27.2.3.2切线--切线长定理及三角形的内接圆 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦切线长定理及三角形内切圆，通过抖空竹、悠悠球旋转抽象图形导入，衔接上节课圆上一点作切线知识，以问题链引导学生探究圆外一点作切线、切线长定义与区别等，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，用数学思维推理验证，通过情境引入激发兴趣，互动探究（如折叠对称、全等证明）培养逻辑推理，典例（铁环半径测量、四边形切线长关系）与对比表格（外心内心）强化理解。采用探究式教学，设分层练习，助力学生发展抽象能力与模型意识，教师可提升课堂互动及知识落实效率。

第 1 页：封面 标题：27.2.3.2 切线 —— 切线长定理及三角形的内切圆 副标题：从切线长度关系到三角形内接圆的几何应用 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 掌握切线长定理的内容与推导，能运用定理解决线段相等、角度平分问题 理解三角形内切圆、内心的定义，明确内心的核心性质（角平分线交点、到三边等距） 能结合切线长定理计算三角形内切圆半径，提升几何综合推理与计算能力 二、知识衔接（回顾旧知） 上节课核心：切线的判定定理（过半径外端且垂直半径）、性质定理（切线垂直过切半径），及 “切线与半径垂直” 的核心结论； 思考提问：从圆外同一点引两条切线，这两条切线的长度有何关系？三角形能否有一个与三边都相切的圆？（引出切线长定理与内切圆）。 第 3 页：一、切线长定理（核心：“等长 + 平分”） 1. 基本概念：切线长的定义 从圆外一点向圆引切线，这点与切点之间的线段长度叫做该点到圆的切线长（注意：切线是直线，切线长是线段长度）。 2. 定理的推导与表述 推导过程：如图，设\( P \)是\( \odot O \)外一点，\( PA \)、\( PB \)分别切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，连接\( OA \)、\( OB \)、\( OP \)。 由切线性质定理：\( OA \perp PA \)，\( OB \perp PB \)（切线垂直过切半径），故\( \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ \)； 在\( \text{Rt}\triangle OAP \)与\( \text{Rt}\triangle OBP \)中，\( OA = OB \)（同圆半径相等），\( OP = OP \)（公共边）； 故\( \text{Rt}\triangle OAP \cong \text{Rt}\triangle OBP \)（HL 全等判定），得\( PA = PB \)，\( \angle APO = \angle BPO \)。 定理表述：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3. 定理的几何语言与推论 几何语言：如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，则：\( PA = PBï¼�\quad OP \text{å¹³å��}\angle APB \) 核心推论：圆心与圆外一点的连线，不仅平分切线夹角，还垂直平分两切点间的线段（由全等三角形性质可得\( OP \perp AB \)，且\( OP \)平分\( AB \)）。 第 4 页：二、切线长定理的应用（分层实例） 1. 类型 1：证明线段与角度关系 例题 1：基础证明 如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( CD \)切\( \odot O \)于\( E \)，分别交\( PA \)、\( PB \)于\( C \)、\( D \)，求证：\( PC + CD + PD = PA + PB \)。 证明：1. 由切线长定理：\( PA = PB \)，\( CA = CE \)，\( DB = DE \)； 2. 线段拆分：\( CD = CE + DE = CA + DB \)； 3. 等式推导：\( PC + CD + PD = PC + CA + DB + PD = (PC + CA) + (PD + DB) = PA + PB \)。 2. 类型 2：结合勾股定理计算长度 例题 2：进阶计算 如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( \odot O \)的半径为 3，\( OP = 6 \)，求切线长\( PA \)及\( \angle APB \)的度数。 解：1. 由切线性质：\( OA \perp PA \)，故\( \triangle OAP \)为直角三角形； 2. 计算切线长：由勾股定理\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)； 3. 求角度：在\( \text{Rt}\triangle OAP \)中，\( OA = \frac{1}{2}OP \)，故\( \angle OPA = 30^\circ \)； 由切线长定理，\( OP \)平分\( \angle APB \)，得\( \angle APB = 2\angle OPA = 60^\circ \)。 第 5 页：三、三角形的内切圆（核心：“内心与半径”） 1. 基本概念：内切圆与内心的定义 三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆（唯一存在），叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心，半径叫做内切圆半径（记为\( r \)）。 内心的本质：三角形三条内角平分线的交点（由 “到角两边距离相等的点在角平分线上” 可证），且内心到三角形三边的距离相等（距离即为内切圆半径\( r \)）。 2. 内心的性质与图形示意 性质 1 性质 2 性质 3 内心是内角平分线交点 内心到三边距离相等（均为\( r \)） 内心一定在三角形内部 图形示意：画\( \triangle ABC \)，作三个内角的平分线交于点\( I \)（内心），过\( I \)作\( ID \perp BC \)、\( IE \perp AC \)、\( IF \perp AB \)于\( D \)、\( E \)、\( F \)，以\( I \)为圆心、\( ID \)为半径画圆，标注 “内心\( I \)”“内切圆半径\( r = ID = IE = IF \)”。 3. 内切圆半径的计算（面积法） 设\( \triangle ABC \)的三边为\( a = BC \)、\( b = AC \)、\( c = AB \)，周长的一半为\( s = \frac{a + b + c}{2} \)，面积为\( S \)，则内切圆半径：\( r = \frac{S}{s} \) 推导依据：连接内心\( I \)与三角形三个顶点，将\( \triangle ABC \)分为\( \triangle IAB \)、\( \triangle IBC \)、\( \triangle IAC \)，其面积分别为\( \frac{1}{2}cr \)、\( \frac{1}{2}ar \)、\( \frac{1}{2}br \)，故：\( S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r = sr \quad \Rightarrow \quad r = \frac{S}{s} \) 第 6 页：四、三角形内切圆的应用（结合切线长定理） 1. 类型 1：切线长与边长的关系 例题 3：基础推导 在\( \triangle ABC \)中，内切圆与三边切于\( D \)、\( E \)、\( F \)，求证：\( AF = AE = s - a \)，\( BF = BD = s - b \)，\( CD = CE = s - c \)（\( s = \frac{a + b + c}{2} \)）。 证明：1. 由切线长定理：\( AF = AE \)，\( BF = BD \)，\( CD = CE \)（设为\( x \)、\( y \)、\( z \)）； 2. 列方程组：\( x + y = c \)，\( y + z = a \)，\( z + x = b \)； 3. 求解得：\( x = \frac{b + c - a}{2} = s - a \)，\( y = s - b \)，\( z = s - c \)，即证。 2. 类型 2：直角三角形的内切圆半径 例题 4：特殊计算 在\( \text{Rt}\triangle ABC \)中，\( \angle C = 90^\circ \)，斜边\( AB = 10 \)，直角边\( AC = 6 \)、\( BC = 8 \)，求内切圆半径\( r \)。 解法 1（面积法）： 计算面积\( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \)； 计算半周长\( s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)； 由\( r = \frac{S}{s} \)得\( r = \frac{24}{12} = 2 \)。 解法 2（特殊公式）： 直角三角形内切圆半径公式：\( r = \frac{a + b - c}{2} \)（\( c \)为斜边），代入得\( r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2 \)。 第 7 页：五、知识关联与易错点解析 1. 切线长定理与内切圆的核心关联 三角形内切圆的切线长关系是切线长定理的特殊应用（内心为 “圆外点” 的汇集，三条内角平分线对应三条 “角平分线”）； 内切圆半径计算依赖切线长定理推导的边长关系，同时结合面积法，形成 “几何定理 + 代数计算” 的融合。 2. 常见易错点 易错点 1：混淆 “切线” 与 “切线长”—— 切线是直线（无长度），切线长是线段长度（有具体数值）； 易错点 2：内心与外心混淆 —— 内心是内角平分线交点（到三边等距），外心是边垂直平分线交点（到三顶点等距）； 易错点 3：面积法应用错误 —— 计算内切圆半径时，误将 “周长” 当作 “半周长” 代入公式\( r = \frac{S}{s} \)； 易错点 4：切线长定理漏条件 —— 应用时未明确 “从同一点引两条切线”，直接得出线段相等。 3. 避坑技巧 “概念对比记”：列表对比切线与切线长、内心与外心的区别，明确核心属性； “公式溯源记”：牢记内切圆半径公式\( r = \frac{S}{s} \)的推导过程（面积拆分法），避免死记硬背； “辅助线固定画”：涉及内切圆时，必画 “内心到三边的垂线”（即半径），标注垂直符号与相等关系； “切线长三要素”：应用定理时，先找 “同一点”“两条切线”“两个切点”，三要素齐全再用结论。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 从圆外一点引圆的两条切线，若切线长为 5，圆心到该点的距离为 13，则圆的半径为______（答案：12，提示：勾股定理）； 已知\( \triangle ABC \)的内心为\( I \)，则\( I \)是______的交点，\( I \)到\( AB \)的距离______到\( BC \)的距离（答案：三条内角平分线；等于）。 二、提升题 如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( \angle APB = 60^\circ \)，\( \odot O \)的半径为 2，求\( OP \)的长度（答案：4，提示：利用 30° 角直角三角形性质）； 在\( \triangle ABC \)中，\( AB = 5 \)，\( BC = 6 \)，\( AC = 7 \)，半周长\( s = 9 \)，面积\( S = 6\sqrt{6} \)，求内切圆半径\( r \)（答案：\( \frac{2\sqrt{6}}{3} \)，提示：面积法）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 切线长定理：核心是 “同点引切线，长度相等，圆心连线平分夹角”，应用于线段相等与角度计算； 三角形内切圆：内心是内角平分线交点，到三边等距（即半径\( r \)），半径公式\( r = \frac{S}{s} \)（面积法）； 知识关联：内切圆的切线长关系是切线长定理的特殊化，二者结合可解决三角形与圆的综合问题； 思想方法：面积拆分法（求半径）、数形结合（直角三角形计算）、定理特殊化（从一般到特殊）。 二、作业布置 必做：教材中 “切线长定理与内切圆” 基础证明题（2 道）和计算题（1 道）； 选做：在\( \text{Rt}\triangle ABC \)中，\( \angle C = 90^\circ \)，内切圆切斜边\( AB \)于\( D \)，求证：\( AD \times BD = S_{\triangle ABC} \)（提示：用切线长关系与面积公式）。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.2.3.2切线--切线长定理 及三角形的内接圆 第27章 圆 a i T u j m i a N g 情境引入 同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 情景导入 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 互动探究 P O B A O. P A B 切线长定理及应用 探究新知 P 1. 切线长的定义： 圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． A O ① 切线是直线，不能度量； ② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长. 探究新知 问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B． OB 是☉O 的一条半径吗？ PB 是☉O 的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB 有何关系？ ∠APO 和∠BPO 有何关系？ O P A B 探究新知 *切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB 几何语言： 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 要点归纳 B P O A 探究新知 O. P 已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL). ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 推理验证 A B ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. 探究新知 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M 想一想： O P A B 探究新知 想一想：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连结 CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵ PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB. ∵ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB ( S. A. S. ). ∴ AC = BC. 新的结论：CA = CB. O. P A B C 探究新知 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF， CG = CF，DG = DH. ∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH， 即 AB + CD = AD + BC. 典例精析 探究新知 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径． O B C 解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径． 探究新知 在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°， 又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°. 即铁环的半径为 ∴ OA = 2PA = 10. 解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. ∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO. O B C 5 ∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线， ∴ OP = ∴∠POA＝30°. 探究新知 1. PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交☉O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC 相等的角； ∠OAC = ∠OBC = ∠APC = ∠BPC. B P O A C E D 练一练 探究新知 B P O A 2. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3. （1）若 AP = 4，则 OP = ； （2）若∠BPA = 60°，则 OP = . 5 6 探究新知 3.如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作☉O 的切线，分别交PA、PB 于点 D、E. 已知 PA = 7，∠P = 40°. 则 (2) ∠DOE = . (1) △PDE 的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 解析：连接 OA、OB、OC、OD 和 OE. ∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， 点 A、B 是切点， ∴ PA = PB = 7. ∠PAO = ∠PBO =90°. ∠AOB = 360° -∠PAO -∠PBO -∠P = 140°. 探究新知 又∵ DC、DA 是☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴ DC = DA. 同理可得 CE = CB. ∵ D，E 是切线 PA，PB 上的点， ∴∠DOC = ∠DOA = ∠AOC. ∠DOE = ∠DOC+∠COE = (∠AOC+∠COB) = 70°. ∴∠COE = ∠BOE = ∠AOC. ∴S△PDE = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE = PA + PB = 14. O P A B C E D 探究新知 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 方法归纳 探究新知 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 互动探究 三角形的内切圆及作法 探究新知 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 探究新知 问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么 圆心 I 应满足什么条件？ (2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？ 圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r. 为什么呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点. 探究新知 已知：△ABC. 求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O. 做一做 M N D 作法： 1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线 BM 和 CN，交点为 O. 2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D. 3. 以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O 就是所求的圆. A B C O 探究新知 1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 知识要点 探究新知 问题1 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？ 互动探究 IA、IB、IC 分别平分 ∠CAB、∠ABC、∠BCA. B A C I 三角形的内心的性质 探究新知 B A C I 问题2 如图，分别过点作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么关系？ E F G IE = IF = IG 探究新知 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG. B A C I E F G 探究新知 例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数. 解：连接 IB，IC. A B C I ∵ 点 I 是△ABC 的内心， ∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB. 在△IBC 中， 探究新知 例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径. 该问题可以抽象为如下所示的几何图形. 探究新知 C A B r O D 解：如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD. ∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆， ∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线. ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. ∵ OD⊥AB，AB = 3 cm， ∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm). ∴ OD = AD · tan30° = (cm). 答：圆柱底面圆的半径为 cm. 探究新知 例5 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 探究新知 解： 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 解得 x = 4. B A C E D F O 探究新知 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA = OB = OC； 2.不一定在三角形内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边距离相等； 2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3.在三角形内部 A B O C A B C O 探究新知 C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知 BC = 6 cm， ∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC. ∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. ∴ 内切圆半径 ∴ 外接圆半径 练一练 课堂练习 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. sin∠OBD = sin 30°= C A B O D R r 课堂练习 A B C O D E F A B C D E F O 2. 设 △ABC 的面积为 S，周长为 L， △ABC 内切圆 的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？ 课堂练习 3.如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （以含 a、b、c 的代数式表示）. _________ A B C O c D E r 解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F. F 则 AD = AC - DC = b - r， BE = BC - CE = a - r. ∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB， ∴ a - r + b - r = c， ∴ b a r r r 课堂练习 1. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °，PB = . 20 4 B P O A 第1题图 2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 11 · A B C D O E 第2题图 课堂练习 （3）若∠BIC = 100°，则∠A = °； （2）若∠A = 80°，则∠BIC = °； 130 20 3. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心． （1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则∠BIC =_____°； A B C I （4）试探索：∠A 与∠BIC 之间存在怎样的数量关系？ 120 课堂练习 证明：方法①：连接 OD，如图. ∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC. ∴ ∠ODC =∠B = 90°. ∵ OD = OB，OC = OC， ∴ Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）. ∴ ∠DOC =∠BOC. ∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED. 4. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点， 以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相 切于点 D. 求证：DE∥OC. 课堂练习 方法②：连接 BD，如图. ∵ BC⊥AB， ∴ BC 切 ⊙O 于点 B. 又∵ AC 切 ⊙O 于点 D， ∴ DC = BC，CO 平分∠DCB. ∴ OC⊥BD. ∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD. ∴ DE∥OC． ∵∠DOB =∠ODE +∠OED， ∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC． 课堂练习 5. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB. 证明：连接 BI. ∵ I 是 △ABC 的内心，AD 平分∠BAC. ∴ 点 I 在 AD 上，∠ABI =∠CBI． ∵∠CBD =∠CAD， ∴∠BAD =∠CBD． ∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBD +∠CBI， ∴∠BID =∠IBD． ∴ BD = ID． 课堂练习 返回 1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠APB＝60°，则∠AOB的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° C 考试考法 2. [教材P55练习T2]如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为(　　) A．23 B．22 C．21 D．无法确定 考试考法 返回 【点拨】∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点， ∴AF＝AD＝13，CF＝CE，BD＝BE. ∵AC＝25，∴CF＝AC－AF＝25－13＝12. ∵BC＝35，∴BE＝BC－CE＝35－12＝23. ∴BD＝BE＝23.故选A. 【答案】 A 考试考法 返回 D 考试考法 4．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为________． 135° 考试考法 考试考法 返回 考试考法 5．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.则 考试考法 (1)∠BOC＝________； C 【点拨】如图，连结OF，根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠OBF＋∠OCF＝90°. ∴∠BOC＝90°. 考试考法 (2)BE＋CG＝________； 10 cm 考试考法 返回 (3)⊙O的半径＝________. 4.8 cm 考试考法 考试考法 【点拨】连结OM，ON，如图， ∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2. 同理得∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°， AB＝AC，∴∠2＋∠3＋∠B＝180°. 考试考法 返回 【答案】 B 考试考法 切线长 切线长定理 作用 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 应用 重要结论 内心的概念及性质 图形的轴对称性 原理 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 3．[2024上海长宁区三模]如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，且AO＝BO.以点O为圆心，OT长为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(　　) A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC 【点拨】如图，连结EC. ∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°， ∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD， ∠ACD＋∠CAD＝90°. ∴∠AEC＝180°－(∠ACD＋∠CAD)＝135°. 在△AEC和△AEB中， ∴△EAC≌△EAB.∴∠AEB＝∠AEC＝135°. 故答案为135°. 【点拨】由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝＝10 cm. ∴BE＋CG＝BC＝10 cm. 【点拨】∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC. ∴S△OBC＝OF·BC＝OB·OC，即OF·10＝×6×8. ∴⊙O的半径OF＝4.8 cm. 6．[2024南京鼓楼区模拟]如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N.那么的值等于(　　) A. B. C. D．1 ∵∠1＋∠MOB＋∠B＝180°， ∴∠3＝∠MOB.∴∠4＝∠MOB. ∴△OMB∽△NOC.∴＝. ∴BM·CN＝BC2.∴＝.故选B. $