14.1全等三角形及其性质 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

14.1 全等三角形及其性质 学习目标 1. 了解全等形、全等三角形的概念和全等三角形的对应元素. 2. 理解全等三角形的性质，能运用性质解决简单的问题. 3. 培养观察、分析和解决问题的能力，体会数学的严谨性. 知识点讲解 一、全等形与全等三角形 1. 全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 二、全等三角形的表示方法 1. 符号：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 2. 表示方法：若△ABC与△DEF全等，则记作△ABC≌△DEF. 注意：在表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，以便于确定对应边和对应角. 三、全等三角形的性质 1. 性质1：全等三角形的对应边相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF. 2. 性质2：全等三角形的对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由. (1) 形状相同的两个三角形是全等三角形. (2) 面积相等的两个三角形是全等三角形. (3) 全等三角形的周长相等. 例题2：已知△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，∠A=70°，∠B=60°. 求△DEF的各边长和各内角的度数. 例题3：若△MNP≌△QSR，且MN=QS，NP=SR，∠M=∠Q. 已知∠P=58°，∠S=72°，求∠R的度数. 例题4：已知△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=10cm，∠A'=70°，∠B'=50°. 求A'B'的对应边的长度以及∠C的度数. 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法正确的是 A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 2. 已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数为 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 若△ABC≌△DEF，AB=5，BC=6，AC=7，则DF的长为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 无法确定 二、填空题 1. 能够完全重合的两个图形叫做 _______. 2. 全等三角形的对应边 _______，对应角 _______. 3. 若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长为 _______ cm. 4. 已知△OAB≌△OCD，OA=OC，∠A=∠C，若OB=5，则OD= _______. 5. 若△ABC≌△DEF，∠A=65°，∠B=75°，则∠F= _______ 度. 6. 已知△ABC≌△A'B'C'，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，则A'B'= _______ cm，B'C'= _______ cm，A'C'= _______ cm. 7. 若△MNP≌△QRS，且∠M=∠Q，∠N=∠R，则∠P= _______. 8. 已知△ABC≌△DEF，∠A=∠D=90°，∠B=35°，则∠F= _______ 度. 三、解答题 1. 已知△ABC≌△DEF，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm. 求∠F的度数和EF的长度. 2. 若△ABC≌△BAD，AB=8cm，AC=4cm，∠C=30°. 求BD的长度和∠D的度数. 3. 已知△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D=80°. 若∠E=45°，求∠C和∠F的度数. 4. 若△MNP≌△QSR，MN=QS=4cm，NP=SR=6cm，∠N=∠S=50°，∠P=65°. 求△QSR各边的长度和各内角的度数. 5. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠A=∠A'=70°，∠B=∠B'=65°，BC=12cm. 求∠C'的度数和B'C'的长度. 6. 若△ABC≌△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 已知AB=6，BC=8，AC=10，∠A=90°，求△DEF的面积. 7. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，BC=5cm. 求B'C'的长度和∠B'的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1 全等三角形及其性质 学习目标 1. 了解全等形、全等三角形的概念和全等三角形的对应元素. 2. 理解全等三角形的性质，能运用性质解决简单的问题. 3. 培养观察、分析和解决问题的能力，体会数学的严谨性. 知识点讲解 一、全等形与全等三角形 1. 全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 二、全等三角形的表示方法 1. 符号：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 2. 表示方法：若△ABC与△DEF全等，则记作△ABC≌△DEF. 注意：在表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，以便于确定对应边和对应角. 三、全等三角形的性质 1. 性质1：全等三角形的对应边相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF. 2. 性质2：全等三角形的对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 例题解析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由. (1) 形状相同的两个三角形是全等三角形. (2) 面积相等的两个三角形是全等三角形. (3) 全等三角形的周长相等. 解析： (1) 错误. 形状相同但大小不一定相同的两个三角形不能完全重合，所以不是全等三角形. (2) 错误. 面积相等的两个三角形，其形状和大小不一定完全相同，不一定能完全重合，所以不是全等三角形. (3) 正确. 因为全等三角形的对应边相等，所以全等三角形的周长等于对应边之和，故周长相等. 例题2：已知△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，∠A=70°，∠B=60°. 求△DEF的各边长和各内角的度数. 解析： ∵△ABC≌△DEF ∴DE=AB=5cm EF=BC=7cm DF=AC=9cm ∠D=∠A=70° ∠E=∠B=60° 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 70° - 60°=50° ∴∠F=∠C=50° 例题3：若△MNP≌△QSR，且MN=QS，NP=SR，∠M=∠Q. 已知∠P=58°，∠S=72°，求∠R的度数. 解析： ∵△MNP≌△QSR，∠M=∠Q，MN=QS，NP=SR ∴点M与点Q对应，点N与点S对应，点P与点R对应 ∴∠N=∠S=72° 在△MNP中，∠M=180° - ∠N - ∠P=180° - 72° - 58°=50° ∴∠Q=∠M=50° 在△QSR中，∠R=180° - ∠Q - ∠S=180° - 50° - 72°=58° 例题4：已知△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=10cm，∠A'=70°，∠B'=50°. 求A'B'的对应边的长度以及∠C的度数. 解析： ∵△ABC≌△A'B'C' ∴∠A=∠A'=70°，∠B=∠B'=50°，BC=B'C' ∵BC=10cm ∴B'C'=10cm ∵AB=A'B' ∴AB的对应边是A'B' 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 70° - 50°=60° 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法正确的是 A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 2. 已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数为 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 若△ABC≌△DEF，AB=5，BC=6，AC=7，则DF的长为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 无法确定 二、填空题 1. 能够完全重合的两个图形叫做 _______. 2. 全等三角形的对应边 _______，对应角 _______. 3. 若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长为 _______ cm. 4. 已知△OAB≌△OCD，OA=OC，∠A=∠C，若OB=5，则OD= _______. 5. 若△ABC≌△DEF，∠A=65°，∠B=75°，则∠F= _______ 度. 6. 已知△ABC≌△A'B'C'，AB=5cm，BC=7cm，AC=9cm，则A'B'= _______ cm，B'C'= _______ cm，A'C'= _______ cm. 7. 若△MNP≌△QRS，且∠M=∠Q，∠N=∠R，则∠P= _______. 8. 已知△ABC≌△DEF，∠A=∠D=90°，∠B=35°，则∠F= _______ 度. 三、解答题 1. 已知△ABC≌△DEF，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm. 求∠F的度数和EF的长度. 2. 若△ABC≌△BAD，AB=8cm，AC=4cm，∠C=30°. 求BD的长度和∠D的度数. 3. 已知△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D=80°. 若∠E=45°，求∠C和∠F的度数. 4. 若△MNP≌△QSR，MN=QS=4cm，NP=SR=6cm，∠N=∠S=50°，∠P=65°. 求△QSR各边的长度和各内角的度数. 5. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠A=∠A'=70°，∠B=∠B'=65°，BC=12cm. 求∠C'的度数和B'C'的长度. 6. 若△ABC≌△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 已知AB=6，BC=8，AC=10，∠A=90°，求△DEF的面积. 7. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，BC=5cm. 求B'C'的长度和∠B'的度数. 巩固练习答案 一、选择题 1. C 解析：全等三角形是能够完全重合的三角形，所以形状和大小都相同，A选项只说形状相同错误；面积相等的三角形不一定能完全重合，B选项错误；所有等边三角形形状相同但大小不一定相同，D选项错误；全等三角形的对应边相等，对应角相等，C选项正确. 2. C 解析：在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 50° - 60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠C=70°，C选项正确. 3. C 解析：∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=7，C选项正确. 二、填空题 1. 全等形 2. 相等，相等 3. 20 4. 5 5. 40 解析：∠C=180° - 65° - 75°=40°，∠F=∠C=40°. 6. 5，7，9 7. ∠S 解析：∵△MNP≌△QRS，∠M=∠Q，∠N=∠R，∴∠P=∠S. 8. 55 解析：∠C=180° - 90° - 35°=55°，∠F=∠C=55°. 三、解答题 1. 解析： 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 52° - 67°=61° ∵△ABC≌△DEF ∴∠F=∠C=61° EF=BC=15cm 2. 解析： ∵△ABC≌△BAD ∴BD=AC=4cm ∠D=∠C=30° 3. 解析： ∵△ABC≌△DEF，∠A=∠D=80° ∴∠B=∠E=45° 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 80° - 45°=55° ∴∠F=∠C=55° 4. 解析： ∵△MNP≌△QSR，MN=QS=4cm，NP=SR=6cm，∠N=∠S=50°，∠P=65° ∴QR=MN=4cm QS=MN=4cm SR=NP=6cm ∠Q=∠M 在△MNP中，∠M=180° - ∠N - ∠P=180° - 50° - 65°=65° ∴∠Q=65° ∠R=∠P=65° 5. 解析： 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 70° - 65°=45° ∵△ABC≌△A'B'C' ∴∠C'=∠C=45° B'C'=BC=12cm 6. 解析： ∵∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴△ABC的面积 ∵△ABC≌△DEF ∴△DEF的面积=△ABC的面积=24 7. 解析： ∵△ABC≌△A'B'C' ∴B'C'=BC=5cm ∠B=90° - ∠A=90° - 30°=60° ∴∠B'=∠B=60° 学科网（北京）股份有限公司 $