专题4.1 全等三角形及其性质（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题4.1 全等三角形及其性质 教学目标 1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明。 教学重难点 一、教学重点 1.理解 “能够完全重合” 的本质，掌握 “≌” 符号的规范使用，明确对应顶点需写在对应位置。 2.牢记 “全等三角形的对应边相等、对应角相等” 这一核心结论，理解性质的推导逻辑（重合即完全相等）。 3.能直接利用性质求全等三角形中未知的边或角的长度、度数。 二、教学难点 1.复杂图形（如翻转、旋转后的全等三角形）中，快速找准对应顶点、对应边、对应角。 2.需结合已知条件（如平角、对顶角、三角形内角和）间接推导未知量，或解决实际情境（如测量不可直接到达的距离）问题。 知识点01 全等形 1.全等形定义： 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 2.全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 3.全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转 . 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 全等三角形的有关概念 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. 2.全等三角形的相关概念 ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 3.全等三角形的表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4.确定全等三角形对应边、对应角的常用方法 (1)图形特征法 ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法 ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 5.常见三角形的全等变换 【即学即练】一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 知识点03 全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 全等三角形的对应元素相等：全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型01 全等三角形性质的应用 【例1-1】运用全等三角形的性质求角度 （22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A．22° B．23° C．30° D．33° 【例1-2】运用全等三角形的性质求线段长 （24-25八年级上·安徽芜湖·期中）芜湖古城内的建筑多为徽派建筑，这种建筑风格以其独特的榫卯结构而闻名．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图所示，将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】运用全等三角形的性质求面积 如图，已知，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例1-4】运用全等三角形的性质解决动点问题 （25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点以的速度从向运动，点以的速度从向运动．若，两点同时出发，运动后，的面积是 ；运动 后，与全等． 【例1-5】运用全等三角形的性质说理 （24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 【例1-6】运用全等三角形的性质解决探究性问题 （25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-5】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，，点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-6】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【变式1-7】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ． 【变式1-8】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【变式1-9】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）现对一块如图所示的四边形草坪进行维护，经测量，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，将运动过程中甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果在运动过程中的某一时刻与全等，则乙机器人的运动速度应为多少，请说明理由． 【变式1-10】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【变式1-11】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【变式1-12】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 题型02 图形变换中的全等三角形 【例2-1】轴对称、平移、旋转变换中的全等三角形 已知，且B、C、D三点共线，连接． (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转　 　度，再向右平移　 　（填“”、“”或“”）的距离，可得． (2)若，周长为24，求： ①线段的长； ②的度数． 【例2-2】坐标变换中的全等三角形 如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【变式2-1】如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．个 D．1个 【变式2-3】如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则的长是（　　） A．24 B．20 C．21 D．22 3.三个全等三角形按下图的形式摆放，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 4.如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且．若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在锐角中，D，E分别是边上的点，，且，交于点F．若，则的大小是（    ） A．90° B．95° C．100° D．110° 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知图中的两个三角形全等，则 ． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为 ．    三、解答题 14．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 15．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 16．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 17．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 全等三角形及其性质 教学目标 1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明。 教学重难点 一、教学重点 1.理解 “能够完全重合” 的本质，掌握 “≌” 符号的规范使用，明确对应顶点需写在对应位置。 2.牢记 “全等三角形的对应边相等、对应角相等” 这一核心结论，理解性质的推导逻辑（重合即完全相等）。 3.能直接利用性质求全等三角形中未知的边或角的长度、度数。 二、教学难点 1.复杂图形（如翻转、旋转后的全等三角形）中，快速找准对应顶点、对应边、对应角。 2.需结合已知条件（如平角、对顶角、三角形内角和）间接推导未知量，或解决实际情境（如测量不可直接到达的距离）问题。 知识点01 全等形 1.全等形定义： 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 2.全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 3.全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转 . 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； D中大小一样，形状相同，符合题意； 故选：D． 知识点02 全等三角形的有关概念 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. 2.全等三角形的相关概念 ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 3.全等三角形的表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4.确定全等三角形对应边、对应角的常用方法 (1)图形特征法 ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法 ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 5.常见三角形的全等变换 【即学即练】一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （2）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （3）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （4）解：，对应边是， 对应角是． 故答案为：；． 知识点03 全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 全等三角形的对应元素相等：全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：， ， ． 故选C． 题型01 全等三角形性质的应用 【例1-1】运用全等三角形的性质求角度 （22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A．22° B．23° C．30° D．33° 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选A． 【例1-2】运用全等三角形的性质求线段长 （24-25八年级上·安徽芜湖·期中）芜湖古城内的建筑多为徽派建筑，这种建筑风格以其独特的榫卯结构而闻名．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图所示，将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 由题意可知， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【例1-3】运用全等三角形的性质求面积 如图，已知，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 由图可知； 故选C． 【例1-4】运用全等三角形的性质解决动点问题 （25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点以的速度从向运动，点以的速度从向运动．若，两点同时出发，运动后，的面积是 ；运动 后，与全等． 【答案】 或 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，， 于点，于点， 与全等分为两种情况： 当时，，即； 当时，，即， ； 故答案为：，或． 【例1-5】运用全等三角形的性质说理 （24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【详解】解：与相等的角有，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 即． ∵， ， ∴． 【例1-6】运用全等三角形的性质解决探究性问题 （25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个三角形全等，左图中a与c的夹角为，右图中a与c的夹角为， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即． 故选：C 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式1-4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式1-5】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，，点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-6】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选C 【变式1-7】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【变式1-8】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 【变式1-9】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）现对一块如图所示的四边形草坪进行维护，经测量，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，将运动过程中甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果在运动过程中的某一时刻与全等，则乙机器人的运动速度应为多少，请说明理由． 【详解】解：点是边的中点， ． 设运动时间为秒，乙机器人的运动速度为． ① 时，， ，解得， 乙机器人的运动速度为； ②， ，时，， ，解得， ， 乙机器人的运动速度为． 综上，乙机器人的运动速度为或 【变式1-10】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【详解】（1）证明：， ， ； （2）， ，， ． 【变式1-11】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 【变式1-12】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【详解】（1）解：当时，， 当时，点P在上，； 故答案为：6；； （2）解：①如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， 故答案为：， ②当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， t的值为； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 题型02 图形变换中的全等三角形 【例2-1】轴对称、平移、旋转变换中的全等三角形 已知，且B、C、D三点共线，连接． (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转　 　度，再向右平移　 　（填“”、“”或“”）的距离，可得． (2)若，周长为24，求： ①线段的长； ②的度数． 【详解】（1）如图， 绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）①∵，周长为24， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例2-2】坐标变换中的全等三角形 如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 【变式2-1】如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可得：，故①正确； ∵，∴，故②正确； 因为平移的距离不定，无法判断，故③错误； ∵，∴，∴，，故④正确； ∴①②④正确，故共3个正确； 故选：B． 【变式2-3】如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、根据平移，，则A正确，不符合题意； B、根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； C、根据平移的性质，，则，那么，即，故C正确，不符合题意； D、根据平移可得，，但与不一定相等，故D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-4】已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∴四边形的面积 ， 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则的长是（　　） A．24 B．20 C．21 D．22 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解答本题的关键． 根据，得到，由此得到的长，选出答案． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故选：． 3.三个全等三角形按下图的形式摆放，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由平角的定义可得，由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： 由图可得：，，， ∴， 由三角形内角和定理可得：， 由全等三角形的性质可得：， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4.如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等求出点的坐标． 先根据点、的坐标求出和的长度，再利用全等三角形的性质得出和的长度，进而求出点的坐标． 【详解】解：已知点， 轴， ， ， ， 又， ，且在第二象限， 点的坐标是， 故选：D． 5．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出 ，根据邻补角即可求解． 【详解】，， ， ， ， ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， 即， ，， ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且．若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了全等三角形的性质，二元一次方程组的应用．由全等三角形的性质求得，，根据题意得到方程组，解之即可求解． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵，， ∴①，②， 得， 解得，即， 故选：A． 8．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在锐角中，D，E分别是边上的点，，且，交于点F．若，则的大小是（    ） A．90° B．95° C．100° D．110° 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】延长交于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题． 【详解】解：延长交于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知图中的两个三角形全等，则 ． 【答案】/58度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质作答即可. 【详解】解：由左图可知边b的对角为， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，，再利用线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算：由全等得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用．由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 故结论①正确，结论④不正确； ∵， ∴， ∴，，结论②正确； ∴， ∴，结论③正确； 故答案为：④． 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】由全等三角形的性质可求得，进而得出，由直角三角形的性质即可求解的度数． 【详解】解：， ， ，即， 在中， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 15．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 16．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度、全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ； （2）∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 【答案】(1)，，； (2)的值为4、的值为1． 【知识点】列代数式、全等三角形的性质 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的性质． （1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，结合全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】（1）解：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动， ∴③， 故答案为：，，； （2）解：，，，， ， 则， ， ． 即的值为4、的值为1． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $