专题03 一元二次方程的实际应用（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期北师大版

专题03 一元二次方程的实际应用 5 大高频考点概览 考点01增长率问题 考点02 握手、循环问题 考点03 图形面积问题【常考点】 考点04 一元二次方程与几何综合【难点】 考点05 营销问题【高频考点】 地 城 考点01 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族剑河县第四中学·期中)为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入亿元，预计2024年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 故选：D． 地 城 考点02 握手、循环问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 二、填空题 2．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 地 城 考点3 图形面积问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)如图，一试验园地是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，难度一般，理解题意列出方程是关键．把白色部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：把白色部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， ∵种植面积为平方米， ∴可列方程为． 故选：C． 2．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)沿河某中学九（1）班在布置教室文化时，把班级集体照照片贴在了墙上，照片规格：长70cm，宽50cm；为了美观，特将照片贴在一张矩形彩色纸的正中央，照片四周外露彩色纸的宽度相同；矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露彩色纸的宽度为（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．设照片四周外露彩色纸的宽度为，然后根据“矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍”列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露彩色纸的宽度为，则长为，宽为， 由题意得， 故选：D． 3．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解图示，运用平移的方法得到种植地的长和宽是解题的关键． 根据题意，种植地的长为，宽为，根据种植面积为，列式即可求解． 【详解】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为， ∴， 故选：C ． 4．(24-25九上·云南昆明官渡区第一中学·期中)如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 5．(24-25九上·贵州毕节金沙县中小学·期中)如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为_____米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题点关键． 设修建的路宽应为米，列方程得到，即可得到答案． 【详解】解：设修建的路宽应为米， 根据题意列方程得， 故选：B． 二、填空题 6．(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 【答案】5m 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设通道的宽为，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的列出方程，求出解即可. 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以通道的宽为. 故答案为：. 三、解答题 7．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)李叔叔家有一块空地，他打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的一条长边靠墙（足够长），另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为，且长比宽多．该鸡舍的长和宽分别是多少米？ 【答案】鸡舍的宽为，则长为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．设鸡舍的宽为，则长为，根据题意列出一元二次方程求解即可。 【详解】解：设鸡舍的宽为，则长为， 根据题意得 解得，（舍去） ∴（） ∴鸡舍的宽为，则长为 8．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 【答案】(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为； (2)不能围成面积为的仓库，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 解得：或， ∵， ∴和都满足题意， ∴当时，； 当时，； ∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为； （2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下： 设，则， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库． 9．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个矩形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成． (1)如图1，当长为多少时，矩形的劳动田园的面积为？ (2)如图2，用栅栏围矩形的劳动田园时，在边上预留2米宽的小门（小门用其它材料），当长为多少时？劳动田园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)长为时，矩形的劳动田园的面积为 (2)长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）设长为，根据题意，利用长方形的面积公式列一元二次方程求解即可； （2）设长为，根据题意，利用长方形的面积公式列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设长为时，矩形的劳动田园的面积为， 根据题意，得， 解得， 答：长为时，矩形的劳动田园的面积为； （2）解：设长为，劳动田园的面积为， 根据题意，得 ， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是． 10．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 【答案】如果选择①，四周小路的宽为，如果选择②，四周小路的宽为，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，即可求解，根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键． 【详解】如果选择①： 设四周小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：四周小路的宽度为， 如果选择②： 设小路的宽度为， 依题意，得， 整理，得， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为． 地 城 考点04 一元二次方程与几何综合 【难点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设菱形的对角线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，即折叠后，点落在点处，同理可得，即折叠后，点落在点处，再设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠后，点恰好落在对角线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即折叠后，点落在点处， 同理可得：，即折叠后，点落在点处， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 二、填空题 2．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 【详解】解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 3．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 解得，则， ∵， ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程，等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 三、解答题 4．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)的值为或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①由折叠知，则，再由平行得，由，则有； ②由（1）得；由①知，而，进而得，求得a的值；设正方形的边长为m，则在中，利用勾股定理建立方程求得m，从而求得； （3）分点H在延长线上及点H在线段上两种情况进行，设，正方形的边长为m，与（2）②同理可求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：由折叠知，则； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴； ②解：由（1）得； 由①知， ∴； 又； ∴， 解得：； ∴； 设正方形的边长为m，则， ∴， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则； （3）解：设，正方形的边长为m； 当点H在线段上时， 与（2）②同理得：， 解得：， 同理在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 当点H在线段延长线上时，如图； 则， 与（2）①同理，， 则； ∴， ∴； ∵，， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，解一元二次方程等知识，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 5．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 一、解答题地 城 考点05 营销问题 1．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒元，如果按照每盒元的价格进行销售，每月可以售出盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价元，其月销售量就将减少盒． (1)若使该口罩的月销量不低于盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，药店要保证每月销售此种口罩盈利元，则每盒口罩可涨价多少元？ 【答案】(1)每盒口罩的售价应不高于元； (2)每盒口罩可涨价元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的从题中找出数量关系，列出方程，不等式是解题的关键． （）设每盒口罩的售价为元，根据月销量不低于盒列出不等式即可； （）设每盒口罩可涨价元，根据“总利润每盒利润数量”列出方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设每盒口罩的售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每盒口罩的售价应不高于元； （2）解：设每盒口罩可涨价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， ∵每盒口罩的售价应不高于元， ∴， 答：每盒口罩可涨价元． 2．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 3．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)某商场销售一款进价为60元/件的衬衣，已知该商场按100元/件销售这款衬衣时，日销售量为20件．后来经市场调研发现：售价每降低1元，日销售量就增加2件． (1)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式． (2)若要尽可能让利于顾客，则当这款衬衣的售价为多少时，该商场每天销售这款衬衣可盈利1200元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价每件应定为80元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用日销售量售价），即可找出y关于x的函数关系式； （2）利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能多的让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， ∵该产品的进货价为60元/件， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能多的让利于顾客， ∴． 答：该产品的售价每件应定为80元． 4．某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据平均增长率的等量关系：，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 5．(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)遵义市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的头盔每个应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价7.5元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同”，列出一元二次方程，解方程取其正值即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价m元，根据“此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元”，列出一元二次方程求解，再根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． （3）设该品牌头盔每个涨价t元，利润为w元，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率， 由题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． （3）解：设该品牌头盔每个涨价t元，利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴当时，月销售利润最大，最大值为6125； 答：该品牌头盔每个涨价7.5元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 6．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)第33届夏季奥运会于年月日在法国巴黎举行，本次奥运会中国代表团以金银铜枚金牌位列第二．是境外参加奥运会最佳成绩．在奥运会期间，某经销商购进奥运会吉祥物弗里热进行销售，弗里热的进价每个元．根据市场调查，若按每个元销售，每天能销售个；销售单价每涨元，日销售量就减少个．设销售单价为每个元，日销售量为个，日销售利润为元： (1)写出与之间的函数解析式和与之间的函数解析式； (2)在问的条件下，若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为多少元？ (3)当销售单价定为每个多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1)；； (2)若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为元或元； (3)当日销售单价定为每个元时，会获得最大利润，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用．解决本题的关键是根据数量之间的关系求出函数解析式． 根据销量与销售单价之间的关系列出函数关系式即可，根据利润单件利润销量，可与之间的函数关系式，； 根据利润单件利润销量，可列一元二次方程，解方程即可求出销售单价； 根据利润单件利润销量，可与之间的函数关系式，把二次函数的关系式整理成顶点坐标式，即可得到结果． 【详解】（1）解：当销售单价定为每个元时， 根据题意可得：， 整理得：； 利润单件利润销量， ， 整理得：； （2）解：设定价为每个元时，经销商获得了元的销售利润， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为元或元； （3）解：由可知：， ， 函数有最大值， 当时，有最大值，最大值为， 答：当日销售单价定为每个元时，会获得最大利润，最大利润为元． 7．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)十月国庆长假期间，某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当原售价为每个12元时，每天销售量为28个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少1个，请回答以下问题： (1)若设售价为x元，则每个商品的利润为______元；该商品的销售量为______个． (2)若销售该商品每天获得的总利润是200元，则该商品定价多少元？ (3)若规定售价不能高于原售价的2倍，则当售价定为多少时，商场销售该商品每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)该商品定价20元或30元 (3)当售价定为24时，商场销售该商品每天获得的利润最大，每天的最大利润是224元． 【分析】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，列代数式， （1）根据每个商品的利润等于售价减去进价即可求解；根据售价每提高1元，每天销售量就会减少1１个即可求解该商品的销售量； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设商场每天获得利润最大为元，由此列式，再根据二次函数的最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：若设售价为x元，则每个商品的利润为元；该商品的销售量为个； （2）解：根据题意得，， 整理得， 解得， ∴该商品定价20元或30元； （3）解：设商场每天获得利润最大为元， ∴， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当售价定为24时，商场销售该商品每天获得的利润最大，每天的最大利润是224元． 8．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)某电子产品零售商计划对一款智能手表进行降价促销．该智能手表的成本价为每块200元．当售价为每块800元时，其日销售量为50块．市场研究表明，该智能手表的售价每降低10元，其日销售量就会增加5块．已知该智能手表的售价始终不低于成本价． (1)如果零售商决定降价60元进行销售，那么降价后的日销售利润是多少元？ (2)零售商希望每天通过销售这款智能手表获得的利润为60 000元，那么这款智能手表应降价多少元？ (3)为了最大化日销售利润，零售商应该将这款智能手表的售价定为多少元？此时，每天能获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)降价后的日销售利润为43200元 (2)这款智能手表应降价200元或300元 (3)零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元 【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数与销售问题，理解数量关系，正确列出一元二次方程，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意得到降价后的售价为元，销量为块，利润为元，由此即可求解； （2）设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块，由此列一元二次方程求解即可； （3）设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由此得到关于的二次函数，根据二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：降价60元后，新的售价为（元）， 售价每降低10元，日销售量就会增加5块， 降价60元后，日销售量变为（块）， 降价后的日销售利润为（元）， 答：降价后的日销售利润为43200元； （2）解：设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块， 根据题意，得， 解得，， 答：这款智能手表应降价200元或300元； （3）解：设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由题意得， ， ， 该函数的图象开口向下， ， 当时，W有最大值，且最大值为61250， 当售价定为（元）时，每天获得的利润最大，最大为61250元， 答：零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元． 9．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)近年来，为促进消费，推动经济发展，地摊经济盛行，我县夜市街某地摊老板从网商处购进A、B两款发卡饰品售卖，其中A款发卡饰品进价为30元1个，售价为45元1个；B款发卡饰品进价为25元1个，售价为37元1个．（注：利润=售价进价） (1)该地摊老板第一次用850元购进A、B两款发卡饰品共30个，求两款发卡饰品分别购进的个数； (2)第一次购进的发卡饰品售完后，该地摊老板计划再次购进A、B两款发卡饰品共80个（进价和售价不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)临近“双十一”，该地摊老板打算把B款发卡饰品调价销售．若按照原价销售，平均每天可售4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个．将售价定为每个多少元时，才能使B款发卡饰品平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A款发卡饰品购进20个，B款发卡饰品购进10个 (2)当A款发卡饰品购进40个，B款发卡饰品40个时，才能获得最大销售利润，最大销售利润为1080元 (3)将售价定为30元或34元时，才能使B款发卡饰品平均每天销售利润为90元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一元二次方程的综合运用，掌握以上知识解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设A款发卡饰品购进x个，B款发卡饰品购进y个，根据题意，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A款发卡饰品购进m个，最大销售利润为w元，则购进B款发卡饰品个，根据数量关列一元一次不等式求解即可； （3）设B款发卡降n元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，根据数量关系列一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设A款发卡饰品购进x个，B款发卡饰品购进y个，依题意得： ， 解得： ， 答：A款发卡饰品购进20个，B款发卡饰品购进10个． （2）解：设购进A款发卡饰品购进m个，最大销售利润为w元，则购进B款发卡饰品个， 依题意得：， 解得： ， ， ∵是一次函数，， ∴w随m的增大而增大， 又， ∴当时，w取得最大值，最大值为：（元）， （个）， 答：当A款发卡饰品购进40个，B款发卡饰品40个时， 才能获得最大销售利润，最大销售利润为1080元． （3）解：设B款发卡降n元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，， ∴（元），（元）， 答：将售价定为30元或34元时，才能使B款发卡饰品平均每天销售利润为90元． 10．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件． (1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件； (2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）； (3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？ 【答案】(1)590 (2) (3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及列代数式， （1）由题意列式计算即可； （2）由题意列出代数式即可； （3）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件，根据实现平均每周10000元的销售利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，（件）， 即商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出590件， 故答案为：590； （2）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品每周的销售量是件， 故答案为：； （3）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴符合题意，不符合题意，舍去； ∴， 答：为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的实际应用 5 大高频考点概览 考点01增长率问题 考点02 握手、循环问题 考点03 图形面积问题【常考点】 考点04 一元二次方程与几何综合【难点】 考点05 营销问题【高频考点】 地 城 考点01 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族剑河县第四中学·期中)为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入亿元，预计2024年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 握手、循环问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 二、填空题 2．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 地 城 考点3 图形面积问题 一、单选题 1．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)如图，一试验园地是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)沿河某中学九（1）班在布置教室文化时，把班级集体照照片贴在了墙上，照片规格：长70cm，宽50cm；为了美观，特将照片贴在一张矩形彩色纸的正中央，照片四周外露彩色纸的宽度相同；矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露彩色纸的宽度为（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·云南昆明官渡区第一中学·期中)如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·贵州毕节金沙县中小学·期中)如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为_____米． A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)李叔叔家有一块空地，他打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的一条长边靠墙（足够长），另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为，且长比宽多．该鸡舍的长和宽分别是多少米？ 8．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 9．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个矩形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成． (1)如图1，当长为多少时，矩形的劳动田园的面积为？ (2)如图2，用栅栏围矩形的劳动田园时，在边上预留2米宽的小门（小门用其它材料），当长为多少时？劳动田园的面积最大？最大面积是多少？ 10．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案． 小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为，列出方程可以求解； 小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为，列出方程可以求解． 请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽． 地 城 考点04 一元二次方程与几何综合 【难点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 二、填空题 2．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 3．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 5．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 一、解答题地 城 考点05 营销问题 1．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒元，如果按照每盒元的价格进行销售，每月可以售出盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价元，其月销售量就将减少盒． (1)若使该口罩的月销量不低于盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，药店要保证每月销售此种口罩盈利元，则每盒口罩可涨价多少元？ 2．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 3．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)某商场销售一款进价为60元/件的衬衣，已知该商场按100元/件销售这款衬衣时，日销售量为20件．后来经市场调研发现：售价每降低1元，日销售量就增加2件． (1)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式． (2)若要尽可能让利于顾客，则当这款衬衣的售价为多少时，该商场每天销售这款衬衣可盈利1200元？ 4．某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 5．(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)遵义市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 6．(24-25九上·贵州黔东南州凯里第六中学·期中)第33届夏季奥运会于年月日在法国巴黎举行，本次奥运会中国代表团以金银铜枚金牌位列第二．是境外参加奥运会最佳成绩．在奥运会期间，某经销商购进奥运会吉祥物弗里热进行销售，弗里热的进价每个元．根据市场调查，若按每个元销售，每天能销售个；销售单价每涨元，日销售量就减少个．设销售单价为每个元，日销售量为个，日销售利润为元： (1)写出与之间的函数解析式和与之间的函数解析式； (2)在问的条件下，若经销商获得了元的销售利润，则该弗里热销售单价应为多少元？ (3)当销售单价定为每个多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 7．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)十月国庆长假期间，某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当原售价为每个12元时，每天销售量为28个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少1个，请回答以下问题： (1)若设售价为x元，则每个商品的利润为______元；该商品的销售量为______个． (2)若销售该商品每天获得的总利润是200元，则该商品定价多少元？ (3)若规定售价不能高于原售价的2倍，则当售价定为多少时，商场销售该商品每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？ 8．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)某电子产品零售商计划对一款智能手表进行降价促销．该智能手表的成本价为每块200元．当售价为每块800元时，其日销售量为50块．市场研究表明，该智能手表的售价每降低10元，其日销售量就会增加5块．已知该智能手表的售价始终不低于成本价． (1)如果零售商决定降价60元进行销售，那么降价后的日销售利润是多少元？ (2)零售商希望每天通过销售这款智能手表获得的利润为60 000元，那么这款智能手表应降价多少元？ (3)为了最大化日销售利润，零售商应该将这款智能手表的售价定为多少元？此时，每天能获得的最大利润是多少元？ 9．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)近年来，为促进消费，推动经济发展，地摊经济盛行，我县夜市街某地摊老板从网商处购进A、B两款发卡饰品售卖，其中A款发卡饰品进价为30元1个，售价为45元1个；B款发卡饰品进价为25元1个，售价为37元1个．（注：利润=售价进价） (1)该地摊老板第一次用850元购进A、B两款发卡饰品共30个，求两款发卡饰品分别购进的个数； (2)第一次购进的发卡饰品售完后，该地摊老板计划再次购进A、B两款发卡饰品共80个（进价和售价不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)临近“双十一”，该地摊老板打算把B款发卡饰品调价销售．若按照原价销售，平均每天可售4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个．将售价定为每个多少元时，才能使B款发卡饰品平均每天销售利润为90元？ 10．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件． (1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件； (2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）； (3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $