精品解析：山西省阳泉市盂县多校联考2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量监测试卷 八年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟,答案写在答题卡上.） 亲爱的同学，考试即将开始．请你放松心态，诚信应考，认真阅读题目，规范书写答案．愿你沉着应战，发挥最佳水平，在检验中收获成长，在努力中遇见更好的自己． 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 3. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 4. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为环，方差分别为，则三人中成绩最稳定的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不能确定 5. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A. B. C. D. 9. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 10. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 一次函数图象经过第二，三，四象限，则___________0．（填“>，<或=”） 13. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c （1）在以上成绩统计表中，____，____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 18. 下面是小林设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程． 已知：在中，. 求作：矩形ABCD. 作法：如图②， ①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E、F； ②作直线EF，直线EF交AC于点O； ③作射线BO，在BO上截取OD，使得； ④连接AD，CD. 所以四边形ABCD就是所求的矩形． 根据小林设计的尺规作图过程. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：________，， ∴四边形ABCD为平行四边形（________________）（填推理依据）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（________________）（填推理依据）. 19. 如图，一次函数的图象经过A、B两点，且与x轴交于点C． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请在给出的坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象回答：当x________时，． 20. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 21. 【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． （1）化简： ； （2）【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 22. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量监测试卷 八年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟,答案写在答题卡上.） 亲爱的同学，考试即将开始．请你放松心态，诚信应考，认真阅读题目，规范书写答案．愿你沉着应战，发挥最佳水平，在检验中收获成长，在努力中遇见更好的自己． 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】解：圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：B． 3. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，再验证选项即可． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得． 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，不符合； 选项D：，符合条件； 故选：D． 4. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为环，方差分别为，则三人中成绩最稳定的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：三人射击成绩的平均数相同，且，即，甲的方差最小，甲的成绩最稳定． 5. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意； B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意； D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意． 6. 如图，平行四边形中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质得到点的纵坐标与点A的纵坐标相等，且，即可得到结论． 【详解】解：在中，，A，， ∴， 又∵， ∴点B的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握“平行四边形对边平行且相等”的性质，是解题的关键． 7. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】∵正八边形的外角和为， ∴， 故选：B 8. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 10. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 12. 一次函数图象经过第二，三，四象限，则___________0．（填“>，<或=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴． 故答案为：>． 13. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式并根据二次根式的乘法运算法则计算，然后算减法即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，最后算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c （1）在以上成绩统计表中，____，____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1），， （2） 小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴在小组中属中游略偏上， （3） 选乙组参加决赛，理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多， ∴众数； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 18. 下面是小林设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程． 已知：在中，. 求作：矩形ABCD. 作法：如图②， ①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E、F； ②作直线EF，直线EF交AC于点O； ③作射线BO，在BO上截取OD，使得； ④连接AD，CD. 所以四边形ABCD就是所求的矩形． 根据小林设计的尺规作图过程. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：________，， ∴四边形ABCD为平行四边形（________________）（填推理依据）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（________________）（填推理依据）. 【答案】（1）见解析；（2）OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形 【解析】 【分析】（1）根据题意，根据作图的作法作出图形即可； （2）由对角线互相平分证明平行四边形，以及有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可证明结论成立. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示； （2）证明：，， ∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）. 故答案为：OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形. 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，以及作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理和线段垂直平分线的作法.错因分析：①不能正确运用尺规完成作图；②没有掌握矩形的判定定理 19. 如图，一次函数的图象经过A、B两点，且与x轴交于点C． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请在给出的坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象回答：当x________时，． 【答案】（1） （2）3 （3） 如图所示． 【解析】 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，由图可知A、B两点的坐标，把两点坐标代入即可求出k、b的值，进而得出结论； （2）先求出C点坐标，得出的长，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）先画出一次函数的图象，再根据图象，找出一次函数的图象位于的图象上方的部分对应的自变量的取值即可． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的解析式为， 由图可知、，代入， 得， 解得， 这个一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：对于一次函数， 当，， 当，， 则一次函数的图象过点、， 描点画图如图所示； 由图象可知，当时，一次函数的图象位于的图象的上方，即， 所以当时，． 20. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2）种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； 【小问2详解】 解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 21. 【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． （1）化简： ； （2）【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）矩形是黄金矩形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． 【小问3详解】 解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 22. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】（1）消防车距离着火楼距离是15米 （2）消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到答案； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）连接，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，点是的中点，且， 又， 故是等边三角形， 是角平分线，， ； （2）连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； （3）连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $