线：y=x+b与x轴交于点B,点E为线段AB上一动点，过点E作EFy轴交直线1，于点F,连 接BF. F E B 0 M 图1 5 图2 (1)求k、b的值； (2)如图2，若点F坐标为(8,6)，∠OFE的角平分线交x轴于点M. ①求线段OM的长； ②点N在直线1，的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标. 10.(22-23八上山东菏泽单县期中)已知△4BC是等边三角形，点D是BC边上一动点(D不与B、C 重合)，连接AD,以AD为边作∠ADE=∠ADF,分别交AB,AC于点E,F. 4/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D D 图1 图2 (1)如图1，若点D是BC的中点，求证：AE=AF; (2)如图2，若∠ADE=∠ADF=60°，猜测AE与AF的数量关系？并证明你的结论 题型3分式方程含参运算（共5小题） 11.(24-25八下山东青岛崂山期末)已知关于x的分式方程X+,m=3的解为2，那么m的值 x+22+x 为」 12.(24-25八下山东枣庄峄城东方学校月考)当关于x的方程x+m+3m=4的解为增根时，m的值 x-33-x 为」 13.(22:23八上山东威海环翠区乡镇学校期中)关于x的方程2，十m，=3解为非正数，则m的取 x-2x2-4x+2 值范围是 14.(24-25八上山东东营区文华学校期中)若关于x的方程2x+m+- =3的解是非负数，则m的取值 x-2'2-x 范围为一。 15.(2223八上山东聊城临清期中)已知关于x的分式方程，1,0-=1无解，则a的值为 2x+3x-5 题型4分式方程应用题方案问题（共5小题） 16.(2025·山东东营中考)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶的 金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个， A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍 (1A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个， B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 17.(23-24八上·云南红河建水县期末)学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化"”为主题的诵读比赛，计 划选购甲、乙两种图书作为奖品，己知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 单独购买乙种图书要少10本. (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1020元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种 图书的数量，则共有几种购买方案？ 18.(24-25八上山东泰安宁阳期中)【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提 供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍. 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 泰材三：A种书深数量不少于B件书家数圣的子 【问题解决】 (1)问题一：求出A,B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买 方案； 19.(23-24八上山东邹城期末)某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投 标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期 多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工. (1)求规定的工期为多少天？ (2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费 用最少？ 20.(23-24八上山东聊城高唐一实验中学期中)某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投 标书.施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元.工程领导们根据甲、乙两队的投 标书测算，可有三种施工方案： 方案A:甲队单独完成这项工程刚好如期完成： 方案B:乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C:若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成. (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 题型5轴对称相关最值问题（共5小题） 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(24-25八上山东济南章丘区·期中)如图，在ABC纸片中，∠BAC=45°，BC=5,且S△4Bc=15,P 为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE,连 接DE,则ADE面积的最小值为 22.(24-25八上福建福州立志中学.期中)如图，ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=3, AD=AB,点E,F在线段AC上，以AE为边在ABC外作等边△AEG,点M是EG的中点，连接DM ,连接BF,在BF右侧作等边△BFN,连接CN,连接MN,则CN+MN+DM的最小值是 G D 23.(24-25八上山东烟台·期中)如图，∠A0B=30°，点C在OA上，且0C=2,P和Q分别是OB和OA 上的动点，则CP+PQ长度的最小值是 B 24.(24-25八上山东师大二附中开学测试)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AB 的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则 △BDM周长的最小值为一 B D 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(24-25八上山东滨州无棣期中)如图，Rt△ABC中，LACB=90°，AB=5,BC=3,点D是斜边上任 意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E,则线段DE长度的最小值是一 B 题型6等边三角形相送含铺助线证明题（共5小题） 26.(22-23八上山东济南历城区·期中)在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M,N,D为 ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M,N分别在直线AB,AC上移动时， BM,NC,MN之间的数量关系. N M B M D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，试问BM、NC、MN具有怎样的数量关系？请 写出这个等量关系，并加以证明. (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立，请写出 证明过程；若不成立，请说明理由. (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，BM、NC、MN具有怎样的数量关系？请证明. 27.(24-25八上山东莱州期中)已知ABC是等边三角形，点D是AB所在直线左侧的一动点，且在BC 边的上方. 8/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E G G C 图1 图2 备用图 (1)如图1，CD平分∠ACB,连接AD,BD,LDAC=90°.求证：DB⊥BC; (2)如图2，若∠BAD=∠BCD,点G是BC延长线上一点，连接DG交AC于点E. ①求∠BDC的度数； ②若点E为AC的中点，∠ABD=∠G,探究线段EG,DE,AD之间的数量关系， 28.(24-25八上山东威海文登·期中)己知：ABC是等边三角形，点D,E分别在边AB,BC上，CD, AE交于点F,BD=CE, 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠AFC的度数； (2)如图2，FG为∠AFC的角平分线，交AC于点G,求证：CE=CG; (3)如图3，延长FG至点H,使HG=CD,连接HA、HC,试判断△ACH的形状并说明理由. 29.21-22八上福建泉州五中.期中如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A,C 重合)，连接BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, 连接DE,CE E D B (1)求证：BD=CE (2)延长ED交BC于点F, ①求∠CED的度数； 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②求证：F为BC的中点 30.(21-22八上·浙江杭州江南实验学校期中)如图，在△4BC中. (1)如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD; ①猜想BE与CD的数量关系是一； ②若点M,N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数； (2)如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=Q,DC 、BE交于点P,连接AP,请直接写出∠APC与a的数量关系 0 E B 图① 图② 10/10专题08+期中真题百炼通关（30题6类压轴题型） 题型1 全等三角形相关综合问题（难点） 题型4 分式方程应用题方案问题（重点） 题型2 全等三角形相关动点问题（难点） 题型6 轴对称相关最值问题（难点） 题型3 分式方程含参运算（常考点） 题型7 等边三角形相关含辅助线证明题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 全等三角形相关综合问题（共5小题） 1．（21-22八上·山东青岛市北区·期中）如图，点在菱形的边上，点在边的延长线上，，，则下列结论正确的有（   ）个． ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，， 又， ， ， ，故④正确， ， ，故②错误 ， ，， 又， 与不全等，故③错误； 与不一定相等， 与不一定相等，故①错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些的性质是解题的关键． 2．（23-24八上·山东烟台招远·期中）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确； 在△AGB和△DFB中， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故⑤正确； ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误； 根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 3．（24-25八上·山东泰安宁阳·期中）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵和是正三角形， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ∴结论①正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ， ， 又，，， ， ，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵在的内部， ∴点在的平分线上， ∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确． 故选：D． 4．（24-25八上·山东济宁任城·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，以下结论中：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：如图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，显然，与题中所给条件不符，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 5．（23-24八下·山东滨州惠民·教学监测）如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：过P作于H， ∵两个外角的平分线与相交于点P，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④． 故选：B． 题型2 全等三角形相关动点问题（共5小题） 6．（24-25八上·江苏常州二十四中天宁分校·月考2）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：由题意可知，，，，， ①当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，恰好． 7．（24-25八上·山东济南钢城区新兴路学校·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 8．21-22八上·山东济南山师大二附中·期中如图1，直线：与直线：相交于点，直线：与轴交于点，点为线段上的动点，过点作轴交直线于点，连接． (1)求、的值； (2)如图2，若点的坐标为，的角平分线交轴于点． ①求线段的长； ②点在直线的上方，当和全等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)① ②或 【来源】山东省济南市山东师范大学第二附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）根据直线：与直线：相交于点，将点分别代入直线：与直线：，即可求出、的值各是多少； （2）①延长交轴于，作于，则，设，然后根据，可得，即可得线段的长； ②分两种情况：当时，当时，根据全等三角形的性质分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， 将点代入直线：得：，解得：， 将点代入直线：得：，解得：， ∴，； （2）解：①延长交轴于，作于点， ∵轴， ∴轴， ∵的角平分线交x轴于点M， ∴， 设， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 当时，连接交于点，作于， ∵， ∴， ∴，， 由①得，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，作于， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，以及角平分线的性质等知识．解题的关键是运用面积法求解及分类思想的运用． 9．（23-24八上·山东济南历下区·期中）如图1，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝﹣x＋b相交于点A（4，3），直线l2：y＝﹣x＋b与x轴交于点B，点E为线段AB上一动点，过点E作EF∥y轴交直线l1于点F，连接BF． （1）求k、b的值； （2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M． ①求线段OM的长； ②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标． 【答案】（1），；（2）①OM=5；②或 【详解】解：（1）∵直线l1：和直线l2：相交于点A ∴将代入中，得： 解得： ∴将代入中，得： 解得： ∴ （2）① 设直线AB与y轴交与点C，与FM交于点D,如下图： ∵， ∴直线l1的函数表达式为，直线l2的函数表达式为 ∵ ∴ 设直线AB与y轴交与点C，与FM交于点D 则 ∴ ∴ ∴∠OCA=∠OAC ∵轴 ∴∠OCA=∠FEA 又∵∠OAC=∠FAE ∴∠FAE=∠FEA ∴FA=FE 又∵FM是∠OFE的角平分线 ∴∠AFM=∠EFM 又∵FD=FD ∴△AFD≌△EFD ∴AD=ED ∴点D为AE的中点 ∵轴 ∴点F和点E的横坐标相同 将代入中，得 ∴ ∵， ∴ 设线段FM所在的直线函数表达式为 将代入中，得： 解得： ∴线段FM所在的直线函数表达式为 令，得 解得： ∴ ∴OM=5 ② 当全等时，有两种情况，情况一，如下图所示： ∵ ∴∠OFN=∠FOM，FN=OM,ON=FM ∴ ∵OM=5 ∴FN=5, ∴, ∴ 情况二，当△OMF和△ONF关于直线l1对称时，如下图所示： ∵ ∴ON=OM=5，∠NOF=∠MOF ∵OP=OP ∴△NOP≌△MOP ∴PN=PM ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴MN=2PM=6，OP= ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，满足题意点有两个，分别是：或 10．（22-23八上·山东菏泽单县·期中）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（D不与B、C重合），连接AD，以AD为边作∠ADE＝∠ADF，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图1，若点D是BC的中点，求证：AE＝AF； （2）如图2，若∠ADE＝∠ADF＝60°，猜测AE与AF的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）AE＝AF，证明见解析． 【详解】（1）是等边三角形，点D是BC的中点， ， 又，∠ADE＝∠ADF， （2），理由如下， 如图，在上截取， ∠ADE＝∠ADF， ，， 是等边三角形， 设 ,∠ADE＝∠ADF＝60°， , 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三线合一，等边对等角，三角形全等的性质与判定，第二问中添加辅助线是解题的关键． 题型3 分式方程含参运算（共5小题） 11．（24-25八下·山东青岛崂山·期末）已知关于x的分式方程的解为2，那么m的值为 ． 【答案】10 【来源】山东省青岛市崂山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查分式方程的解，先将代入分式方程中得到关于m的方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴，解得， 故的值为10， 故答案为：10． 12．（24-25八下·山东枣庄峄城东方学校·月考）当关于的方程的解为增根时，的值为 ． 【答案】 【来源】山东省枣庄市峄城区东方学校2024-2025学年八年级下学期5月数学月考卷 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解，解题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 【详解】解： ， ∵关于的方程的解为增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（22-23八上·山东威海环翠区乡镇学校·期中）关于x的方程解为非正数，则的取值范围是 ， 【答案】且 【详解】解方程 两边同乘最简公分母得： 展开并整理：，移项得 ∵解为非正数即， ∴解得． 分式方程分母不能为0，即且： 若，则则（但，不在上述范围，无需排除）； 若，则（，需排除，否则为增根）． 故答案为：且． 14．（24-25八上·山东东营区文华学校·期中）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 15．（22-23八上·山东聊城临清·期中）已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】5或 【详解】解： 当时，原分式方程无解，此时，； 当时，，代入上式得，； 当时，，代入上式无解； 综上a的值为5或， 故答案为：5或． 题型4 分式方程应用题方案问题（共5小题） 16．（2025·山东东营·中考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【来源】2025年山东省东营市中考数学试题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 17．（23-24八上·云南红河建水县·期末）学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【来源】云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 18．（24-25八上·山东泰安宁阳·期中）【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 【答案】(1)B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元 (2)，最少值为元，购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个 【来源】山东省泰安市宁阳县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，最少，最少值为元，然后作答即可． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足要求； ∴B种书架的单价为元，A种书架的单价为元； （2）解：购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意知，， 解得，； ，即， ∵， ∴当时，最少，最少值为元， ∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个． 19．（23-24八上·山东邹城·期末）某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． (1)求规定的工期为多少天？ (2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？ 【答案】(1)20天 (2)方案③施工费用最少 【来源】山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查分式方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为单位1，规定的工期为x天，根据题意列出方程求解即可； （2）先求得方案①③所需费用，再比较可得结论． 【详解】（1）解：设这项工程为单位1，规定的工期为x天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：规定的工期为20天； （2）解：由题意和（1）知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，故①③方案能够保证工程如期完工， 方案①所需施工费用为（万元）， 方案③所需施工费用为（万元）， ∵， ∴方案③的施工费用最少． 20．（23-24八上·山东聊城高唐一实验中学·期中）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】(1)20天 (2)方案C 【详解】（1）解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案C，可列方程得1， 解得， 经检验：是所列方程的根， 答：规定的工期是20天． （2）解：由（1）知：即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天， ∴A方案的工程款为（万元）； B方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了工期，因此不能选； C方案的工程款为（万元）； ∵ ∴在不耽误工期的前提下，方案C最节省工程款． 题型5 轴对称相关最值问题（共5小题） 21．（24-25八上·山东济南章丘区·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且， ∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故答案为：18． 22．（24-25八上·福建福州立志中学·期中）如图，中，，，，，点，在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【来源】福建省福州市鼓楼区福州立志中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,以为边向外作等边三角形,作直线，证明，推出，推出点N在直线上运动，作点C关于的对称点，连接交于点,求出可得结论． 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,   , , , , , 是等边三角形，, 平分, , , , ， 如上图，作交x轴于点H， ， ， ， 由勾股定理得，， , 如上图，以为边向外作等边三角形,作直线, 是等边三角形， ,, , , , , 点在直线上运动，作点关于的对称点,连接交于点, ， , , , 垂直平分线段, ,， ,， , , , 的最小值为， 故答案为：． 23．（24-25八上·山东烟台·期中）如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴当点D、P、Q三点共线时，取最小值，又点P，Q均为动点，∴当时，取最小值，最小值为的长，∵为等边三角形， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 24．（24-25八上·山东师大二附中·开学测试）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【来源】山东师范大学第二附属中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长，即当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，， ∵等腰三角形的底边长为4，点D为底边的中点， ∴，， ∵等腰三角形的面积是14， ∴，即， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交，于点E、F， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，为， 即的周长的最小值为， 故答案为：． 25．（24-25八上·山东滨州无棣·期中）如图，中，，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转得到点E，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质得，CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD=CE=DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC=AC•BC=AB•CD， 即AC•BC=AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， 由勾股定理得，AC=4， ∴3×4=5CD， ∴CD=， ∴线段DE长度的最小值是 ． 故答案为： ． 题型6 等边三角形相关含辅助线证明题（共5小题） 26．（22-23八上·山东济南历城区·期中）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25八上·山东莱州·期中）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八上·山东威海文登·期中）已知：是等边三角形，点，分别在边，上，，交于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，为的角平分线，交于点，求证：； (3)如图3，延长至点，使，连接、，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等边三角形，见解析 【详解】（1）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：将绕点A逆时针旋转到， ∴等边三角形， ∴，， ∵，为的角平分线， ∴，， ∴． ∴． ∴． 过点Q作于点O，，交的延长线于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q一定在的角平分线上， ∴点Q一定射线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． ∴． （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 根据（2）证明，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 29．21-22八上·福建泉州五中·期中如图，为等边三角形，点是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点作直线BP的垂线段，垂足为点，将线段AD绕点逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE (1)求证：BD＝CE (2)延长ED交BC于点， ①求∠CED的度数； ②求证：F为BC的中点 【答案】(1)见详解 (2)①∠DEC=30°；②见详解 【来源】福建省泉州市泉州第五中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题 【详解】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， 在等边△ABC和等边△ADE中， ∵ AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE； （2）解：①∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵△BAD≌△CAE ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED =90°-60°=30°， ②如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G， ∴∠G=∠BDF， 由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA， ∵AD⊥BP， ∴∠BDA=90°， ∴∠CEA=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠BDG=180°-∠ADB-∠ADE=30°， ∴∠CED=∠G=∠BDG=30°， ∴CE=CG， ∴BD=CG， 在△BDF和△CGF中， ， ∴△BDF≌△CGF（AAS）， ∴BF=FC ， 即F为BC的中点． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 30．（21-22八上·浙江杭州江南实验学校·期中）如图，在△ABC中． （1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD； ①猜想BE与CD的数量关系是 　 　； ②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数； （2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系 【答案】（1）①BE＝CD；②60°；（2）∠APC＝ 【详解】 解：（1）①BE＝CD，理由如下： ∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE， ∴∠CAE＋∠BAC＝∠BAD＋∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， ∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD， 故答案为：BE＝CD； ②连接AN，如图①所示： 由①得：△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∵点M，N分别是BE和CD的中点， ∴BM＝DN， 又∵AD＝AB， ∴△ADN≌△ABM（SAS）， ∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM， ∴∠BAM＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN， 即∠MAN＝∠BAD＝60°， ∴△AMN为等边三角形， ∴∠AMN＝60°； （2）∠APC＝90°＋ α ，理由如下： 过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示： 同②得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS）， ∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN， ∵AM⊥CD，AN⊥BE， ∴PA平分∠DPE， ∴∠APE＝ ∠DPE， 又∵∠EPC＋∠ACD＝∠CAE＋∠AEB， ∴∠EPC＝∠CAE＝α， ∴∠DPE＝180°﹣α， ∴∠APE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α， ∴∠APC＝∠APE＋∠EPC＝90°﹣ α＋α＝90°＋ α． $