专题02 全等三角形基础拿分练（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题02 全等三角形基础拿分练 题型1 利用全等三角形性质求角（常考点） 题型8 折叠问题（难点） 题型2 利用全等三角形性质求边长（常考点） 题型9 动点问题（难点） 题型3 找出图中全等三角形 题型10 综合问题（易错点） 题型4 网格中的全等三角形 题型11 最值问题（难点） 题型5 添加条件证明全等 题型12 基础证明题（常考点） 题型6 利用全等三角形性质求面积（常考点） 题型13 灵活选用方法证明全等 题型7 尺规作图 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用全等三角形性质求角（共5小题） 1．（22-23八上·福建连江文笔中学·期中）如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八上·山东滨州无棣·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八上·山东临沂罗庄区·期中）如图，，过点C作，垂足为D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于(   )    A． B． C． D． 5．（23-24八上·安徽合肥庐江·期中）如图，已知，，，则的大小是（    ）    A．20° B．30° C．40° D．50° 题型2 利用全等三角形性质求边长（共5小题） 6．（22-23八上·湖北荆州·质量评价）如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC=8，BF=13，则BE的长为（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 7．（23-24八上·山西晋中祁县&灵石县·月考）如图，点A，D，B，F在一条直线上，△ABC≌△FDE．若AF＝10，AD＝3.5，则BD的长为（    ） A．3 B．3.5 C．6 D．7 8．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 9．（24-25八上·江苏邳州·期中）如图，，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 10．（24-25八上·广西南宁横州市百合镇三初·期中）如图，，若，，则的长为（    ） A．6` B．5 C．4 D．3 题型3 找出图中全等三角形（共3小题） 11．（24-25八上·山东滨州·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于点O，过点O作直线m交线段于点E，交线段于点F．则图中共有几对全等三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（23-24八上·河南周口鹿邑·教学评价一）如图，于点D，，E在AD上，则图中全等的三角形共有几对（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 13．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD，并延长相交AC，AB于点F，E，则此图形中有几对全等三角形（  ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 题型4 网格中的全等三角形（共5小题） 14．（24-25八上·山东聊城冠县·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都相等，网格中的点均是网格线的交点，若，则点是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 15．（24-25八上·山东邹城十中·月考）（如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 16．（24-25八上·山东枣庄薛城·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．（23-24八上·江苏镇江丹阳八中·期中）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．24-25八上·湖北孝感孝南区·期中如图，网格中有△ABC及线段DE，在网格上找一点F（必段在格点上），使△DEF与△ABC全等，这样的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 添加条件证明全等（共5小题） 19．（22-23八上·福建福州十八中·开学考）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（22-23八上·山东东营利津·期中）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八上·山东济宁微山·期末）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八上·山东青岛三十九中学·期末）如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八上·山东菏泽单县·期中）如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 题型6 利用全等三角形性质求面积（共5小题） 24．（24-25八上·江苏苏州工业园区星澄中学·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 25．（24-25八上·湖北武汉洪山区·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 26．（23-24八上·四川成都新津中学·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 27．（23-24八上·广东佛山禅城·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 28．（24-25八上·贵州黔南平塘·期末）如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（    ） A． B． C． D． 题型7 尺规作图（共5小题） 29．（24-25八上·广东阳江阳东·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八上·山东泰安肥城龙山中学·期中）如图所示的是已知，求作的作图痕迹，则下列说法正确的是（） A．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 B．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 C．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 D．以上三种说法都正确 31．（24-25八上·山东济宁邹城·期末）如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 32．（22-23八上·山东滨州惠民·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 33．（24-25八上·山东淄博张店区·期末）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①作射线，则． ②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F．    则正确的作图顺序是（　　） A． B． C． D． 题型8 折叠问题（共3小题） 34．（22-23八上·山东济宁金乡·期中）如图，三角形纸片ABC，AB＝12cm，BC＝8cm，AC＝7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）cm． A．10 B．11 C．13 D．15 35．（23-24八上·云南曲靖师宗葵山中学·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）    A． B． C． D． 36．（24-25八上·湖北恩施英才学校·期中）如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为(    ) A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC 题型9 动点问题（共5小题） 37．（22-23八上·江苏无锡前洲中学·10月月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 38．（23-24八上·山东德州夏津金光中学·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 39．（22-23八上·山东聊城临清·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过（　　）秒时，与全等．（注：点E与A不重合） A．4 B．4、12 C．4、8、12 D．4、12、16 40．（22-23八上·山东德州齐河·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 41．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 题型10 综合问题（共5小题） 42．（24-25八上·山东济南商河·期末）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 43．（24-25八上·四川眉山东坡中学·期中）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 44．（24-25八上·山东滨州阳信城区集团校·月考）如图，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 45．（23-24八上·山东青岛市南区青大附中·期中）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级·山东济宁汶上苑庄镇中学·月考）如图，是的中线，E、F分别在和延长线上，且，连接，下列结论：①②和周长相等③④，其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 最值问题（共5小题） 47．（22-23八上·山东济宁邹城六中·期中）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 48．23-24八上·山东济南钢城区·期末如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 49．（24-25八上·山东济宁兖州·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 50．（23-24八上·重庆开州区德阳初中教育集团·月考一）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 51．（24-25八上·山西晋中祁县·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 题型12 基础证明题（共5小题） 52．（24-25八上·山东济南历城万象新天学校·月考）如图，，，于点E，于点F．求证：． 53．如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 54．（22-23八上·山东临沂罗庄盛庄二中·月考）如图，于点D，于，交于，,求证： 55．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 56．（23-24八上·广东东莞海逸外国语·期中）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 题型13 灵活选用方法证明全等（共3小题） 57．（23-24八上·山东青岛市北区·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 58．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 59．（23-24·山东济宁微山·期中）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE． （1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 　 　； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明 已知：　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． $专题02 全等三角形基础拿分练 题型1 利用全等三角形性质求角（常考点） 题型8 折叠问题（难点） 题型2 利用全等三角形性质求边长（常考点） 题型9 动点问题（难点） 题型3 找出图中全等三角形 题型10 综合问题（易错点） 题型4 网格中的全等三角形 题型11 最值问题（难点） 题型5 添加条件证明全等 题型12 基础证明题（常考点） 题型6 利用全等三角形性质求面积（常考点） 题型13 灵活选用方法证明全等 题型7 尺规作图 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用全等三角形性质求角（共5小题） 1．（22-23八上·福建连江文笔中学·期中）如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴对边为， ∴， 故选：． 2．（24-25八上·山东滨州无棣·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省滨州市无棣县2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试题（A） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，由此即可求解．根据全等三角形的性质，确定对应边，对应角即可求解． 【详解】解：已知图中的两个三角形全等， 是三角形边的夹角， ∴， 故选：D． 3．（24-25八上·山东临沂罗庄区·期中）如图，，过点C作，垂足为D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 4．（23-24八上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省东莞市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   和全等，，， ，，， ， 故选：B． 5．（23-24八上·安徽合肥庐江·期中）如图，已知，，，则的大小是（    ）    A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 故选：B 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；由全等三角形得角相等是解题的关键． 题型2 利用全等三角形性质求边长（共5小题） 6．（22-23八上·湖北荆州·质量评价）如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC=8，BF=13，则BE的长为（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【答案】B 【来源】湖北省荆州市部分县市2022-2023学年八年级上学期9月质量评价数学试题 【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF，BC=8，BF=13， ∴EF=BC=8， ∴BE=BF-EF=13-8=5， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 7．（23-24八上·山西晋中祁县&灵石县·月考）如图，点A，D，B，F在一条直线上，△ABC≌△FDE．若AF＝10，AD＝3.5，则BD的长为（    ） A．3 B．3.5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：∵△ABC≌△FDE， ∴AB＝DF， ∴AB﹣BD＝DF﹣BD， 即AD＝BF， ∵AD＝3.5， ∴BF＝3.5， ∵AF＝10， ∴BD＝AF﹣AD﹣BF＝10﹣3.5﹣3.5＝3， 故选：A． 8．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 【答案】A 【来源】山东省菏泽市成武县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则． 故选：A． 9．（24-25八上·江苏邳州·期中）如图，，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【来源】江苏省徐州市邳州市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 10．（24-25八上·广西南宁横州市百合镇三初·期中）如图，，若，，则的长为（    ） A．6` B．5 C．4 D．3 【答案】C 【来源】 广西南宁市横州市百合镇第三初级中学2024-2025学年上学期数学八年级期中试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 题型3 找出图中全等三角形（共3小题） 11．（24-25八上·山东滨州·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于点O，过点O作直线m交线段于点E，交线段于点F．则图中共有几对全等三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，，，， ， 在和中， ， ， 同理可得， 在和中， ， ， 同理可得，，， 共有6对全等三角形， 故选：C． 12．（23-24八上·河南周口鹿邑·教学评价一）如图，于点D，，E在AD上，则图中全等的三角形共有几对（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【详解】解：， 又， ， 又． 故图中全等的三角形共有3对． 故选B． 13．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD，并延长相交AC，AB于点F，E，则此图形中有几对全等三角形（  ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【详解】解：∵AB＝AC，AD＝AD，∠1＝∠2； ∴△ABD≌△ACD； ∴∠B＝∠C； 又∵∠BAF＝∠CAE，AB＝AC， ∴△ACE≌△ABF；② ∴BE＝CF； 又∵∠BDE＝∠CDF ∴△BDE≌△CDF；③ ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AE＝AF， ∴△ADE≌△ADF．④ 因此共有4对全等三角形． 故选B． 题型4 网格中的全等三角形（共5小题） 14．（24-25八上·山东聊城冠县·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都相等，网格中的点均是网格线的交点，若，则点是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】∵ ∴ 因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上， 故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上． 所以点Q是图中点D的位置．如下图． 故选A． 15．（24-25八上·山东邹城十中·月考）（如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 16．（24-25八上·山东枣庄薛城·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：如图所示： 在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个， 故选：B． 17．（23-24八上·江苏镇江丹阳八中·期中）在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【来源】江苏省镇江市丹阳市第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．    18．24-25八上·湖北孝感孝南区·期中如图，网格中有△ABC及线段DE，在网格上找一点F（必段在格点上），使△DEF与△ABC全等，这样的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图所示：这样的点有4个; 故选D 【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS． 题型5 添加条件证明全等（共5小题） 19．（22-23八上·福建福州十八中·开学考）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】福建省福州第十八中学2022-2023学年八年级上学期开学考数学试卷 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即， 又， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 20．（22-23八上·山东东营利津·期中）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故A选项不符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故B选项不符合题意； 若添加这个条件， ∵、分别是、的对边， 不能判定，故C选项符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故D选项不符合题意． 故选：C． 21．（24-25八上·山东济宁微山·期末）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由能判定，本选项不符合题意； B、和分别是、的对角，不能判定，本选项符合题意； C、由能判定，本选项不符合题意； D、由能判定，本选项不符合题意； 故选B． 22．（24-25八上·山东青岛三十九中学·期末）如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， ∴添加时，无法证明，故选项A符合题意； 添加时，可得，故选项B不符合题意； 添加时，可得，故选项C不符合题意； 添加时，可得，故选项D不符合题意， 故选：A． 23．（24-25八上·山东菏泽单县·期中）如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、补充，不能证明，故本选项不符合题意； B、补充，不能证明，故本选项不符合题意； C、补充，则，可利用边角边证明，故本选项符合题意； D、补充，不能证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型6 利用全等三角形性质求面积（共5小题） 24．（24-25八上·江苏苏州工业园区星澄中学·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 25．（24-25八上·湖北武汉洪山区·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 26．（23-24八上·四川成都新津中学·期中）如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 27．（23-24八上·广东佛山禅城·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 28．（24-25八上·贵州黔南平塘·期末）如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长AP交BC于点E，如图所示： ∵AP垂直∠ACB的平分线CP于P， ∴∠ACP＝∠ECP，∠APC＝∠EPC＝90°， 在△ACP和△ECP中， ∴△ACP≌△ECP（ASA）， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APB和△BPE等底同高， ∴S△APB＝S△PBE， ∴S△BPC＝S△PBE＋S△PCE＝（S△ABE +S△ACE）＝S△ABC＝， 故答案选：B． 题型7 尺规作图（共5小题） 29．（24-25八上·广东阳江阳东·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 30．（24-25八上·山东泰安肥城龙山中学·期中）如图所示的是已知，求作的作图痕迹，则下列说法正确的是（） A．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 B．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 C．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取 D．以上三种说法都正确 【答案】A 【详解】∵已知，求作的作图痕迹， ∴边的长度对角的大小无影响，得出CD弧的半径长度可以任意选取． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题关键． 31．（24-25八上·山东济宁邹城·期末）如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧； 故选D． 32．（22-23八上·山东滨州惠民·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是， 故选：A． 33．（24-25八上·山东淄博张店区·期末）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①作射线，则． ②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F．    则正确的作图顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点． ①作射线，则． 故选：C． 题型8 折叠问题（共3小题） 34．（22-23八上·山东济宁金乡·期中）如图，三角形纸片ABC，AB＝12cm，BC＝8cm，AC＝7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）cm． A．10 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【详解】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形， ∴CD＝DE，BC＝BE＝8cm， ∵AB＝12cm， ∴AE＝AB﹣BE＝4cm， ∵△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+DC+AE， ∴△AED的周长＝AC+AE＝7+4＝11cm， 故选：B． 35．（23-24八上·云南曲靖师宗葵山中学·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠得，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， 故选：． 36．（24-25八上·湖北恩施英才学校·期中）如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为(    ) A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC 【答案】D 【详解】解：∵△ABC≌△DBC， ∴∠ABC的对应角为∠DBC. 故选D. 【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，对应边相等，牢记概念是解题关键. 题型9 动点问题（共5小题） 37．（22-23八上·江苏无锡前洲中学·10月月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 38．（23-24八上·山东德州夏津金光中学·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 39．（22-23八上·山东聊城临清·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过（　　）秒时，与全等．（注：点E与A不重合） A．4 B．4、12 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【来源】山东省聊城市临清市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可． 【详解】解：设点E经过t秒时，与全等；此时, 分情况讨论： （1）当点E在点B的左侧时，，则， ∴， ∴； （2）当点E在点B的右侧时， ①，时，， ∴； ②，时，， ∴． 综上所述，点E经过4、12、16秒时，与全等． 故选：D． 40．（22-23八上·山东德州齐河·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 【答案】D 【详解】解：当点M在AB上时，显然A、B、M构不成三角形，故不符合题意； 当点M运动到BC上时，连接AM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=DC=4，∠B=∠C=90°，结合题意，可知≌ ∴BM=CE=3 ∴点M运动的路程为AB＋BM=7 ∴此时t=7÷2=； 当点M运动到CD上时，连接AM、BM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=DC=4， 由图易知AM和BM均大于CE， ∴此时不存在和全等； 当点M运动到DA上时，连接BM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AD=BC=AB=CD=4，∠A=∠C=90°，结合题意，可知≌ ∴AM=CE=3 ∴点M运动的路程为AB＋BC＋CD＋AD－AM=13 ∴此时t=13÷2=； 综上：t的值为或 故选D． 41．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 【答案】B 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AC＝BC，∠DAC＝30°， ∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF， ∴△AEC≌△CFH， ∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH， ∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°， ∴∠AFB＝105°， 故选B． 题型10 综合问题（共5小题） 42．（24-25八上·山东济南商河·期末）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 43．（24-25八上·四川眉山东坡中学·期中）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】四川省眉山市东坡区东坡中学2024-2025学年八年级上期期中数学质量监测 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键． 【详解】解：∵为中线， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴，故②正确； ∵，（已证）， ∴， ∵点A不一定是中点， ∴不一定相等，故③错误； ∵，，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C． 44．（24-25八上·山东滨州阳信城区集团校·月考）如图，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【来源】山东省滨州市阳信县城区集团校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．由证明，得出，得出①②正确；由证明，得出对应边相等③正确；由证明，得出④正确，进而可得结论． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∴，， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论个数有4个． 故选C． 45．（23-24八上·山东青岛市南区青大附中·期中）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 46．（24-25八年级·山东济宁汶上苑庄镇中学·月考）如图，是的中线，E、F分别在和延长线上，且，连接，下列结论：①②和周长相等③④，其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：是的中线， ， 又，， ，故①正确； 不一定等于， 不一定等于， 和周长不一定相等，故②错误； 现有条件不能得出，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有2个， 故选B． 题型11 最值问题（共5小题） 47．（22-23八上·山东济宁邹城六中·期中）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 48．23-24八上·山东济南钢城区·期末如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 49．（24-25八上·山东济宁兖州·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 50．（23-24八上·重庆开州区德阳初中教育集团·月考一）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【来源】重庆市开州区德阳初中教育集团2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 51．（24-25八上·山西晋中祁县·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 题型12 基础证明题（共5小题） 52．（24-25八上·山东济南历城万象新天学校·月考）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【来源】山东省济南市历城区万象新天学校2024-2025学年八年级下学期3月月考试题 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的判定，关键是利用证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明，则，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴ ∴， ∴． 53．如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明： ， ， ， 又，， ． 54．（22-23八上·山东临沂罗庄盛庄二中·月考）如图，于点D，于，交于，,求证： 【答案】见解析 【详解】证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 55．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 56．（23-24八上·广东东莞海逸外国语·期中）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【来源】 广东省东莞市海逸外国语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 题型13 灵活选用方法证明全等（共3小题） 57．（23-24八上·山东青岛市北区·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 58．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 59．（23-24·山东济宁微山·期中）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE． （1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 　 　； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明 已知：　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． 【答案】（1）2；（2）见解析 【详解】解：（1）若①②③为条件，④为结论， 则可利用SAS证明△ACB≌△DCE，可得④； 若①②④为条件，③为结论， 则可利用SSS证明△ACB≌△DCE，可得③； 若①③④为条件，②为结论， 无法证明△ACB≌△DCE，则不可得②； 若②③④为条件，①为结论， 无法证明△ACB≌△DCE，则不可得①； ∴真命题的个数是2； （2）若选①②③为条件，④为结论， 已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB． 求证：AB＝DE． 证明：∵∠DCA＝∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． $