11.1.2 柱体的体积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.1.2 柱体的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 考点二 柱体的体积 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高) V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 1、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 2、圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （cm3） 3、如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm， 下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去 一个直径为2 cm的圆柱，则此空间图形的体积为 4、已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________ 5、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 6、中国古代数学瑰宝（九章算术）中记载了一种称为“曲池”的几何体， 该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）； 现有一个如图所示的曲池，其中、、、是柱体的高， 底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，， 则该曲池的体积为（ ） A． B． C． D． 7、若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为__________ 8、一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则它的体积为 9、一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为_______ 10、如图所示，已知多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直， 平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC， AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1， 则该多面体的体积为________. 11、南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 10、如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱，若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点，当底面ABC水平放置时，则液面高为 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.1.2 柱体的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 考点二 柱体的体积 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高) V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 1、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 【提示】注意：轴截面； 【答案】2π； 【解析】设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2； 又∵S侧＝4π，∴a＝2，∴V圆柱＝π×12×2＝2π； 【说明】本题结合圆柱的体积公式，考查了待定系数法； 2、圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （cm3） 【提示】注意：圆柱的侧面展开图； 【答案】 cm3或 cm3； 【解析】当圆柱的高为 8 cm时， V＝π××8＝(cm3)； 当圆柱的高为 12 cm时，V＝π××12＝(cm3)； 【说明】本题结合圆柱的体积公式，与分类讨论进行了交汇； 3、如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm， 下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去 一个直径为2 cm的圆柱，则此空间图形的体积为 【提示】注意通过“割补”进行转化； 【答案】(48＋22π)(cm3) 【解析】V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此空间图形的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． 【说明】本题考查了柱体体积公式与割补法； 4、已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________ 【提示】注意柱体体积公式与空间位置关系的交汇； 【答案】 【详解】由正四棱柱的结构特征得：. 所以在中，故底面边长. 所以正四棱柱的体积为. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了根据正四棱柱的结构特征求出棱长，应用棱柱体积公式求其体积； 5、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 【提示】注意长方体即为四棱柱； 【答案】B； 【解析】长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60 cm3； 【说明】本题主要考查了柱体的体积公式；揭示柱体体积公式源于“长方体体积公式”； 6、中国古代数学瑰宝（九章算术）中记载了一种称为“曲池”的几何体， 该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）； 现有一个如图所示的曲池，其中、、、是柱体的高， 底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，， 则该曲池的体积为（ ） A． B． C． D． 【提示】由于几何体是柱体，上下底面是扇环，因此只需要求该扇环的面积，柱体的高即可得到体积. 【答案】B； 【解析】依题意得，不妨设弧所在圆的半径为R，弧所在圆的半径为r， 由弧长度为弧长度的2倍，可知，又，∴，， 故该曲池的体积；故选：B； 【说明】本题主要考查了对“曲池”的几何体的阅读理解与转化； 7、若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为__________ 【提示】注意：利用体积公式与待定系数法； 【答案】； 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝，故圆柱的体积为V＝πr2h＝π×2＝； 【说明】本题注意考查了圆柱的体积与侧面展开图；当然，若由“正方形”推广为长方形，则注意讨论； 8、一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则它的体积为 【提示】注意理解正三棱柱及其结合特征； 【答案】； 【解析】因为一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形, 所以这个正三棱柱的底面是边长为2 cm的等边三角形，这个正三棱柱的高为6 cm， 所以它的体积为(cm3)； 答案：cm3 【说明】本题主要考查了正三棱柱的体积公式及其待定系数法； 9、一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为_______ 【提示】注意：减少计算量；； 【答案】； 【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6， 所以长方体的体积V＝abc＝； 【说明】以上解法主要体现了整体计算的优点； 10、如图所示，已知多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直， 平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC， AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1， 则该多面体的体积为________. 【提示】注意阅读理解与转化； 【答案】4 【解析】解法1：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行， 如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH， 即把多面体分割成一个直三棱柱DEH－ABC和一个斜三棱柱BEF－CHG； 由题意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2， V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC－DEFG＝2＋2＝4. 解法2：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行， 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体， 显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半． 又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8， 故所求几何体的体积为V多面体ABC－DEFG＝×8＝4； 【说明】本题用两种解法揭示了“割补”在解答简单几何体中的巧用； 11、南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【提示】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论； 【答案】C 【解析】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为，长方体的底面相邻两边分别为， ，当且仅当时，等号成立，；故选；C； 【说明】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题； 10、如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱，若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点，当底面ABC水平放置时，则液面高为 【提示】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高； 【答案】6； 【解析】设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故； 【说明】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$