11.1.3 柱体的表面积（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.1.3 柱体的表面积 题型一 柱体表面积公式的直接应用 1．已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆柱的体积公式求出高，再利用圆柱的侧面积公式计算得解. 【详解】设圆柱的高为，则，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：D 2．若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【详解】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A 3．已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【答案】D 【分析】由于底面是菱形，借助菱形的性质进一步分析可求出菱形的边长，进而得到侧面积. 【详解】由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5， 所以侧面积为． 故选：D. 4．在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解. 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 5．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得； 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，，所以， 则，， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 故选：C 6．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，由等面积之比得到，再由体积相同得到，最后由侧面积公式计算可得. 【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为， 则，∴. 又，则， ∴. 故选：B. 7．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，借助该部分面积计算即可得. 【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积， 设圆柱的底面半径为，高为，则，则， 因为新几何体的高为5，所以圆柱的高为5， 即，解得， 所以圆柱的体积为. 故选：C. 8．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正四棱柱底面边长与圆柱底面半径之比已知，由正四棱柱与圆柱的体积相同，求出正四棱柱与圆柱的高之比，代入侧面积公式计算即可. 【详解】依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为， 圆柱的高为，则圆柱的底面半径为， 则有，整理得， 正四棱柱与圆柱的侧面积之比. 故选：B． 9．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 10．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 【答案】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 11．已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，，， ， ∴， ∴， 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 12．如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位数可知，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可得，结合圆柱的侧面积公式可得圆柱的表面积. 【详解】（1）因为，F分别是PA，PB的中点，可知是的中位线，则， 又因为，则， 且平面PCD，平面PCD， 所以∥平面PCD. （2）因为四边形ABCD为长方形则为底面圆的直径，且， 设r为圆柱的底面圆半径，l为圆柱的高，则， 所以圆柱的表面积. 13．如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 【答案】(1)（立方毫米）． (2)（平方毫米）． 【分析】（1）利用棱柱和圆柱的体积公式计算即可； （2）利用棱柱和圆柱的侧面积公式计算即可 【详解】（1）由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． （2）由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． 14．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 题型一 求简单组合体的侧面积与表面积 1．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 2．“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆柱表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积， 即 故选：A. 3．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：的值取3，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：B. 4．中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算两个圆台的母线长，根据圆柱和圆台的侧面积公式和可得该瓷器的侧面积. 【详解】由，， 可得该瓷器的侧面积为． 故选：D 5．某车间生产一种六角螺母，每一个六角螺母是由棱长和高均为的正六棱柱形的工件加工而成，需要在工件底面的中心处打一个圆柱形通孔（如图），若通孔内凹槽忽略不计，则六角螺母表面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设通孔的半径为，利用棱柱、圆柱的表面积公式把六角螺母表面积表示为的函数，再求出函数最大值作答. 【详解】设通孔的半径为，则六角螺母表面积， 因此当时，， 所以六角螺母表面积的最大值为. 故选：A 6．早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一个石磨的表面积，即求得两个石磨的表面积. 【详解】解：由题意可得一个石磨底面积为：底=， 侧= 所以一个石磨的表面积为：， 所以两个石磨的表面积为：. 故选：D 7．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积. 【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，. 故选：D 8．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三视图可还原几何体，分别计算几何体各个面的面积，加和即可得到结果. 【详解】由三视图可知几何体为如下图所示的四棱柱， 其中四边形，为矩形；四边形为平行四边形， 棱柱的高为，，，侧棱长为； 几何体表面积. 故选：B. 9．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为 【答案】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 10．已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为，现要切割加工一个底面半径为、高为的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 .    【答案】 【分析】设底面中心为，设椭圆的长轴端点为，证得平面，得到，进而求得截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，得到截面的面积以及圆柱的表面积，进而求得答案. 【详解】设底面中心为，截面与底面交于线段AB，由圆雉曲线定义可得截面为半个椭圆， 如图所示，设椭圆的长轴端点为，且底面圆周上的点满足DE垂直于底面， 可得， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，截面与底面所成角的平面角是，则， 所以截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为， 所以截面的面积为， 而圆柱的表面积是， 因此所刷油漆的面积为． 故答案为：. 题型二 柱体的展开图与截面问题 1．已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 2．已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 【答案】A 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形的面积和截而为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案. 【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示， 正方体边长为1，即 设，则， ， 同理可得六边形其他相邻两边的和均为， 六边形的周长为定值， 正三角形的面积为. 当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大， 此时,截面面积为， 截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长为定值，面积不为定值. 故选：A 二、填空题 3．若圆柱的侧面展开图为边长为1的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱侧面展开图特征，结合圆柱表面积公式求解即可. 【详解】圆柱的侧面展开图为边长为1的正方形,则侧面积为1．底面半径为， 则，则，底面积为.故表面积为. 故答案为：. 4．已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的等边三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为 . 【答案】/ 【分析】设内接圆柱的底面半径为，结合圆锥轴截面可用表示出内接圆柱的高，代入圆柱侧面积公式中，结合基本不等式可确定最大值，并确定此时圆柱的高. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图所示，   圆锥轴截面是边长为的等边三角形， 圆锥的底面圆的半径，高， 设内接圆柱的底面半径为， 在中，，，， ， 内接圆柱的侧面积（当且仅当，即时取等号），此时， 当圆锥的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为. 故答案为：. 5．已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为，现要切割加工一个底面半径为、高为的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 .    【答案】 【分析】设底面中心为，设椭圆的长轴端点为，证得平面，得到，进而求得截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，得到截面的面积以及圆柱的表面积，进而求得答案. 【详解】设底面中心为，截面与底面交于线段AB，由圆雉曲线定义可得截面为半个椭圆， 如图所示，设椭圆的长轴端点为，且底面圆周上的点满足DE垂直于底面， 可得， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，截面与底面所成角的平面角是，则， 所以截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为， 所以截面的面积为， 而圆柱的表面积是， 因此所刷油漆的面积为． 故答案为：.    6．已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是 . 【答案】 【分析】依题意画出图形，根据面积之比求出弦所对的圆心角，从而求出，设底面半径为、圆柱的高为，根据面积公式得到方程组，解得、，最后根据体积公式计算可得. 【详解】解：因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为， 可知由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦所对的圆心角为， 设底面半径为，则弦， 设圆柱的高为，则， 解得或（舍去）， 所以圆柱的体积. 故答案为： 7．圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【答案】 【分析】设圆柱底面半径为，高为，根据题设建立方程组，求解出，再利用柱体的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，如图所示， 因为圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，且圆柱侧面展开图的面积为， 则，解得， 所以，故圆柱的体积为． 8．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 【答案】（1）应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①16；②，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带 【分析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，将两种礼盒的总造价相比即可得出结论； （2）①直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度； ②求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案. 【详解】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为； ② 由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 9．圆柱的两个底面各取一点，将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形一定为矩形吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用圆柱的侧面展开图求解. 【详解】只有当两点连线与轴平行时， 将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形才是矩形. 10．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．    (1)当时，求的长度； (2)当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）过中点作与该斜截圆柱的底面平行的平面圆，利用二面角得到，在俯视图中求出，即得的长； （2）利用（1）推出的公式，依次代入，，，,,,求得关于的三角函数式，利用二倍角公式和诱导公式化简计算即可； （3）由，可得椭圆面的轮廓线即函数的图象，作出该函数在上的图象，并标上作出对应矩形，即得图中所有的矩形面积之和即待证式左式，最后利用补形求出函数与坐标轴围成的面积，比较即得不等式成立. 【详解】（1）       如图，取CD中点，过作与该斜截圆柱的底面圆平行且全等的圆面， 交于点，与交于点，过点B作底面圆的垂线交平行圆面于点， 由椭圆面过点B且与底面所成二面角为45°，则， 因为所以， 过作GH的垂线，交圆于J、K两点. 过作交JK于点，又由圆M，因为圆M,则, 又因 , 平面 ,故平面 , 因平面,故 ， 所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角， 所以，则为等腰直角三角形，. 设，如图作圆所在平面的俯视图，则， 由，所以，则有， 所以，即， 当时，; （2）当时，，由（1）可得： 所以，…, 则 ； （3）由（1）知，也即是关于的函数， 也即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象， 如图，将绘制于函数图象上，    并以，（）为边作矩形，则矩形的面积即为， 所以即为这些矩形的面积之和. 而函数的图象与轴围成的面积即为该斜截圆柱的半个侧面积， 我们把两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为2的圆柱， 因此该斜截圆柱的半个侧面积为， 所以函数与坐标轴围成的面积为， 又因为无论点是否均匀分布在半圆弧AB上， 这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积. 所以， 即问题得证. 【点睛】思路点睛：解题思路在于作出与底面平行的横截面，利用二面角建立与的函数关系，结合三角函数的图象理解待证式左边的几何意义，最后通过补形求得斜截圆柱的半个侧面积，比较即得证不等式. 11．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】设，根据是面积为6的直角三角形，由求解. 【详解】解：设， 则，． 由题意得 即 解得 从而． 题型三 柱体表面积与其他知识交汇 一、单选题 1．设圆柱的体积为，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱体积公式，把圆柱底面半径为用圆柱体积和母线长表示出来，由公式计算圆柱表面积，利用基本不等式求表面积的最小值，由等号成立的条件求此时圆柱的母线长. 【详解】设圆柱底面半径为，母线长为，有，则， 圆柱表面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以圆柱表面积最小时，圆柱的母线长为. 故选：D 2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据体积公式和表面积公式，整理出表面积关于底面边长的函数，利用导数，求得最值. 【详解】设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V（x>0），S′＝（x3－4V）， 令S′＝0，得x＝，可得下表： 极小值 可知当，表面积最小. 故选：D. 3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（   ） A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 【答案】D 【分析】由题意可先分析出区域和全等，再将区域还原到如图所示圆柱中，由扇形的弧长公式先求出弧长，再根据圆柱的侧面积公式求出，即可得解. 【详解】 由题意可知区域和全等， 且都是底面半径为5m，高为的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中， 可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D 4．在三棱柱中，，，在面的投影为的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由外心性质和面结合三角形全等得，从而得均为正三角形；接着取中点得是二面角的平面角，从而得，进而求出，于是可求出和；再求证平面得，从而得可求出，进而得解. 【详解】设的外心为O，则由题意可得面， 如图，连接，则， 所以，故， 又，所以均为正三角形且， 取中点，连接，则，且，， 所以是二面角的平面角，故， 所以是正三角形，， 所以， 所以； 延长交于点，则由O为的外心和可得， 又由面，面得， 又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以由棱柱性质，所以， 所以该三棱柱的侧面积为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是由三角形全等得到，从而得均为正三角形；关键点2是取中点得是二面角的平面角，且，进而求出，于是可求出和，再求证求出即可得解. 5．某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图可还原几何体的直观图，从而可通过运算得出结论. 【详解】根据题意可知， 该几何体为一个正方体截掉四分之一圆柱（圆柱的上、下底面圆心的连线为正方体的一条棱，圆柱底面圆的半径为正方体棱长的一半）所剩几何体， 所以该几何体的表面积为，    故选：A． 二、填空题 6．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)； 【答案】 【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可. 【详解】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 故答案为：. 7．古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）.现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则 ； .      【答案】 ； . 【分析】设相关的量，利用题所给的条件进行分析计算即可. 【详解】设球的半径为，体积为，表面积为， 则圆柱的底面半径为，高为，球半径为， 由阿基米德得出的结论， 又球与球的半径比为， ∴， ∴. 故答案为:;. 8．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，则平地降雨量为 寸．注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸 【答案】3 【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案. 【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸. 因为雨水深9寸，所以水面半径为寸. 则盆中水的体积为（立方寸）， 所以则平地降雨量等于（寸）, 故答案为： 9．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是 ； 【答案】 【分析】以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，根据线段的比例关系，可得，，再结合圆柱侧面积的公式，求解即可. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且，， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，    设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，则，所以，， 所以内接圆柱的侧面积是关于的开口向下，对成轴为的二次函数，即当时，取得最大值， 故答案为： 10．如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，，，    (1)求证:直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)3种； 【分析】（1）根据异面直线判定定理（过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）进行证明； （2）过点B作于点H，证明平面从而确定二面角的平面角为，利用列方程求k. （3）根据题意，共有三种拼接方法：底面与底面拼接、以平面进行拼接、以平面进行拼接，分别求出三种拼接方法得到的新四棱柱的表面积，比较大小，求出的表达式. 【详解】（1）因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. （2）过点B作于点H，连接,    在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则, 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. （3）两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为，所以不可能为最小值， 令，解得， . 11．如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，设、的纵坐标为.    (1)求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积和表面积关于的表达式； (2)求、的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出的范围，再设出点、的坐标为，的坐标，再求出高，根据圆柱体的体积公式得到关于的代数式，以及表面积关于的代数式即可； （2）根据（1）求得的解析式，配方利用二次函数的性质可求得值域． 【详解】（1）由，当且仅当时取等号，即 又矩形绕轴旋转得到的旋转体是圆柱，设、的坐标为， 则圆柱的底面圆半径为，高为， 令，则，得 所以， （2）由（1），，， ， 当且仅当，即时，， 当或时，，所以； 令，则，， ，在严格递增， 得 所以综上所述：，. 一、单选题 1．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（    ） A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B．该“十字贯穿体”的表面积是 C．该“十字贯穿体”的体积是 D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【答案】C 【分析】对于A：求出，看是否符合勾股定理即可；对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】依题意，不妨设该几何体中心对称， 对于A：在梯形中，，， 则，所以， 即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答. 2．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值范围. 【详解】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况， 将上下底面对接，其全面积为． 边可以合在一起时，其全面积为． 边合在一起时，其全面积为． ②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况， 就是分别让边长为，，所在的侧面重合， 其上下底面积之和都是， 但侧面积分别为， 显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． 由题意得，解得， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏. 3．已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，根据正方体的性质即可求解． 【详解】解：由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段，，上， 设线段上的切点为，面，，圆柱上底面的圆心为，即半径， 则，， 由知，所以， 则圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积． 故答案为：． 4．如图，四棱锥中，平面平面，，. (1)求； (2)若直线与所成角的余弦值为. （i）求二面角的正切值； （ii）是的外接圆上的动点，三棱锥内有一圆柱，圆柱的底面在内，求该圆柱侧面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出线面垂直平面进而得出，由全等得出进而得出即可求的值； （2）（i）先找到二面角的平面角，在中由余弦定理求的值，即可求二面角的正切值； （ii）当在内时，根据相似结合三角形面积公式用，，表示圆柱底面圆半径，再由余弦定理结合基本不等式找到的取值范围，再用表示圆柱的高及其取值范围即可求该圆柱侧面积的最大值；当点在外（包含边界）时，找到圆柱底面圆半径的取值范围即可求该圆柱侧面积的最大值. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接，，由知.     因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以.     又因为，所以，所以，进而， 所以点在以为直径的圆上，所以.     所以.     （2）（i）设，分别为棱，的中点，连接，. 设，分别为，的中点，则，. 所以是直线与所成角或其补角.     又，，，，， 所以.     设，连接，则. 由，平面，得平面，又，平面， 所以，. 所以，.     在中，由，解得， 所以.     由平面，平面，得. 又，，，平面，所以平面. 因为平面，所以，所以是二面角的平面角，     ，即二面角的正切值为.     （ii）由的外接圆直径及正弦定理知.     ①如图2，当在内时，， 设圆柱上底面所在平面与三棱锥的截面为. 当圆柱上底面是的内切圆时，其半径取得最大值. 记，因为，，.     设，，则，， 所以，得.     中，由余弦定理得，. 一方面，； 另一方面，， 即，当且仅当时等号成立.     所以.     设圆柱的高为，则，即，得， 所以圆柱的侧面积 ， 当且仅当且时等号成立.     ②如图3，当点在外（包含边界）时，为钝角. 若圆柱的高为，过作底面的垂面，与截面的交线为， 则圆柱上底面在内部.记内切圆半径为， 此时，，. 综上，圆柱侧面积的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.1.3柱体的表面积 基础达标题 柱体表面积公式的直接应用 求管单组合体的侧面积与表面积 柱体的表面积 能力提升题 柱体的展开图与截面问题 柱体表面积与其他知识交汇 拓展培优题 基础达标题 题型一柱体表面积公式的直接应用 1.已知底面半径为1的圆柱的体积为元，则该圆柱的侧面积为() B.2π c.2 D. 4 A.n 2.若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径r的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是() A.3 B.6 C.2 D.6 3.已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是() A.75 B.250 C.150 D.300 4.在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB=BC=BB,AB⊥BC,点P在四边形AA,B,B内（含边界）运动，当 C,P=√2CC,时，点P的轨迹长度为刀，则该三棱柱的表面积为() A.4 B.10+42 C.12+4W2 D.16+42 5.己知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A'B'C'D',如图所示.若 A'0'=O'B'=B'C'=1,则该直四棱柱的表面积为() 4 B 1/13 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.20+4√2 B.8+2V2+V⑤ C.20+8√2 D.8+4V2+V5 6。若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为S,和S2,侧面积分别为S和S若。=2，则=《) A.√2 B.② C.2W2 D.2 2 4 7.如图，将一个圆柱2nn∈N)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重 新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体 的高为5，则圆柱的体积为() A.5π B.10π C.20π D.30π 8.若正四棱柱ABCD-A,B,C,D,与以正方形ABCD的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆 柱的侧面积之比为() A至 B.√2 c.√2元 D.2π 9.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为 12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 10.将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了_ 11.已知长方体ABCD-A,B,C,D,的长、宽、高的和为384，AC的长为366，则该长方体的表面积 为」 12.如图，直四棱锥P-ABCD内接于圆柱O0',PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 形，E,F分别是PA,PB的中点. B D C (1)证明：EF/1平面PCD; (2)若四边形ABCD为长方形，且AB=6,BC=8,PA=8,求圆柱OO'的表面积. 13.如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六 棱柱底面中心重合.正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为 10毫米. (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积. 14.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面是边长为2√3的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖 去一个圆柱，若圆柱的体积为2π，求： ●0 A C (1)剩余部分几何体的体积： (2)剩余部分几何体的表面积. 3/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一求简单组合体的侧面积与表面积 1.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了() A.108-72√2B.81-54V2 C.54-36√2 D.30-18√2 2.“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图1)，若圆柱的底面 半径为，则组成的牟合方盖的表面积为162.现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个十 字”几何体，如图(2)，则该几何体的表面积为() 图(1) 图(2) A.16π-16 B.16π+16 C.8π-16 D.8π+16 3.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足， 器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆 柱的组合体，其口径22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则黄地绿彩云龙纹盘的侧 面积约为()（附：的值取3，√25.4025≈5） A.300.88cm2B.311.31cm2 C.322.24cm2 D.332.52cm2 4.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似 看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为18cm,底面直 径AB=12cm,CD=20cm,EF=14cm,中间圆台的高为3cm,下面圆台的高为4cm,若忽略该瓷器的厚 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 度，则该瓷器的侧面积约为() 图1 图2 A.375cm2 B.377πcm2 C.379πcm2 D.381πcm2 5.某车间生产一种六角螺母，每一个六角螺母是由棱长和高均为2cm的正六棱柱形的工件加工而成，需要 在工件底面的中心处打一个圆柱形通孔（如图），若通孔内凹槽忽略不计，则六角螺母表面积的最大值为() A.24+12V3+2πcm B.24+12V3+4πcm2 C.24+6V5+2πcm2 D.24+6V3+4πcm2 6,早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水 康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演 变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm,每个圆柱体的高为 30cm,那么这两个圆柱体的表面积之和为() A.4800πcm B.5600πcm2 C.6400πcm D.11200πcm 7.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池"的几何体，该几何体的上下底面平行，且均 为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA,BB,CC,DD,均 与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180°，则该几何体的表面 积为() 5/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B D A.15π+2 B. 15T+4 C.7π+2 2 D.9元+4 8.某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积（单位：cm)是(） 2 正视图 侧视图 俯视图 A.8+4V2 B.8+4V5 C.4+45 D.12 9.中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶其上 部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC 中，若BE=CE=4,∠BEC=90°，则该几何体的表面积为 图1 图2 10.已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为πab(a>b>0),现要切割加工一个底面半 径为23、高为3的圆柱形零件（如图所示），截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为30，然 后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二柱体的展开图与截面问题 1.己知正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，截面BDD,B,是边长为2√2的正方形，则正四棱柱的表面积为() A.4+8√2 B.8+8W2 C.4+162 D.8+16√2 2.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的边长为1，现有一个动平面a,且a平面A,BD,当平面o截此正方体 所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S,周长为1，则() A.S不为定值，I为定值 B.S为定值，1不为定值 C.s与l均为定值 D.S与l均不为定值 二、填空题 3.若圆柱的侧面展开图为边长为1的正方形，则该圆柱的表面积为 4.已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为2的等边三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上， 上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为 5.已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为ab(a>b>0),现要切割加工一个底面半径 为25、高为3的圆柱形零件（如图所示），截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为30，然后 在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为」 2 6.己知圆柱的全面积为80π，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为243，且截面上的两条母线将 圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1：2，则圆柱的体积是」 7.圆柱有一个内接长方体AC,长方体体对角线长是10√2cm,圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的 面积是100mcm2,求圆柱的体积. 8.(1)对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可.现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ B (2)包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎 时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方 式分别为“十字”和“对角”，如下图所示 “十字”捆扎 "对角"捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1： 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相 交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段， 每个侧面各1段)在其表面展开图上均落在同一条直线上. ①求“十字"捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角“捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建 议. 9.圆柱的两个底面各取一点，将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形一定为 矩形吗？ 10.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截 圆柱”.AB是底面圆O的直径，AB=2,椭圆面过点B且垂直于平面ABC,且与底面所成二面角为45°，椭 圆上的点E,(i=1,2,3,…,n在底面上的投影分别为E,且F均在直径AB同一侧. 8/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C En F F2 F (1)当∠A0E=时，求EE的长度： (2)当n=6时，若下图中，点E,E,E,,将半圆平均分成7等分，求 (E,E-1E,F2-1(E,F3-(E,F4-1E,F,-1(E6F。-I; 3)证明：AFEF+FE·E,E2+…+FF,EFn<π· 11.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，D为棱AA,的中点.若截面△BC,D是面积为6的直角三角形，求此 三棱柱的表面积. A C D B 题型三柱体表面积与其他知识交汇 一、单选题 1.设圆柱的体积为"，当其表面积最小时，圆柱的母线长为() A.32πV2 B. 2πV ② 0. 2.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为() A.厅 B.27 C.v D.4 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0,4亚 4V 4p,+o） 0 + S 极小值 3.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历 史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其 中ABCD为矩形，AB=20m,AE,DE,BF,CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m,圆心角为T.已 知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为() 8352 29 F B 图1 图2 A.20πm2 B.100 m2 C.50zm2 D. 3 4.在三棱柱ABC-A,B,C中，CA=CB=CC,AB=√5，G在面ABC的投影为ABC的外心，二面角 A-CC,-B为， 该三棱柱的侧面积为() A.4V5+3 B.75 C.6W3 D.5√3 5.某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为() 2 ←11 A.20+ 2 B.18+元 c20-月 0.22+ 二、填空题 10/13