精品解析：山东省德州市庆云县第一中学协作体2025-2026学年高三上学期校际联考（一）（9月）数学试题

2023级校际联考（一）数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 角的始边为x轴非负半轴，复数z满足，且复数z对应的点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 6. 将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 8. 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. ，可能垂直 B. ，可能共线 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若，则 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C. 若在上有3个极值点，则m取值范围是 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 11. 在中，角所对的边分别为，且，，为角的平分线交于，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 13. 已知，则______． 14. 已知向量满足，且与的夹角为，设，记数列的前n项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在边长为1的菱形中，，，设，． （1）用，，表示，并求； （2）若，，求实数的值． 16. 已知数列中，，记． （1）求证：数列是等差数列，并求出； （2）设，求． 17. 已知函数． （1）若的最小正周期为． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，且，求的值； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级校际联考（一）数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数定义域得出集合A，化简集合，再根据交集定义计算求解. 【详解】函数的定义域为， 所以集合， ， 则. 故选：D. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】，求导得：， 所以曲线在处的切线的斜率， 故选：A. 3. 角的始边为x轴非负半轴，复数z满足，且复数z对应的点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及几何意义求出对应点的坐标，再根据正弦函数定义计算即可. 【详解】依题意由可得， 因此复数z对应的点的坐标为，即点在角的终边上， 所以可知. 故选：D 4. 下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，以及复合函数的性质，判断选项. 【详解】A.是偶函数，在区间上有增区间也有减区间，故A错误； B. 函数不是偶函数，在区间上单调递增，故B错误； C.函数定义域为，满足，所以函数是偶函数，，，所以函数在区间上不是减函数，故C错误； D.函数是偶函数，外层函数是增函数，内层函数在区间是减函数，所以函数在区间上是减函数，故D正确. 故选：D 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，通过数列为等差数列，可列出关于首项和公差的等式求解，再将结果代入求解即可. 【详解】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），， 因为，，所以， 解得， 所以，最大时，， 但由于为正整数，所以当或，最大. 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平移法则得新函数解析式为，根据对称中心列方程得，由即可求解. 【详解】函数的图象平移后得到，其图象关于点对称， 那么，所以，又，所以m的最小值为. 故选：C 7. 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，由根据等差数列求和公式可得，结合等差数列性质可得，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为数列为正项等差数列，所以，， ，可得，即， 由等差数列性质可得， 所以， 因为，，故，， 则，当且仅当时等号成立. 由解得，， 即当，时，取得最小值为， 故选：B. 8. 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长与数量积关系、结合二次函数根的判别式计算可得，再逐个选项计算并判断即可得. 【详解】由，则，即， 即，又， 则对任意，， 则， 即恒成立，又， 故，即； 对A：，故A正确； 对B：，不一定为，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，不一定为，故D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. ，可能垂直 B. ，可能共线 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；取特殊值，结合共线向量的坐标表示判断B；求出投影向量判断C；利用向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，不可能垂直，A错误； 对于B，取，则，此时，共线，B正确； 对于C，当时，，，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，当时，，，则，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C. 若在上有3个极值点，则m取值范围是 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断. 【详解】由图知， ，所以，所以， ， 因为，所以， 所以， 对于：，故错误； 对于： ，故正确； 对于：，， 根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点， 则，解得，故正确； 对于：，， ， 由图可知，在上只有一个实数根， 则，故错误. 故选：. 11. 在中，角所对的边分别为，且，，为角的平分线交于，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合正弦定理，利用三角恒等变换可求角判断A；利用正弦定理化简，可得，再求三角形面积判断B；由三角形面积求出表达式，利用基本不等式可求其最大值判断C；利用余弦定理和重要不等式即可求的范围判断D. 【详解】对于A，结合正弦定理，由， 得 因, 代入得 即 因为，所以，则，得， 又，则有，，故A正确； 对于B，由和正弦定理，得（是外接圆的半径）， 化简得，故的面积为，即B错误； 对于C，因为角的平分线，则，可得， 即，当且仅当时，等号成立，即，故C正确； 对于D，， 即，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积以及共线向量即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，得到，结合倍角公式和三角函数的基本关系式，把化为“齐次式”，代入求知，即可求解. 【详解】由， 由，则， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知向量满足，且与的夹角为，设，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用向量的数量积的计算公式，得到，结合等差数列的求和公式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， 可得， 因为且与的夹角为，所以， 则， 又由等差数列的求和公式，可得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在边长为1的菱形中，，，设，． （1）用，，表示，并求； （2）若，，求实数的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，根据向量加法的三角形法则表示，再根据向量模的求法计算即可； （2）由，在中，根据向量加法的三角形法则表示出，再由，，列出方程，即可求出实数的值. 【小问1详解】 因为，所以。 因为，，所以， 则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即，解得． 16. 已知数列中，，记． （1）求证：数列是等差数列，并求出； （2）设，求． 【答案】（1） 由，得，即， 又，所以为常数， 又，所以， 所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，． （2） 【解析】 【分析】(1)由等式两边同取倒数可得，根据等差数列定义证明结论； (2) 分析数列的各项的正负，分，化简，结合等差数列求和公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，所以； 当时，，所以， 得到． 综上，. 【点睛】求数列前项和的方法给出数列，要求数列的前项和，关键是分清取什么值时．一般地，如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有： （1）若，则有 （2）若，则有 17. 已知函数． （1）若的最小正周期为． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，且，求的值； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先根据函数的最小正周期求出的值，在结合正弦函数的性质求单调增区间即可；（ii）利用函数值求出相关角的正弦值，结合角的范围确定余弦值，再利用两角差的余弦公式，代入数值计算即可； （2）分析函数在给定区间内的取值范围，结合值域要求，确定角的范围，进而通过解不等式求出参数的取值范围，确保函数值能覆盖所有区间即可. 【小问1详解】 若的最小正周期为，则，解得，所以. （i）由题意，令，， 解得，，即的单调递增区间为. （ii），， 又，，， . 【小问2详解】 当时，，又在区间上的值域为， ，解得， 即的取值范围是. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，结合范围求解； （2）在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，两者联立求出，利用面积公式求； （3）由正弦定理，可得，由锐角三角形求出范围，解得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得. 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 已知，是边上的中线，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得（1）. 由正弦定理，， 所以，又，所以， 所以， 所以， 将代入（1）整理得， 因为，所以，所以, 解得，又，所以， 所以是等边三角形， 【小问3详解】 由（2）， 所以. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最小值为，最大值为 （2） 法一：若， 令， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 所以当时，，即. 法二：若， 故在上单调递增，所以当时，，即. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即当时，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析的单调性从而得到给定区间上的最值. （2）法一：构造函数，通过依次求导分析得到在上单调递增，从而，即可证明结果； 法二：对求导得到在上单调递增，从而当时，，构造函数，求导并利用求出在上单调递增，所以，即可证明结果. （3）分和进行讨论，当时，设，得到在上恒成立，从而当时，；当时，.对求导并分析单调性可得是函数的极小值点.当时，设，可得存在，使得，从而时，，，对求导可得在上单调递减，从而不是函数的极小值点，最终可得的范围. 【小问1详解】 若， 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 而， 故在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意得，，. 当时，不妨设， 因为，故在上恒成立，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 又，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故是函数的极小值点. 当时，不妨设，故存在，使得， 且当时，，故在上单调递减， 故当时，， 故在上单调递减，故不是函数的极小值点. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $