11.1.2 柱体的体积（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.1.2柱体的体积 题型一 柱体体积的直接应用 1．已知直四棱柱的高为1，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为平行四边形，，，则该直四棱柱的体积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据斜二测画法可知，，结合棱柱的体积公式计算即可. 【详解】根据斜二测画法可知，，即底面四边形为正方形， 则该直四棱柱的体积为． 故选：D． 2．中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可 【详解】因为圆柱的高为，底面直径，底面直径，且两圆台的高都为， 所以该瓷器的容积为 ， 故选：B 3．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出截面图，求出圆柱的底面半径，根据对称得出答案. 【详解】作出截面图，如图，从缺口向桶边作垂线，恰好平分； 因为桶倾斜与底面成，所以; 因为，所以; 因为缺口以上的圆柱部分体积为; 所以多盛的水的体积为. 故选：B.    4．温室大棚设施农业是一种高投入，高产出，高效益的产业，它的出现使得人们能在一年四季吃上夏季丰收的瓜果蔬菜，造福了民生，其发挥作用的关键离不开地膜，原因是地膜的覆盖可以减少地面热量散失，减弱地面辐射的散失来起到保温的作用，若某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，看完说明书后发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空简和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒的半径为（纸的厚度可忽略不计），完整圆筒状地膜的半径为，地膜的厚度为，则一筒完整的地膜的总长度大约为（    ）（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出共有地膜多少层，再求出每层的平均长度，最后计算总长度即可. 【详解】由题意可知，缠绕在纸筒外面的地膜总厚度为， 所以共有地膜层， 又缠绕在纸筒外面的地膜的平均长度为， 所以总长度为， 故选：D 5．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量. 【详解】由条件可得四片瓦的体积（） 则1000名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又， 所以共需粘土的体积为约为. 故选：A 6．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上，下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的倍，且，则该曲池的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，由题意可知，根据可求得的值，再利用柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】不妨设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 由弧长度为弧长度的倍可知，则，即．则， 故该曲池的体积． 故选：B. 7．已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 8．直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【详解】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 9．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据液体体积不变列方程求解可得. 【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为， 由题可知，，则， 所以，则梯形的面积为， 所以直棱柱的体积为， 又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得. 故选：D. 10．已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 11．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是 . 【答案】 【分析】作出圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，得到，在直角中，求得，得到圆柱的底面半径为，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示为圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为， 因为平行于地面，可得， 椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，所以， 在直角中，，即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半， 即为容器内液体的体积为. 故答案为：. 12．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 【答案】 【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 13．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 .（瓶底的厚度不计） 【答案】 【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替, 设瓶的底面积为，分别表示出，，即可求体积之比. 【详解】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积不变， 瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积， 用右图上部分规则的空气体积来代替． 设瓶的底面积为，则，，， 所以. 故答案为： 14．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．    (1)求几何体下半部分圆柱的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】(1) (2)；满足建筑要求 【分析】（1）利用柱体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可，，求值后判断是否满足. 【详解】（1）圆柱的体积， （2）连接，，    根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，， 圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异面直线所成角的正切值为， ，， 有，故该亭子满足建筑要求. 15．如图，直三棱柱中，D是的中点，四边形为正方形. (1)若为等边三角形，，直接写出直三棱柱的体积. (2)求证：平面； (3)在第一问的条件下，直接写出异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由棱柱体积公式直接求解即可； （2）连接，交于点E，再连接，只需证明即可； （3）所求为，只需求出，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）若为等边三角形，，四边形为正方形， 直三棱柱的体积为； （2）如图，连接，交于点E，再连接. 由已知得，四边形为正方形，所以E为的中点， ∵D是BC的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （3）由（2）可知，，故所求为， 若为等边三角形，，四边形为正方形， 所以正三棱柱的三个侧面是全等的三个正方形， 则，， 因为是三角形的中位线， 所以， 所以. 16．已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，求的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积． 【答案】 【分析】确定P的轨迹以点D为球心，半径的球，求出球的体积，说明P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的形状，求出它的体积． 【详解】由题可知为直角三角形，且， 又，， 所以点的轨迹以点为球心，半径为1的球面， 所以其与顶点以及三个面围成的几何体的体积为． 题型一 利用体积求简单组合体的体积 1．如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r，弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用，进而利用体积公式求解即可. 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以， 所以．    故选：C 2．歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成如图中的多面体，其上部为直三棱柱，，四边形为矩形，平面平面，且平面，平面，则正脊末端与戗脊末端两点间距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱性质以及线面关系利用相似比以及勾股定理计算可得结果. 【详解】依题意截取歇山顶右半部分作为示意图，连接，延长分别交于点，延长交于点，如下图所示：    由平面，平面所以可得，且平面， 由正三棱柱性质可得，且， 又可得， 利用勾股定理可得，可得. 故选：D 3．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）    A．23 B．24 C．26 D．27 【答案】D 【分析】作于，设重叠后的与交点为，证明平面，则组合体的体积为，然后求解即可． 【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成， 作于，如图，    因为， 所以， 因为重叠后的底面为正方形， 所以， 在直棱柱中，平面，且平面， 所以， 又因为，平面,平面, 所以平面， 设重叠后的与交点为， 则 则该几何体的体积为． 故选：D． 4．为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】如图，过点作于， 因为，，所以，， 所以圆台的体积为， 又圆柱的体积为， 所以该石墩的体积为， 故选：D. 5．图1是一尊名为“何尊”的西周青铜酒器，其高38.5厘米，器口直径28.6厘米.何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，标志早期“中国”概念形成和发展过程中的关键节点.某同学为估算何尊的容积，设计了一个与之等高、等口径的组合体（图3）.该组合体由一个圆柱和一个圆台构成，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱与圆台的高之比为，圆台的上、下底面积之比为，则该组合体的体积约为（    ） A．11.8升 B．12.7升 C．13.6升 D．14.5升 【答案】A 【分析】由题意可得圆柱与圆台的高及圆台的上、下底面半径，再根据圆柱与圆台的体积公式即可求解. 【详解】因为组合体的高为38.5厘米，圆柱与圆台的高之比为， 所以圆柱的高为厘米，圆台的高为厘米. 因为器口直径28.6厘米，所以圆台的下底面半径为厘米. 因为圆台的上、下底面积之比为， 所以圆台的上、下底面的半径之比为， 所以圆台的上底面半径为厘米， 故圆柱的底面半径也为厘米. 所以组合体的体积为 立方厘米升. 故选：A. 6．如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 7．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的体积减去正方体遮住圆柱的部分求解. 【详解】由图可知，组合体的体积为： ， 故选：A. 8．车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出加工后木块的横截面的形状，据此计算即可得加工后木块的体积. 【详解】加工后木块的横截面的形状如图所示，    其中 O 为横截面的中心， , ，，计算可得 , :, 所以加工后木块的体积为 . 故选： B . 9．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积. 【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径， 则， 取的中点，连接 易知：底面中∥，， 则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故 所以 故答案为： 三、解答题 10．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．    【答案】 【分析】先求出三棱柱的体积，再求出挖去的圆柱的体积，最后用三棱柱体积减去圆柱体积即可得到剩余部分的体积. 【详解】因为底面三角形的边长分别为，所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为， 又该三棱柱的侧棱垂直于底面，高为，所以． 设圆柱的底面圆半径为r，则三角形内切圆半径公式， 故圆柱体积． 所以剩下的几何体的体积． 11．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 【答案】(1)该几何体的体积为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论； （2）证明，由线面平行的判定定理可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， 所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的， 所以该几何体的体积为， （2）连接， 因为P是上的中点，则，是中点， 又Q是AC的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （3）连接， 因为平面平面， 设平面平面，又平面平面， 则，因为是的中点， 所以为的中点，为的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又， 所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 12．在直四棱柱中，，，，，．    (1)求证：平面； (2)若为直角三角形，求四棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明即可； （2）根据直角三角形，利用勾股定理求解棱柱的高，再由体积公式得解. 【详解】（1）因为，平面， 平面，故平面． 在四棱柱中，， 又因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面， 故平面平面，平面， 所以平面． （2）设四棱柱的高为h， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以，同理可得，． 因为，，，，， 所以，． 因为，所以，． 在直四棱柱中，，， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为，为直角三角形， 所以或， 解得． 因为四棱柱的底面积为， 所以四棱柱的体积为． 13．如图，在五面体中，，，平面平面,，，，. (1)证明：平面； (2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面； (3)求该五面体的体积. （注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明 ； （2）应用面面垂直判定定理证明即可；   （3）把几何体补形应用柱体体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面平面,所以平面, 又因为平面且平面平面, 所以,又平面,平面,所以平面． （2）因为，所以为正三角形，所以,又, 所以,又，所以在中，由余弦定理，得,解得或（舍去）， 因为,所以,又,且, 所以平面,又平面,所以平面平面． 因为，所以为正三角形， 因为为正三角形，所以， 由梯形中位线，可得,且,所以,所以四边形为平行四边形， 所以,即,所以,又平面平面, 所以平面,所以平面,又平面,所以平面平面． （3）过G作直线,延长与交于点M,与交于点N,连接． 因为G为的中点，所以且,所以四边形为平行四边形， 所以,同理,所以． 又,所以,所以， 所以多面体为三棱柱过M作于H点，因为平面平面,所以平面, 所以线段的长即三棱柱的高，在中， ， 所以三棱柱的体积为． 因为三棱锥与的体积相等，所以所求多面体的体积为． 题型二 利用体积公式巧求非柱体的体积 一、单选题 1．在如图五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离为1.若，，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将五面体补成正三棱柱，求出三棱柱的体积即可得到结果. 【详解】 如图，延长至点，延长至点，延长至点，使得， ∵棱AD，BE，CF互相平行，∴，故五面体为三棱柱，且体积为原五面体体积的2倍， ∵AD，BE，CF两两之间距离为1，， ∴三棱柱为正三棱柱，底面是边长为1的等边三角形，高为4， ∴三棱柱的体积为， ∴该五面体的体积为. 故选：D. 2．图1是由矩形ABFG，直角三角形ABC和菱形BCDE组成的平面图形，其中，，将矩形ABFG，菱形BCDE分别沿AB，BC折起，使得BE与BF重合，连接DG，得到如图2所示的五面体，则该五面体的体积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】做辅助线，根据题意可证平面，进而求相应长度，根据面面垂直可得平面，即可得体积. 【详解】连接， 由题意可知：，，平面， 所以平面， 且平面，可知， 因为为等边三角形，则，可得， 且， 取的中点为，则，可得， 过作，垂足为， 由等面积法可得，则， 因为∥，可得， 因为平面，平面，可得平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 所以该五面体的体积为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法 1.利用线面垂直的判定定，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； 2.利用面面垂直的性质定，把证明线面垂直转化为证明面面垂直； 3.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等． 3．如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，交于，连接，取的中点，连接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形，根据边长关系求出梯形的面积即可得到答案. 【详解】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接，    设， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;    则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故选：A 【点睛】方法点睛：立体几何中找截面的步骤一般分为三步： 第一步，找截点： 方式1：延长截小面上一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点； 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体棱于截点； 第二步，连截线：将各截点收尾相连，围成截面； 第三步，围截面：连接同一平面内的两个截点，形成截线. 4．如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱内部），已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值. 【详解】 设R为圆上任意一点，过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，设与圆柱的下底面所成的角为，则，所以，即，当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，所以， 令，所以， 所以，另，解得两根 所以， 所以在时单调递减， 所以． 故选：B． 【点睛】考查运用导数求最值的方法；先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值. 5．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 6．国内现存两件国宝级文物——战国宴乐水陆攻战纹铜壶，分别藏于故宫博物院与四川博物馆.铜壶上的图像采用“嵌错”制作工艺，铜壶身上的三圈纹饰，将壶身分为四层.假设第一层与第二层分别看作圆柱与圆台，且圆柱与圆台的高之比为，其正视图如图2所示，根据正视图，可得圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为（    ）（注：）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱和圆台体积公式直接求解即可. 【详解】由题意知：圆柱的底面直径为，设高为；圆台的上下底面直径分别为和，圆柱与圆台的高之比为，则高为， 圆柱的体积； 圆台的体积， 圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为. 故选：B. 7．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球对应，应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个底面半径为，高为的圆柱，从中挖去一个圆锥，根据祖暅原理可得出椭球的体积为几何体体积为倍. 【详解】椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造一个底面半径为，高为的圆柱， 然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥， 根据祖暅原理得出椭球的体积. 故选：C. 二、填空题 8．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）盛水的部分始终呈棱柱形． （2）水面所在四边形的面积为定值． （3）当容器倾斜如图②所示时，为定值． （4）当容器倾斜如图③所示时，为定值． （5）当容器倾斜如图③所示时，当时，取最小值． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】（1）（3）（4）（5） 【分析】根据题意，结合棱柱的特征、体积公式逐个判断即可. 【详解】对于（1），由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有， 且平面平面，故盛水的部分始终呈棱柱形（四棱柱或三棱柱），故（1）正确； 对于（2），由于固定，易知，且平面，所以平面， 又平面，所以,故为矩形，则， 的长随着倾斜度的变化而变化，故的面积是变化的，故（2）错误； 对于（3），当容器倾斜如图②所示时，四棱柱的体积保持不变， 即，又均为定值，故为定值，故（3）正确； 对于（4），当容器倾斜如图③所示时，三棱柱的体积保持不变， 即，又是定值，则为定值，故（4）正确． 对于（5），由（4）为定值，，当时，取最小值．故（5）正确； 故答案为：（1）（3）（4）（5） 9．如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8 【分析】求出经过输液管的液体总体积即输液瓶内药品总体积，由圆柱体积公式可得答案. 【详解】输液管内液体的流量速率与管道半径的函数关系， 其中，可得，2h后输液完毕， 则经过输液管的液体总体积， 即输液瓶内药品总体积为， 根据圆柱体积可知，解得． 故答案为：8. 三、解答题 10．如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； (2)若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） 【分析】（1）由和得到线面平行，进而得到面面平行； （2）（Ⅰ）先得到⊥，且，⊥，又，所以⊥平面； （Ⅱ）可视作直四棱柱，作出辅助线，求出等腰梯形的面积，利用柱体体积公式进行求解. 【详解】（1），平面，平面， 所以平面， 又为正方形，故，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）（Ⅰ）正方形的平行投影有四种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段， 显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形， 即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足⊥，且， ⊥， 又，，平面， 所以⊥平面， （Ⅱ）可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作⊥，⊥于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故. 11．如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求四棱柱的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）在上取点，使得，连接，即可说明，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，再根据平行关系即可得证； （2）根据柱体的体积公式计算可得； （3）作平面，垂足为，连接，则是直线与平面所成的角，利用等体积法求出，即可得解. 【详解】（1）在上取点，使得，连接，因为，， 所以，， 又，即， 所以四边形是正方形.    因为，，所以. 因为，，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面， ，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，且与相交，所以平面. 因为平面平面，，所以平面. （2）由题意可得梯形的面积， 则四棱柱的体积. （3）作平面，垂足为，连接， 则是直线与平面所成的角， 由题意可得的面积， 由（1）可知平面， 所以三棱锥的体积， 因为，且，所以. 由（1）可知平面，平面，所以. 又，，所以. 在中由余弦定理可知， 则， 所以，则的面积， 故三棱锥的体积. 因为，所以，解得， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 一、多选题 1．已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（   ） A． B．三棱柱的体积为 C．与所成的角的余弦值为 D．平面截三棱柱所得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性计算结合数量积的运算律可得，可判断A；利用线面垂直作出三棱柱的高，再用三棱柱体积公式计算即可判断B；利用定义作出异面直线所成角，结合余弦定理计算出角的余弦值可判断C；作图确定截面为梯形，利用公式求其面积可判断D. 【详解】对于选项A，，， ， ,故选项A正确. 对于选项B，连接， 底面是边长为2的正三角形，，则， 和都是边长为等边三角形， 为中点，， 在中，利用余弦定理可得，， 过点作于点， 由上可知，平面，平面， 又平面，则， 由，，平面，可得平面， 所以就是三棱柱的高，且, 又，所以三棱柱的体积，故选项B错误. 对于选项C， 连接，在中，，利用余弦定理可得，解得， 延长至点，使，连接，则且， 即为与所成的角（或其补角）， 在中，,利用余弦定理可得，， 则在中，，，利用余弦定理可得，故选项C正确. 对于选项D，连接， 分别为的中点，, 四点共面，则平面截三棱柱所得的截面即为梯形， ,为等腰三角形， 底边上的高，即梯形的高为， 梯形的面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 二、填空题 2．已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为 ；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为 ． 【答案】 【分析】水面恰好经过三个孔时，直接作出截面，求剩余三棱柱的体积即可；当水面只过时，作出截面，剩余部分为三棱台，设，求处三棱台体积的最小值即可. 【详解】设为中点， 因为都是中点，所以共线， ，即四点共面，即水面为平面， 剩余三棱柱，体积为， 则装水最大体积为， 当水面只过时，过作直线与交于点（在点下方）， 与交于点，水面交于， 平面平面，平面平面， 平面平面，， 所以剩余部分为三棱台，设， 又为中点，，所以， 又， 所以， 当时取等，所以取得最小值，此时点在点B处，点E在点处， 剩余部分为三棱锥，台体体积公式仍适用， 所以此时可装水的最大体积为. 故答案为：. 3．如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则 ，该正三棱柱的体积为 . 【答案】 1 / 【分析】先根据平行平面的性质可得为的中点，同理可确定与棱的交点为棱的中点，从而可根据平行的性质得到各平面的分布，结合距离为1可求棱长，故可求体积. 【详解】由题设，过点作平面与交于点，且到平面的距离相等， 故为的中点，故， 由正三棱柱的对称性，不妨设与交于点， 而平面，故与棱的交点为棱的中点， 因为，则与平面的交线与平行，且与棱有交点， 故过的平面分布如图所示. 因为的距离均为1，故为的三等分点，且. 设该正三棱柱的底面边长为，则，，则 由正三棱柱可得平面，过点作的垂线，垂足为， 因为平面，平面，故， 而，，平面，故平面， 故为之间的距离，故， 所以，所以体积为. 故答案为：1，. 【点睛】关键点点睛：立体几何中与平面有关的计算问题，注意根据过关键点的平面的位置关系确定其他平面的位置关系. 4．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 . 【答案】/ 【分析】构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可. 【详解】构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边为2，1 若底面积相等，则，解得：，下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，所以，所以截面面积为，由右图得到，所以，所以截面面积为，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体积， 故答案为： 5．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 . 【答案】 【详解】试题分析：底面周长为3，所以正六边形的边长为.则六边形的面积为.又因为六棱柱的体积为.即.由于六棱柱的顶点都在同一个球面上，所以球的半径为.所以球的体积.故填. 考点：1.球的内接几何体计算.2.解三角形的知识.3.空间想象能力.4.棱柱的体积公式. 三、解答题 6．如图所示，已知六面体中，四边形是边长为2的正方形，且，平面，直线与平面所成角为． (1)求证：平面平面； (2)已知，求平面和平面夹角的余弦值； (3)平面和平面的夹角为，且，求六面体体积最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理得到，可得平面，最后根据面面垂直的判定定理可得结论. （2）构造二面角的平面角，利用解三角形的方法求二面角平面角的余弦. （3）用表示出六面体中各线段长度，借助三角函数的性质求体积的最大值. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，又， 平面，，所以平面. 又平面，平面，平面平面， 所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）如图： 易证，所以四边形为平行四边形，且， 作平面平面，分别交，于点，，则，. 因为平面平面，所以就是直线与平面所成的角，所以. 又平面，平面， 所以，，所以即为平面与平面所成锐二面角的平面角， 也就是平面与平面的夹角. 在中，由正弦定理可得：，所以. 即平面和平面夹角的余弦值为. （3）因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，， 所以平面平面. 又，且平面. 所以六面体为直四棱柱. 因为平面和平面的夹角为，即. 在中，由正弦定理可得：， 即，所以，. 所以四边形的面积为： . 又六面体体积为： （当时取等号）. 即六面体体积的最大值为：. 7．如图所示，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，而平面，可证平面平面； （2）由可得，从而得出，于是，设，过作于，连接，则由∽得出，从而，进而可得解. 【详解】（1）证明：如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以， 又是正三角形的边的中点，所以，又，平面，所以平面，而平面， 所以平面平面． （2）因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，和是平面内的两条相交直线，所以平面，平面，所以． 由题可知，，所以． 在中，，所以． 故三棱锥的体积． 设, 过作于，连接， ∵∽,∴, ∴． ∵，． 三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.1.2柱体的体积 基础达标题 柱体体积的直接应用 利用体积公式求简单组合体的体积 柱体的体积 能力提升题 利用体积公式巧求非柱体的体积 拓展培优题 基础达标题 题型一柱体体积的直接应用 1.已知直四棱柱的高为1，其底面四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为平行四边形A'B'CD', ∠D'AB'=45°，AB-2AD'=2,则该直四棱柱的体积为() 4 8 A.3 B.3 C.2 D.4 2.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该瓶器可以 近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为6Cm)的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知 cm,底面直径1B=10cm,底面直径 20cm CD=20cm,EF =16cm 圆柱的高为 ，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷 器的容积为() 图1 图2 669πcm3 1338πcm3 650zcm3 1300mcm3 A. B. C. D. 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度， 而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度某同学 认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水根据该同学的说法， 若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方 式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的 长轴则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为() 609 图① 图② A.2π B.3π C.4π D.6π 4.温室大棚设施农业是一种高投入，高产出，高效益的产业，它的出现使得人们能在一年四季吃上夏季 丰收的瓜果蔬菜，造福了民生，其发挥作用的关键离不开地膜，原因是地膜的覆盖可以减少地面热量散失， 减弱地面辐射的散失来起到保温的作用，若某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，看完说明书后发现 该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空简和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒的半径为3cm (纸的厚度可忽略不计)，完整圆筒状地膜的半径为5cm,地膜的厚度为0.lmm,则一筒完整的地膜的总 长度大约为()（π≈3） A.28000mm B.36000mm C.37000mm D.48000mm 5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的 方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外 圆的直径为20cm,高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦， 全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为()（参考数据：π≈3.14） 片瓦 分割线 A.1.3m 8.1.5m 1.8m3 2.2m C. D. 6.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上，下底面均为 扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）·现有一个如图所示的曲池，其高为3,14士底面， 底面扇环所对的圆心角为2，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且CD=2,则该曲池的体积为(） B D 9π A.2 B.6元 。 D.5元 7.已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是(） A.2π B.5元 C.8π D.π 8,直三棱柱1BC-4BC中，从=4C=4,8C=5AB14C 则该棱柱的体积为() A B A A.8 B.12 C.24 D.48 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为”，若侧面 ABB 水平放置时，液面 ABC 高为，若底面C 水平放置时，液面高为3，则=() C B A A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为一· 11.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液 面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是_ M 1309 12.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题某工程要完成 ABCD-ABC D 的“堑”型沟渠的士方作业（如图），其中AD,BC与平面A BB 一个形如直四棱柱 所 成的角均为3，AB11DC,4B=4米，DC=8米，AA=20米，则需要挖土一立方米. D C B B 13.如图，一个啤酒瓶的高度为30cm,瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度 20cm,则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为一，（瓶底的厚度不计） 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30cm 12cm 14.亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉.假设 P-0与一个圆柱 00 P-O 我们把亭子看成由一个圆 构成的几何体2.一般地，设圆锥中母线与底面所 成角的大小为a,当20°<a<35°时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱 高为3米，底面半径为2米. E (1)求几何体下半部分圆柱的体积： (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切 值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 15.如图，直三棱柱 BC-AB,C中，D是BC的中点，四边形 BB,A为正方形， 6 D C (1)若△MBC为等边三角形，BC=4,直接写出直三棱 ABC-AB,C的体积。 平面gD 2)求证：4C/ 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在第一问的条件下，直接写出异面直线D与4C 所成角的余弦值， ABCD-ABCD 16.己知直平行六面体 的各条棱长均为3，∠BMD=60°，长为2的线段MW的一个端点 在DD上运动，另一端点N在底面MBCD上运动，求MN的中点'的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个 M 面所围成的几何体的体积. B 能力提升题 题型一利用体积求简单组合体的体积 1.如图，曲面直三棱柱中，AB=AC=3, ∠BAC= 3,且直线AB,AC分别与圆弧BC相切于点B,C, 若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为() B A.6、2元 3 8.127x 3 c.633 3 D.12-2W3元 2.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成如图 中的多面体，其上部为直三棱柱1BC-AB,C,4B=4C=25,BC=4,M4=18,四边形EFFE为矩形， PF6∥平面BCCA,且EEC平面4B84,FFC平面1CC4,BE=CF=C5=BB, 平面 平面 平面 平面 EE1=20,EF=6 ，则正脊未端A与戗脊末端E两点间距离为() 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.17 c.3V2 D.V19 3.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶 角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为() A.23 B.24 C.26 D.27 4.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩.已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而 成，其轴截面如下图所示，其中4B=2CE=2EF=40cm、AC=10W2cm 则该石墩的体积为() B C D E 10000 11000元 13000 A. -cm' 3 B. -cm 3 C.4000πcm D. 3 -cm3 5.图1是一尊名为“何尊”的西周青铜酒器，其高38.5厘米，器口直径28.6厘米.何尊内底铭文中出现了 “宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，标志早期“中国”概念形成和发展 过程中的关键节点某同学为估算何尊的容积，设计了一个与之等高、等口径的组合体（图3），该组合体由 一个圆柱和一个圆台构成，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱与圆台的高之比为3：2，圆台的 上、下底面积之比为9：25，则该组合体的体积约为() 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 今鄉色 或 图1 图2 图3 A.11.8升 B.12.7升 C.13.6升 D.14.5升 6,如图所示，在三棱柱AC-48G中，若点EF分别满足正-号孤，正号C,平面EBC将三 3 棱柱分成体积为 的两部分，则 :V=() B V A.19:8 B.2:1 c.17:10 D.16:11 7.三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉 琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部为棱长是3cm的正 方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为() 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(27-7cm 4 B.（24+7m c.66-经em D. 8.车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随 着生产力的进步，现在常借助车床实施加工.现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为6cm,高为 30©m.将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于 离旋转轴1 v3cm 处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为()cm, A.12w25+)B.12w65+C.202+。20+） 9.如图，直三棱柱 ABC-ABC 的六个顶点都在半径为1的半球面上， AB=AC,侧面 BCCB,是半球底 ABC-ABC 面圆的内接正方形，则直三棱柱 的体积为一 A B B 三、解答题 10.如图，三棱柱 BC-48G的侧棱垂直于底面，其高为2c,底面三角形的边长分别为3cm,4cm.5cm. 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积”. B B ABCD '(及其内部)以B边所在直线为旋转轴旋转 20 11.如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 得 到的.已知 D=2,AB=4,P是CE上的中点，2是4C的中点，BP与CE交于点O. A B E <- (1)求该几何体的体积： 0911 (2)求证： 平面ABEF; B)若M是DF OMO/ 上的一点，且满足平面 平面MBEF,求sin∠FMM 的值. 12.在直四棱柱 BCD-4BCD中，B∥DC,ABLAD,AB=2,AD=3,DC=4 D A B D C AB//DCC D (1)求证： 平面 10/19