精品解析：江苏省苏州市金鸡湖学校2025-2026学年九年级上学期9月检测数学试卷

金鸡湖学校九年级数学试卷（第3周） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 如图，斜边的两端恰好在抛物线上，点C在y轴上，且．若A，B两点的横坐标分别为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 二次函数的最大值是__________． 10. 已知关于的方程是一元二次方程，则______． 11. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是_________． 12. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 13. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为____米． 15. 抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 三、解答题（本题共10题，共82分） 17. 解方程． （1） （2） （3） （4） 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 20. 已知二次函数，完成下列各题： （1）将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． （2）求出它的图象与x轴的交点坐标． （3）在直角坐标系中，画出它的图象． （4）当x为何值时，函数y随着x的增大而增大？ 21. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积； （2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积是的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 24. 学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 25. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 26. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． （3）若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金鸡湖学校九年级数学试卷（第3周） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是一次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点C作CA⊥y轴于点A， 根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积． ∵， ∴顶点坐标为C（2，－2）． ∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B． 8. 如图，斜边的两端恰好在抛物线上，点C在y轴上，且．若A，B两点的横坐标分别为，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 依据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，于是可得，，再根据，得出得出c，，然后根据列出、的关系式即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 在中， ，， ∴， ， ， ，， 点、的横坐标分别为、，且， ，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 二次函数的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式： 二次函数开口向下， 顶点处取最大值， 即当时，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点． 10. 已知关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 11. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由二次函数的性质得，即可求解． 【详解】解：二次函数，当时，随增大而增大， ， ． 故答案为：． 12. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义得到，代入变形后的式子，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 13. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的开口向上，有最小值，对称轴是直线，可知时的函数值与时的函数值相等，根据当时，y随x的增大而增大，可以判断、、的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，有最小值，对称轴是直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵的对称点为，且， ∴． ∵是顶点， ∴最小． ∴． 故答案为：． 14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为____米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 15. 抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位.根据平移的规律写出平移后的表达式即可． 【详解】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位． 因此抛物线平移后的表达式为， 即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移规律：左加右减，上加下减掌握平移的规律是解题的关键． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】≤a≤3 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，3）时，a＝3， 当抛物线经过（3，1）时，a＝， 观察图象可知≤a≤3， 故答案为：≤a≤3． 【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键． 三、解答题（本题共10题，共82分） 17. 解方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3）无实数根 （4），； 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括配方法，因式分解法以及判别式法． （1）对于方程，可使用配方法求解，通过配方将方程转化为完全平方式，再开方求解； （2）对于方程，可利用因式分解法求解，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式，再求解； （3）对于方程，可使用判别式法，通过计算判别式的值，判断方程根的情况； （4）对于方程，可利用因式分解法求解，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式，再求解． 【小问1详解】 解： 或 ，． 【小问2详解】 解： 或 ，． 【小问3详解】 解： ，，， ∴， ∴方程无实数根． 【小问4详解】 解： 或 即，． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 【答案】（1） 解：关于x的方程为， ， 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2），此时方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于即可； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 关于x的方程有一个实数根是， ， 解得：， 原方程为， ， 解得：，， 此时方程的另一个根为． 20. 已知二次函数，完成下列各题： （1）将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． （2）求出它的图象与x轴的交点坐标． （3）在直角坐标系中，画出它的图象． （4）当x为何值时，函数y随着x的增大而增大？ 【答案】（1），顶点坐标为，对称轴为直线； （2）图象与轴的交点坐标为， （3） 函数图象如图所示： （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答． 【小问1详解】 解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大． 21. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积； （2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积是的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）18； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数性质及抛物线与轴的交点，利用抛物线解析式求得、、、的坐标是解题的关键． （1）由解析式可分别求得、、、的坐标，利用可求得答案； （2）由条件可先求得点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【小问1详解】 令，可得，解得或， 点，， 令，得， 点， ， 点， ； 【小问2详解】 的面积是的面积的2倍，且两个三角形底边相同， ， ， ， 在中，令，整理可得，解得或， 点坐标为，或，． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），， （2）当时，矩形实验田的面积S能达到， （3）当时，S有最大值 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：当时，， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； 【小问3详解】 解：将函数解析式化为顶点式可得： ， 当时，S有最大值． 23. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 24. 学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 25. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 【答案】（1）是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）首先求出方程的根，再根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 ， ， 解得， 是的2倍， 一元二次方程是倍根方程． 【小问2详解】 ， 解得， 是“倍根方程”， 或， 或． 【小问3详解】 设与是方程的解， ，， 即，， ， 整理得． 26. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． （3）若该二次函数的图象经过上下平移后与坐标轴有两个公共点，请直接写出平移后的函数表达式． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b、c； （2）由（1）可得：，设，作，交于E，则，则，得出面积，即可解答； （3）平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，则，即可求解；此外当抛物线过原点时，也符合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，； 当时，， ∴，， 把，代入得 ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得函数表达式为， 设，作，交于E． 则， ∴， 则， ∴当时，的面积的最大值为8； 【小问3详解】 解：设抛物线平移的距离为t， 则平移后的抛物线表达式为：， ∵平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点， ∴与轴有一个交点，与轴只有一个交点，或者抛物线过原点且与轴有两个交点， 当与轴只有一个交点时，， 解得：， 则平移后的抛物线表达式为：， 当抛物线过原点时，，即， 此时抛物线的表达式为：， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $