11.1.3 柱体的表面积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 11.1.3 柱体的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱柱的侧面积、 表面积 侧面积：所有侧面的面积之和； 表面积：两个底面积再加上所有侧面积的面积； 考点二 直棱柱的表面积 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 考点三 圆柱的表面积 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 1、棱长为3的正方体的表面积为 2、一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是 3、一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_______________ 4、正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________． 5、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 6、正方体表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为 8、矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为 9、已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，求这个棱柱的侧面积（cm2） 10、有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度。 11、现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 12、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2， D、E是CC1，BC的中点，AE=DE； （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积； =； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 11.1.3 柱体的表面积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 棱柱的侧面积、 表面积 侧面积：所有侧面的面积之和； 表面积：两个底面积再加上所有侧面积的面积； 考点二 直棱柱的表面积 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 考点三 圆柱的表面积 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 1、棱长为3的正方体的表面积为 【答案】54； 【解析】正方体共6个面，且每个面都是边长为3的正方形，表面积为6×32＝54； 2、一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是 【答案】6a2＋3a2 【解析】正六棱柱的表面积为6a2＋3a2； 3、一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_______________ 【答案】4πS； 【解析】设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR； 故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS； 4、正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________． 【答案】2 【解析】将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上， 连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2. 5、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 【提示】注意知道圆柱的侧面积计算公式与表面积的定义； 【答案】B； 【解析】设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π； 【说明】本题考查了圆柱的表面积公式，轴截面概念与待定系数法； 6、正方体表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D； 【解析】S表=6a2,S表′=6a′2=2S表,所以a′=a，V=a3,V′=a′3=2a3=2V；故选D. 7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为 【答案】(2π＋1)∶2π； 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π； 8、矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为 【答案】1∶1； 【答案】S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2； 9、已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，求这个棱柱的侧面积（cm2） 【答案】112或72 【解析】设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm， 则 解得或 ∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72 (cm2)． 10、有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度。 【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)， 由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度； AC＝＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm； 11、现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 【提示】注意：直四棱柱、菱形的几何特征； 【解析】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. ∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20. ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40； 【说明】棱柱的表面积求法 （1）多面体的表面积是各个面的面积之和. （2）棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 12、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2， D、E是CC1，BC的中点，AE=DE； （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积； 【提示】注意：正三棱柱的定义与几何特征； 【解析】（1）设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x, ∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC. 又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC， ∴AE⊥侧面BB1C1C； 在Rt△AED中，由AE=DE， 得，解得， ∴此正三棱柱侧棱长为； （2）设正三棱柱ABC-A1B1C1表面积为S、侧面积为S侧、底面积为S底,则S=S侧+S底, 又S侧=， S底=，所以，S=S侧+S底=； 【考点】求简单几何体的侧面积、表面积应注意什么？ 【提示】无论求旋转体的侧面积还是多面体的侧面积、表面积，应明确展开图的形状，再求解侧面积、表面积公式中所需要的基本量；对于旋转体，应在各旋转体的轴截面中，利用关键的直角三角形或直角梯形求解各基本量；对于多面体，关键是利用直角三角形或直角梯形，求出侧面的高； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$