精品解析：吉林省吉林市第七中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学

八年级数学上册第一次阶段性练习 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（　　） A. 5，6，10 B. 2，5，8 C. 5，6，11 D. 3，4，8 2. 下图中全等的三角形有（ ） A. 图1和图2 B. 图2和图3 C. 图2和图4 D. 图1和图3 3. 用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，EF//AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠EFD=30°，∠BFD的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° 6. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一个三角形的两边长为和，三角形周长为偶数，则第三边的长为__________． 8. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是_______．（不添加辅助线） 9. 如图，已知的周长为36，和分别平分和，于点，且，则的面积是__________． 10. 如图，在正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是__________． 11. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 三、解答题（每小题6分，，共、18分） 12. 一个等腰三角形的一边长为5，周长为20，求其它两边长． 13. 中，，，求的各内角的度数． 14. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理． 16. 如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长．     17. 已知：的三边长分别为a，b，c， （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断的形状． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 在如图所示平面直角坐标系中，，， （1）作在边上的中线； （2）在（1）的条件下，求的面积． （3）在图中标出重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 19. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是多少度？从C岛 看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 21. 如图，、相交于点C，，，，点P从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿的方向以的速度匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． （1）当时， ，当时， ； （2）写出与关系： ，并说明理由； （3）连接，当线段经过点C时， ． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由请选择_________ A. B. C. D. （2）AD的取值范围是_________. （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 【问题解决】如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上册第一次阶段性练习 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（　　） A. 5，6，10 B. 2，5，8 C. 5，6，11 D. 3，4，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：A、5+6＞10，能组成三角形； B、2+5＜8，不能组成三角形； C、5+6＝11，不能组成三角形； D、3+4＜8，不能组成三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 2. 下图中全等的三角形有（ ） A. 图1和图2 B. 图2和图3 C. 图2和图4 D. 图1和图3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D 3. 用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案． 【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点， 观察四个选项可知，只有选项B符合. 故选：B． 4. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，EF//AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠EFD=30°，∠BFD的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质推出∠BDF＝∠EFD＝30°，根据三角尺的特征得出∠ABC＝45°，从而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵EF∥AD，∠EFD＝30° ∴∠BDF＝∠EFD＝30° 又∠CAB＝90°，∠C＝45° ∴∠ABC＝45° ∴∠BFD＝∠ABC−∠BDF＝45°−30°＝15° 故选：A 【点睛】本题考查平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是根据平行线的性质推出∠BDF＝∠EFD＝30°，注意数形结合思想方法的运用，从图形中寻找角之间的等量关系． 6. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一个三角形的两边长为和，三角形周长为偶数，则第三边的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，同时还要注意偶数这一条件． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于1而小于5，三角形周长为偶数，故第三边为奇数，即可解答． 【详解】解：第三边的范围是：． 三角形周长为偶数 第三边长是奇数， 第三边是， 故答案为：3． 8. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是_______．（不添加辅助线） 【答案】或 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，但不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由已知，及公共边，可知要使，已经具备了两边对应相等，根据全等三角形的判定定理，有两种判定方法（1），（2）．所以可添加或． 【详解】解：添加的条件是或． （1）添加． 在和中， ， ； （2）添加． 在和中， ， ， 故答案为：或． 9. 如图，已知的周长为36，和分别平分和，于点，且，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积，证出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 连接，过作于，于，先由角平分线的性质得，，再由三角形面积关系，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ，， ， ， 即的面积是， 故答案为：． 10. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【详解】如图： 在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 11. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果． 【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°， 当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°， 当∠AED是钝角时， ∴∠AED＞90°， ∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE， ∴135°﹣∠ADE＞90°， ∴0°＜∠ADE＜45°， 综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论． 三、解答题（每小题6分，，共、18分） 12. 一个等腰三角形的一边长为5，周长为20，求其它两边长． 【答案】其他两边长为和 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，属于基础题，注意不要忽视用三角形三边关系进行验证是否符合题意． 分底边为5和腰长为5两种情况讨论然后再验证即可得出答案． 【详解】解：当底边为5时，设腰长为，则 ， 解得：，此时，与三角形任意两边之和大于第三边符合， 当腰长为5，设底边为，则 ， 解得：，此时，与三角形任意两边之和大于第三边矛盾，故舍去． 故其他两边长为和． 13. 中，，，求的各内角的度数． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 由三角形内角和定理得： ， 解得： ∴， ． 14. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题． 【详解】解：在△ACD和△ACB中， AD=AB，CD=CB ，AC＝AC． ∴△ACD≌△ACB． ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的平分线. 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意． 16. 如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长．     【答案】和的长分别为和 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：是边上中线， ， ， 即①， 的周长L为，长为， ，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得， 故和的长分别为和． 17. 已知：的三边长分别为a，b，c， （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）等边三角形 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用． （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【小问1详解】 解：，，为三边长， ，， ； 【小问2详解】 解：且，， 且 且，即 为等边三角形． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，，， （1）作在边上的中线； （2）在（1）的条件下，求的面积． （3）在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：，，， ，边上的高为， ； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 19. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【答案】（1）∠BAC=85°； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论． 【小问1详解】 解：∵∠B=35°，∠E=25°， ∴∠ECD=∠B+∠E=60°． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD=60°， ∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°； 【小问2详解】 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACE． ∵∠BAC=∠E+∠ACE， ∴∠BAC=∠E+∠ECD， ∵∠ECD=∠B+∠E， ∴∠BAC=∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC=∠B+2∠E． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是多少度？从C岛 看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 【答案】从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是 60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°． 【解析】 【分析】A，B，C三岛连线构成△ABC，所求的∠ACB、∠ABC是△ABC的内角．所以可以根据三角形的内角和为180°以及题中其它的一些条件来得到解答． 【详解】解： 方法一：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°， 由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°， 所以∠ABE=180°－∠BAD = 180°－80°= 100°，∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60° 在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC－∠CAB = 180°－60°－30°=90°． 方法二：如图，过点C画CF∥AD ∴∠1＝∠DAC＝50°， ∵ CF∥AD，又AD ∥BE， ∴ CF∥ BE， ∴∠2＝∠CBE＝40° ∴ ∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90° 在△ABC中，∠ABC =180°－∠ACB－∠CAB = 180°－90°－30°=60°． 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°． 【点睛】本题考查解直角三角形，在解题中，注意相同或相对的方向线是互相平行的线是解题关键． 21. 如图，、相交于点C，，，，点P从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿的方向以的速度匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． （1）当时， ，当时， ； （2）写出与的关系： ，并说明理由； （3）连接，当线段经过点C时， ． 【答案】（1）6；4 （2）且，证明见解析 （3）或4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点P的运动方向不同，需要分情况讨论． （1）根据点P的运动速度、运动时间、运动方向即可求解； （2）先根据证明，根据内错角相等、两直线平行，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，，当线段经过点C时，根据可证，推出，用含t的代数式表示、，分情况列出等式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：6，4． 【小问2详解】 解：且，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 设运动时间为t秒， 点P的运动路程为，分两种情况： 当​时，点P沿运动，； 当时，点P沿运动，， 点Q的运动路程，由，得； 根据，分情况讨论： 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 当时，点P沿运动的路程为，； 点Q运动的路程，，，符合， ∴成立． 综上，或． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到理由请选择_________ A. B. C. D. （2）AD的取值范围是_________. （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 【问题解决】如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证： 【答案】（1）B （2） （3）见解析 【解析】 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理去选择即可. (2)根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可. (3) 延长到，使，连接，证明，推理证明即可. 【小问1详解】 延长到点，使， 因为， 所以， 所以， 故选B. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，，， 所以， 所以. 故答案：. 【小问3详解】 延长到，使，连接. ∵是中线， ∴， 在和中 ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了倍长中线法解题，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $