精品解析：河北省石家庄市正定县新区第一中学2025-2026学年上学期九年级数学开学考试卷

新区一中2025-2026学年度开学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，共36分） 1. 在共有l5人参加的演讲加比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前八名，只需了解自己的成绩以及全部成绩的 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 小明在纸上写下一组数字“”这组数字中2出现的频率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（ ） A. 7 B. C. D. 7. 关于函数，下列结论中，正确的是（ ）． A. 函数图象经过点 B. 函数图象经过二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 8. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 9. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D、E分别是的中点，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 13. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为______． 14. 如图,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. 15. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1）______度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为______（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程及计算 （1）； （2）． （3）计算 17. 正定县某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）；A．合唱社团；B．足球社团；C．沙盘社团；D．文学社团，该校为了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次参与调查的学生共有______人；将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“足球社团”所对应的百分比为______，“合唱社团”所对应的圆心角度数为_____． （3）如果该校有5000名学生，那么请估算该校参加文学社团的学生约有多少人？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点，其中点C为直线与y轴的交点． （1）求直线的函数表达式． （2）求的面积． 19. 如图，是平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）连接，若，求证：四边形为矩形； （2）在（）条件下，当再满足一个什么条件时，四边形为正方形． 20. 已知． （1）当为何值时，是的正比例函数？ （2）当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？ 23. 【问题提出】（1）如图1，是正方形边上一点，是等腰三角形，．若．交于点，求的大小． 【知识拓展】（2）如图2，是菱形边上一点，是等腰三角形，．若，交于点，探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新区一中2025-2026学年度开学质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，共36分） 1. 在共有l5人参加的演讲加比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前八名，只需了解自己的成绩以及全部成绩的 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名． 【详解】解： 15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数 所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数．中位数需要排序，因此与名次有关． 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 3. 小明在纸上写下一组数字“”这组数字中2出现的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：∵一共有个数字，其中数字出现了次， ∴这组数字中出现的频率为， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 5. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、方程整理得：，未知数最高次数是1，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 关于函数，下列结论中，正确的是（ ）． A. 函数图象经过点 B. 函数图象经过二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：关于函数， A. 当时，，则函数图象经过点，故该选项不正确，不符合题意； B. ，函数图象经过一、三象限，故该选项不正确，不符合题意； C. ，则y随x的增大而增大，故该选项正确，符合题意； D. 当时，有，故该选项不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 8. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 9. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得： ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 10. 如图，在中，D、E分别是的中点，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据中位线定理得到，，得到，，即可求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ D、E分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， 所以A，B，C正确， D错误； 故选D． 11. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵点在第四象限 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解． 13. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. 【答案】44° 【解析】 【详解】试题分析：连接OB，根据圆的基本性质可得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果. 连接OB ∵∠OAB=46°，OA=OB ∴∠AOB=88° ∴∠ACB=44°. 考点：圆的基本性质，圆周角定理 点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注. 15. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1）______度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为______（结果保留根号）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解； （2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解． 【详解】解：（1）作图如下： 根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得， ， 故答案为：； （2）取中间正六边形的中心为，作如下图形， 由题意得：，,， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， 由图1知， 由正六边形的结构特征知：， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程及计算 （1）； （2）． （3）计算 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟练掌握了解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键． （1）利用因式分解法，进行计算，得到答案． （2）利用配方法，进行计算，得到答案． （3）将特殊角的三角函数值代入进行计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： . 17. 正定县某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）；A．合唱社团；B．足球社团；C．沙盘社团；D．文学社团，该校为了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次参与调查的学生共有______人；将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“足球社团”所对应的百分比为______，“合唱社团”所对应的圆心角度数为_____． （3）如果该校有5000名学生，那么请估算该校参加文学社团的学生约有多少人？ 【答案】（1） 此次调查的学生人数为80人； 补充条形统计图为： （2）20；108 （3）2000 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联, 正确读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由沙盘社团的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，然后用总数分别减去合唱，足球沙盘人数得出文学人数补全统计图，即可解决问题； （2）用“足球社团”的人数除以总人数即可得解；由乘以“合唱社团”的人数所占的比例即可； （3）用2000乘以文学社团的学生所占总体的比即可得解． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人）， 文学社团的人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“足球社团”所对应的百分比为；，， “合唱社团”所对应的圆心角度数为， 故答案为：20；108； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估算该校参加文学社团的学生约有2000人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点，其中点C为直线与y轴的交点． （1）求直线的函数表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先利用解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， 设直线的解析式为， 点，在图象上， ， 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴， ∴． 19. 如图，是平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）连接，若，求证：四边形为矩形； （2）在（）条件下，当再满足一个什么条件时，四边形为正方形． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，平行四边形、矩形、正方形的证明，熟练掌握基本知识点是解题关键． ()根据全等三角形的对应边相等可证得，由全等三角形的对边相等得出，由，得出四边形为平行四边形，证出，即可得出四边形是矩形； （）由等腰三角形的三线合一性质得出，得出四边形是菱形，即可得出结论四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，四边形为正方形； 理由如下：∵，为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形， ∴四边形为正方形． 20. 已知． （1）当为何值时，是的正比例函数？ （2）当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） ①(是正数）； ②购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同列分式方程解答； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元，根据单个利润乘以数量求出函数解析式，由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得到，求出的取值范围； ②根据一次函数的性质解答 【小问1详解】 解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； 【小问2详解】 ①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 22. 如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？ 【答案】这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过点作于，可求出，千米，在中，计算出的长，若与的大小关系，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在点处作表示正北方向，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（千米）， 在中， ∵，， ∴， ∴这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能． 【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，掌握方位角的角度知识，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 23. 【问题提出】（1）如图1，是正方形边上一点，是等腰三角形，．若．交于点，求的大小． 【知识拓展】（2）如图2，是菱形边上一点，是等腰三角形，．若，交于点，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，能够综合运用这些性质是解题关键． （1）过点F作交延长线于H，证明，然后根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点F作交延长线于H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $