专题02 一元二次方程（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期北师大版

专题02 一元二次方程 6 大高频考点概览 考点01一元二次方程的定义【常考点】 考点02 用配方法解一元二次方程 考点03 因式分解解一元二次方程 考点04 用适当方法解一元二次方程【常考点】 考点05 一元二次方程根与系数的关系 考点06 一元二次方程的根与根的判别式【高频考点】 地 城 考点01 一元二次方程的定义【常考点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 2．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 3．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)一元二次方程的一次项系数是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程，其一次项系数是． 故选：D． 4．(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，解题的关键是掌握一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的求法．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是． 故选：B． 5．(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答，即只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：因为不是整式方程，所以A不符合题意； 因为是二次方程，所以B不符合题意； 因为是一元二次方程，所以C符合题意； 因为，即，不是二次方程，所以D不符合题意． 故选：C． 6．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、整理方程，得，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 8．(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：C 二、填空题 9．(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 10．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)当满足 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点02 用配方法解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的运用，掌握配方法的操作方法是解题的关键． 根据题意找到一次项的系数，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时加上得到， ∴， 故选：B ． 2．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)用配方法解方程，则配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 3．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 配方得，即， 只有选项B符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·)用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 5．(24-25九上·湖南汨罗新教育集团·)用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 故选：B． 地 城 考点3 因式分解解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的知识是解决本题的关键． 本题中两个因式的乘积为0，即每个因式都为0，然后再进行求解，即可得到答案． 【详解】解： ，， 解得：，． 故选：A． 2．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，该方程利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得， 故选B． 3．(24-25九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 4．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)解方程最合适的方法是（   ） A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．把作为整体，利用因式分解法求解较为简单． 【详解】解：， 因式分解得， 解得或， 解此方程最合适的方法是因式分解法， 故选：A． 二、填空题 5．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：方程化为， ∴或， ∴，． 6．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)已知关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，且）的解是，，那么一元二次方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．正确理解题意、灵活应用整体思想是解题的关键． 由题意知，或，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，或， 解得，或， 故答案为：或． 地 城 考点04 用适当方法解一元二次方程 【常考点】 一、解得 1．(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， ． 方程两边同时开方，得 ， 则，或． ，； （2）解：． ， ． ，或． ，． 2．(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用这些方法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）先将1从方程的右边移到左边，将看成一个整体，再用因式分解求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ； （2）， ， 或 3．(24-25九上·贵州毕节金沙县第四中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， 或， ． 4．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练并灵活地运用一元二次方程的解法去解方程． （1）先移项，再利用直接开平方法求解； （2）利用配方法求解． 【详解】（1）解：（1）， ∴， 解得：，； （2）（2）， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 5．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)，； (2)，； (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）首先根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） ，， 解得，； （3） ∵ ∴原式． 6．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)用适当方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得 配方，得 即 开平方，得 ∴，； （2）解：原方程化为 ∴或， ∴，； （3）解：，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化为，即， ∴或， ∴，． 7．(24-25九上·贵州黔西南布依族苗族兴义兴铭学校·期中)计算 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴即， ∴或， 解得：，； 8．(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)解方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得，． 10．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程． ①；②；③；④． 【答案】 ①， ②， ③， ④， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法，直接开方法，因式分解法求一元二次方程是解题的关键． 根据题意，运用公式法时先确定的及的正负，在运用求根公式代入计算即可；直接开方法，因式分解法求解即可． 【详解】解：①， ∵，，，， ∴方程有两个不等的实数根， ，； ②， 等式两边同时除以得，， 直接开方得，， ，； ③， ∵，，，， ∴方程有两个不等的实数根， ，； ④， 因式分解得，， ∴，或， ，． 11．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 12．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)按要求解下列方程： (1)；（公式法） (2)．（配方法） 【答案】(1)，; (2)，. 【分析】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解． （1）根据公式法的求解步骤进行求解即可； （2）按照配方步骤即可解得． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ∴， ∴或， ∴，． 13．(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： ． 或 ∴，． 14．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： ① ② ③ ④ ∴，⑤ 小虎的解法： ，，① ∵② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程． 【答案】(1)②；② (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对小马的解法进行判断；根据根的判别式的计算可判断小虎的解法进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）小马的解法从第②步开始错；小虎的解法从第②步开始错； （2）， ， 或， 所以，． 15．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)（1）解不等式； （2）小星在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程∶ 解：将原方程化为一般形式，得 ……………………………………………………………………第一步； 这里……………………………………………………………第二步； ……………………………………………第三步； ．…………………………………………………………第四步； 即．……………………………………………………………………第五步． ①小星从第___________步开始出错（填序号“一、二、三、四、五”中其中一个）； ②请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 【答案】（1）；（2）①一；②见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，公式法解一元二次方程． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）①根据公式法解一元二次方程的方法步骤判断即可；②用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）①小星从第一步开始出错，理由：移项时，没有变号； ②解：将原方程化为一般形式，得； ， ， ， 即． 16．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)一个等腰三角形的其中两边长分别是方程的两个根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的定义与三角形三边的关系可得到答案． 【详解】解：， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为6时，，不符合题意； 等腰三角形的腰为6，底边为3，， 等腰三角形的周长为． 故答案为： 15． 一、单选题地 城 考点05 一元二次方程根与系数的关系 1．(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)一元二次方程的两根为和3，则的值是（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 根据一元二次方程两根之积，即，解答即可. 【详解】解：一元二次方程的两个根是和3， ∴， 解得. 故选：A. 2．(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B． C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．“若是方程一元二次方程的两个实数根，则．”，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴， ∴，解得：， ∴该方程的另一个根为， 故选：． 二、填空题 4．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)方程的两个实数根分别是，，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 5．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)已知实数，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的应用．根据题意得到可以把a，b看作是方程的两根，由根与系数的关系，得． 【详解】解：∵实数，满足，， ∴可以把a，b看作是方程的两根． 由根与系数的关系，得． 故答案为：． 6．(24-25九上·贵州毕节金沙县中小学·期中)设是方程的两个实数根，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程（为常数，且）的两个根，则，，一元二次方程的解． 根据题意得到，，代入计算即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 三、解得题 7．(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值． 【详解】（1）解：根据题意得，解得． 故m的取值范围为； （2）解：根据题意得， ∵， ∴， 解得． 8．(24-25九上·贵州遵义第二十四中学·期中)关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为、，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）判断出可得结论； （2）利用根与系数的关系得到，，结合已知得到方程，然后解方程即可求解． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，则， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴，， ∵，即， ∴， 解得． 9．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 10．(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)0．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 地 城 考点06 一元二次方程的根与根的判别式【高频考点】 一．单选题 1．(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族剑河县第四中学·期中)若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：D． 2．(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数以及一元二次方程的定义，因为关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且 ，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得 且， 故选：B． 3．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程的二次项系数不为0，解题关键是一元二次方程根的情况与判别式的关系为：时，方程无实数根，时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意知：，， 解得：且． 故选：C． 4．(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不等的实数根． 故选：B． 5．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，因为关于的一元二次方程有两个不等的实数根，所以，，代入数值化简即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴，， ∴且， 故选：D 6．(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)关于的一元二次方程有实数根，则能取到的最小整数值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴m能取到的最小整数值是1． 故选：C． 7．(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入，解出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得把， 解得， 故选：A． 二、填空题 8．(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式的值及一元二次方程的解，熟练掌握代数式的值及一元二次方程的解是解题的关键；由题意可得，然后代入求解即可 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故答案为：2026 ． 9．(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 10．(24-25九上·贵州贵阳云岩区联盟校数学·期中)0．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．求出判别式，解不等式即可，注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 三、解答题 11．(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)1．已知关于x的一元二次方程（其中）． (1)若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； (2)当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得： ∴原方程为 ∴ ∴或 解得， ∴方程的另一个根为； （2）解：当该方程有实数根时， ， 解得：， ∵是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为． 12．(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)2．已知关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为，求m的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （）利用根与系数的关系，解方程即可解题． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根， 且， 且. （2）解：设原方程的两个实数根分别为和， 由题意，得， 根据一元二次方程的根与系数的关系，得， ， 解得． 经检验，是方程的解． 13．(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个实数根是，求的值及另一个实数根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法． 根据一元二次方程的判别式可得，整理可得，根据平方的非负性可知，所以可知无论为何值，方程总有两个实数根； 首先根据方程的一个实数根为可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，然后再解一元二次方程求出另一个根． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：将代入， 可得：， 解得：， 方程化为， 分解因式可得：， 解得，， 方程的另一个实数根为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次方程 ☆6大高频考点概览 考点01一元二次方程的定义【常考点】 考点02用配方法解一元二次方程 考点03因式分解解一元二次方程 考点04用适当方法解一元二次方程【常考点】 考点05一元二次方程根与系数的关系 考点06一元二次方程的根与根的判别式【高频考点】 目目 考点01 一元二次方程的定义【常考点】 一、单选题 1.(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)方程x2+4x-1=X+5化为一般形式后， 一次项系数和常数项分别为() A.1和3 B.1和-6 C.3和-6 D.3和4 2.(24-25九上·贵州遵义第五十五中学)关于x的方程x2-6x+3=0,下列说法错误的是() A.二次项系数为1 B.一次项系数为-6 C.常数项为0 D.它是一元二次方程 3.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)一元二次方程2x-5x-3=0的一次项系数是() A.3 B.2 C.-3 D.-5 4.(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县，期中)一元二次方程3x2+x-2024=0的二次项系数、一次 项系数和常数项分别是() A.3,1,2024B.3,1,-2024C.3,-1,2024D.3,-1,-2024 5.(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)下列方程是一元二次方程的是() A.X2-3=0 B.z2+X=1 X C.3x2-8=0 D.(x-1)(x-2)=x2 6.(24-25九上·贵州遵义第二十四中学，期中)下列是一元二次方程的是（) A.x2=1 B.x2+1=0 X 1/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.(x-1}2=x2+2 D.X-1=0 7.(24-25九上·贵州遵义第二十四中学期中)若关于x的一元二次方程的两个根为X1=1,x2=2,则这个方 程是() A.x2+3x-2=0 B.x2-3X+2=0 C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0 8.(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)若方程m-V2xm-x-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 () A.2 B.-2 c.-2 D.±V2 二、填空题 9.(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)一元二次方程Xx+1=-7化成一般形式后为 10.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)当k满足时，关于x的方程(k+1)x+5x-2=0是一 元二次方程. 考点02 用配方法解一元二次方程 一、单选题 1.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)用配方法解方程x2+6x=7,下列配方正确的是() A.（x+32=7B.(x+32=16 c.(x-32=16 D.(x-3)2=7 2.(24-25九上贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)用配方法解方程x2-8x+7=0,则配方 正确的是() A.（x+42=9 B.(x-42=9 C.(x-82=16 D.（x+82=57 3.(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)用配方法解方程x2-4X=9,变形后的结果正确的是() A.(x-2i2=5 B.(x-2)=13 C.i D.i 4.(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应 变形为() 219 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.x+12=6 B.x-12=6 C.x+22=9 D.x-22=9 5.(24-25九上湖南泪罗新教育集团)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为() A.x+12=6 B.x-12=6 C.x+22=9 D.x-22=9 目目 考点3 因式分解解一元二次方程 一、单选题 1.(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)一元二次方程x5x-2=0的解是() A.x1=0,x2 BX=0X=号 C.x=0,x2=3 D.X=0,X= 2 2.(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)一元二次方程x2-x=0的解是() A.X1=0,X2=-1 B.X1=0,x2=1 C.X1=0,X2=2 D.X1=1,X2=-2 3.(24-25九上·贵州毕节织金县思源实验学校期中)对于实数a,b,C,d,定义运算 ab=ad-bc,我 c d 1 们把它叫做二阶行列式，例如： 3 =1×4-2×3=-2.若x+13=8,则x的值为() 4 A.-2或4 B.2或-4 C.2或4 D.-2或-4 4.(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)解方程x2x+3-32x+3=0最合适的方法是（) A.因式分解法B.公式法 C.配方法 D.代入消元法 二、填空题 5.(24-25九上·贵州遵义第二十四中学期中)一元二次方程x2=3x的解为一· 6.(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，且 a≠0)的解是x1=-1,X2=2,那么一元二次方程a2x+32+b2x+3+c=0的解是一 目目 考点04 用适当方法解一元二次方程【常考点】 一、解得 319 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1)x2-6x-11=0: (2)2(2x-1)2=6x-3 2.(24-25九上·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)用适当的方法解下列方程 (1)x2+2X-3=0 (2)2t-12+t=1 3.(24-25九上·贵州毕节金沙县第四中学期中)用适当的方法解下列方程： (1)x2-5x-6=0: (2)x(x-1)=2-2x. 4.(24-25九上·贵州遵义第五十五中学)解方程： (1)x2-25=0 (2)x2-2x-1=0 5.(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)计算： (1)x2=3x (2)2x-4x-7=0 (3)先化简，再求值： -1- 3x2-4 其中x=3-1 x+1x2+2x+1 6.(24-25九上·贵州遵义第二十四中学，期中)用适当方法解下列方程 (1)x2-4x-3=0: (2)x2+5x-14=0: (3)2x2-4x-1=0: 4)(y-1-2y(y-1)=0 7.(24-25九上·贵州黔西南布依族苗族兴义兴铭学校·期中)计算 (1)x2=3X (2)2x-32=52x-3 8.(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)解方程或方程组： 2x+3y=-1 4x-9y=8 4/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)2x2-6x-3=0 9.(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)解下列方程： (1I)x2-3x=0: (2)x2-4x+2=0. 10.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两 个方程. ①x2-3x+2=0:②4(x-1}=16;③2x2-7x+3=0:④x2+5x=0 11.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)解方程： (1)x2-6x+3=0 (2)3xx-2=2x-2 12.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)按要求解下列方程： (1)2x-3x+1=0:（公式法) (2)x2+6X=-5.(配方法) 13.(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)用适当的方法解下列方程： (1)x-12=9: (2)x2-4x-12=0: (3)2x-32=-32x-3. 14.(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)解一元二次方程x2-2x-3=0时，小马和小虎两位同学的解 法如下： 小马的解法： x2-2x=3① 小虎的解法： x2-2x+1=3② a=1,b=-2,c=-3① (x-12=3③ x-1=±V3④ 4=b2-4ac=-22-4×1×-3=4-12= ∴.x1=1+3, ② ∴.原方程无实数根③ x2=1-3⑤ 5/9 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()小马的解法从第 步开始错；小虎的解法从第 步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程。 15.(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)(1)解不等式4x-1>3(x+1): (2)小星在用公式法解方程3x2-5x=2时，呈现了如下解答过程： 解：将原方程化为一般形式，得 3X2-5X+2=0… 第一步 这里a=3,b=-5,C=2… 第二步； .b2-4a0=(-5}2-4×3×2=1>0… 第三步； x=-(-5)±=5±1 …第四步； 2×3 即水=2，X2工. …第五步 ①小星从第 步开始出错（填序号“一、二、三、四、五”中其中一个）： ②请用公式法将正确求解方程的过程写出来. 16.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)一个等腰三角形的其中两边长分别是方程x-3x-6=0 的两个根，则该等腰三角形的周长为一· 考点05 元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1.(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族从江县往洞中学·期中)一元二次方程x2+mx+n=0的两根为-1和3， 则n的值是() A.-3 B.3 C.-2 D.2 2.(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)设a,b是方程x2+X-2024=0的两个实数根，则 b-ab+a的值为() A.1 B.-1 C.2023 D.2024 3.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)己知x=2是关于x的方程x2+aX+2=0的一个根，则该方 程的另一个根为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 二、填空题 4.(24-25九上·贵州遵义校联考期中)方程x2-7x+4=0的两个实数根分别是x1,X2,则x1+x2-X1·X2的 值是一 619 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)已知实数a,ba≠b满足2a-5a-3=0, 2b2-5b-3=0,则ab的值为_ 6.(24-25九上·贵州毕节金沙县中小学·期中)设C,β是方程x2+x+2023=0的两个实数根，02+20+B的值 是」 三、解得题 7.(24-25九上·贵州遵义第一初级中学·期中)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根分别为x1, X2. (1)求m的取值范围： (2)若2X1+2X2+X1X2=0,求m的值. 8.(24-25九上·贵州遵义第二十四中学，期中)关于x的一元二次方程x2-m-3x-2m+2=0 ()求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为x1、x2,且x1-1x2-1=10,求m的值. 9.(24-25九上·贵州遵义第五十五中学)已知关于x的一元二次方程x2-m+2x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,X2,且x+x2-x1‘x2=13,求m的值. 10.(24-25九上·贵州遵义校联考·期中)0.若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0有两个实数根x1, x2,且X1一X2=1,那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2-x=0的两个根是 X1=0,X2=1,0-1=1,则方程x2-x=0是“邻近根方程”. (1)判断方程2x-5x+2=0是否为“邻近根方程”并说明理由： (2)若关于的方程x2+3x+c=0(C是常数)是“邻近根方程”，求c的值. 目目 考点06 一元二次方程的根与根的判别式【高频考点】 一。单选题 1.(24-25九上·贵州黔东南苗族侗族剑河县第四中学·期中)若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个实数 根，则2024-m+5m的值是() A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 719 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)若关于x的一元二次方程2kx2+3x+1=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是() A.ks9 8 B.k<是k≠0 C.k 8且kx0 D.k 8 3.(24-25九上·贵州遵义第四初级中学·期中)关于x的一元二次方程1-kx2-2x-1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是() A.k<2 B.k≤2 C.k<2且k≠1 D.k≤2且k≠1 4.(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)一元二次方程x2+2x-3=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 5.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区期中)若关于x的一元二次方程k+1x2+2x-1=0有两个不等的 实数根，则实数k的取值范围为() A.k>-1 B.k>-2 C.k≥-2且k≠1 D.k>-2且k≠-1 6.(24-25九上·贵州贵阳清镇·期中)关于x的一元二次方程mx2+2x-3=0有实数根，则m能取到的最小整 数值是() A.-1 B.0 C.1 D.2 7.(24-25九上·贵州毕节民族中学东校区·期中)若关于x的一元二次方程mx2-x-5=0的一个根是x=1, 则m的值是() A.6 B.5 C.4 D.3 二、填空题 8.(24-25九上·贵州遵义第一初级中学：期中)已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则m2-m+2024的值为 9.(24-25九上·贵州遵义第一初级中学期中)若关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个相等的实数根， 则k的值是 10.(24-25九上·贵州贵阳云岩区联盟校数学·期中)0.若关于x的一元二次方程mx+X+3=0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围是一· 三、解答题 11.(24-25九上·贵州遵义第四初级中学期中)1.己知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m-3=0(其中 819 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 m≠0). (1)若x=2是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值： (2)当该方程有实数根时，求m的取值范围， 12.(24-25九上·贵州黔南布依族苗族长顺县·期中)2.己知关于x的一元二次方程 mx2-2m+1x+m-1=0. (1)当m取何值时，此方程总有两个实数根？ (2)若原方程的两个实数根的积为-2，求m的值. 13.(24-25九上·贵州安顺关岭布依族苗族自治县·期中)3.己知关于x的一元二次方程x2+aX+a-1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个实数根是3，求a的值及另一个实数根. 919