13.1三角形中的边角关系 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

13.1 三角形中的边角关系 学习目标 1. 理解三角形及相关概念（边、顶点、内角、外角）。 2. 掌握三角形按角和按边的两种分类方法。 3. 理解等腰三角形、等边三角形的定义。 4. 掌握三角形三边之间的关系，并能运用该关系判断三条线段能否组成三角形及确定第三边的取值范围。 5. 掌握三角形内角和定理，并能运用定理进行角度计算。 6. 理解三角形的角平分线、中线的概念及其性质。 7. 了解三角形重心的概念及其性质。 知识点讲解 一、三角形的识别有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。三角形的边可以用一个小写字母如 a、b、c或两个大写字母如 BC、AC、AB，其中 A、B、C 为顶点来表示。 3. 三角形的顶点：三条线段的公共端点叫做三角形的顶点。三角形用符号“”，读作“三角形 ABC”。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。一个三角形有三个内角。 5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 二、三角形的分类 1. 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角即每个角都小于的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角即等于的三角形叫做直角三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。直角三角形可以用符号“Rt△”表示。 · 钝角三角形：有一个角是钝角即大于且小于的三角形叫做钝角三角形。 直角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类： · 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形，也叫做普通三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 三、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边称为等腰三角形的腰，另一条边称为等腰三角形的底边。两腰所夹的角称为等腰三角形的顶角，腰与底边所夹的角称为等腰三角形的底角。 特别地，如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形叫做等边三角形（或正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰和底边都相等的等腰三角形。 四、构成三角形的条件 三角形任意两边之和大于第三边。 数学表达式：对于的三条边 a、b、c设，则 a + b > c。 （只需判断两条较短边的和是否大于最长边即可，因为其他两边之和一定大于第三边。） 由这个条件可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。 数学表达式：对于的三条边 a、b、c，则 ，，。 五、确定第三边的取值范围 若已知三角形的两条边的长度分别为 a 和 b不妨设，则第三边 c 的取值范围是： a - b 六、三角形内角和 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。 即在中，。 推论：直角三角形的两个锐角互余。即在中，若，则。 七、角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的内心。 八、中线 在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心。 九、重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的 2 倍。 即，若 G 是的重心，AD 是 BC 边上的中线，则 。 例题解析 例题 1：下列关于三角形分类的说法中，正确的是 A. 三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B. 三角形按角分类可分为锐角三角形和钝角三角形 C. 等腰三角形是特殊的等边三角形 D. 等边三角形是特殊的等腰三角形 例题 2：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm，3 cm，4 cm C. 2 cm，5 cm，8 cm D. 3 cm，4 cm，9 cm 例题 3：若一个三角形的两边长分别为 4 和 7，则第三边长 x 的取值范围是多少？ 例题 4：在中，，，求的度数。 例题 5：在中，一个锐角为，求另一个锐角的度数。 例题 7：在中，AD 是 BC边上的中线，若 cm，求 BD和 DC 的长度。 例题 8：已知 G 是的重心，AD 是 BC 边上的中线，若 cm，求 GD 和 AD 的长度。 巩固练习 一、选择题(每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号里) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三个内角中至少有一个钝角 B. 三角形的三条高都在三角形内部 C. 三角形的三条角平分线相交于一点 D. 三角形的外角大于任何一个内角 2. 一个三角形的三个内角度数之比为 1:2:3，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 3 cm，4 cm，5 cm B. B. 5 cm，5 cm，8 cm C. 2 cm，3 cm，6 cm D. 7 cm，7 cm，7 cm 4. 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13 或 17 D. 以上都不对 5. 在中，，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 三角形的重心是三角形的三条（ ）的交点。 A. 角平分线 B. 高 C. 中线 D. 以上都不是 7. 若三角形的两边长分别是 2 和 6，则第三边 x 的取值范围是（ ） A. 4 < x < 8) B. x > 4 C. x < 8 D. 8. 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题 9. 等边三角形的每个内角都等于 ______ 度。 10. 在中，若，，则度。 11. 已知一个三角形的两边长分别为 5 和 9，则第三边长 a 的取值范围是 ______。 12. 等腰三角形的顶角为，则它的一个底角为 ______ 度。 13. 在中，AD 是中线，的面积为 15，则的面积为 ______。 14. 若一个三角形三个内角度数的比为 2:3:4，则其中最大的内角是 ______ 度。 15. 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的 ______。 三、解答题 16. 在中，，求、、的度数。 17. 已知等腰三角形的周长是 20 cm，其中一边长是 6 cm，求其他两边的长。 18. 一个三角形的两边长分别是 4 和 7，且第三边为奇数，求此三角形的周长。 19. 在中，，CD)是的平分线，求的度数。 20. 已知 G 是的重心，，求 GD 和 AD的长AD为中线。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1 三角形中的边角关系 学习目标 1. 理解三角形及相关概念（边、顶点、内角、外角）。 2. 掌握三角形按角和按边的两种分类方法。 3. 理解等腰三角形、等边三角形的定义。 4. 掌握三角形三边之间的关系，并能运用该关系判断三条线段能否组成三角形及确定第三边的取值范围。 5. 掌握三角形内角和定理，并能运用定理进行角度计算。 6. 理解三角形的角平分线、中线的概念及其性质。 7. 了解三角形重心的概念及其性质。 知识点讲解 一、三角形的识别有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。三角形的边可以用一个小写字母如 a、b、c或两个大写字母如 BC、AC、AB，其中 A、B、C 为顶点来表示。 3. 三角形的顶点：三条线段的公共端点叫做三角形的顶点。三角形用符号“”，读作“三角形 ABC”。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。一个三角形有三个内角。 5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 二、三角形的分类 1. 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角即每个角都小于的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角即等于的三角形叫做直角三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。直角三角形可以用符号“Rt△”表示。 · 钝角三角形：有一个角是钝角即大于且小于的三角形叫做钝角三角形。 直角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类： · 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形，也叫做普通三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 三、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边称为等腰三角形的腰，另一条边称为等腰三角形的底边。两腰所夹的角称为等腰三角形的顶角，腰与底边所夹的角称为等腰三角形的底角。 特别地，如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形叫做等边三角形（或正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰和底边都相等的等腰三角形。 四、构成三角形的条件 三角形任意两边之和大于第三边。 数学表达式：对于的三条边 a、b、c设，则 a + b > c。 （只需判断两条较短边的和是否大于最长边即可，因为其他两边之和一定大于第三边。） 由这个条件可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。 数学表达式：对于的三条边 a、b、c，则 ，，。 五、确定第三边的取值范围 若已知三角形的两条边的长度分别为 a 和 b不妨设，则第三边 c 的取值范围是： a - b 六、三角形内角和 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。 即在中，。 推论：直角三角形的两个锐角互余。即在中，若，则。 七、角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的内心。 八、中线 在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心。 九、重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的 2 倍。 即，若 G 是的重心，AD 是 BC 边上的中线，则 。 例题解析 例题 1：下列关于三角形分类的说法中，正确的是 A. 三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B. 三角形按角分类可分为锐角三角形和钝角三角形 C. 等腰三角形是特殊的等边三角形 D. 等边三角形是特殊的等腰三角形 解析： A 选项错误，三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 B 选项错误，三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 C 选项错误，等边三角形是特殊的等腰三角形，而不是等腰三角形是特殊的等边三角形。 D 选项正确，等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形“有两条边相等”的定义，所以是特殊的等腰三角形。 故答案为 D。 例题 2：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm，3 cm，4 cm C. 2 cm，5 cm，8 cm D. 3 cm，4 cm，9 cm 解析： 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需判断较短两边之和是否大于最长边。 A 选项：，不大于第三边 3，不能组成三角形。 B 选项：，能组成三角形。 C 选项：，不能组成三角形。 D 选项：，不能组成三角形。 故答案为 B。 例题 3：若一个三角形的两边长分别为 4 和 7，则第三边长 x 的取值范围是多少？ 解析： 已知三角形两边长为 4 和 7，设第三边长为 x。 根据三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 7 - 4<7 + 4 3<11 故第三边长 x 的取值范围是 3<11。 例题 4：在中，，，求的度数。 解析： 根据三角形内角和定理，。 已知，，则： 故的度数为。 例题 5：在中，一个锐角为，求另一个锐角的度数。 解析： 因为直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角之和为。 已知一个锐角为，则另一个锐角的度数为： 故另一个锐角的度数为。 例题 6：已知的周长为 18 cm，，BC 边的长是 AB 边长的一半，求各边的长。 解析： 设 x cm，因为 BC 边的长是 AB 边长的一半，且 ， 根据三角形周长公式： cm。 则： 合并同类项： 解得： 所以 cm，。 验证三边关系：，，满足三角形三边关系。 故的三边长分别为 cm， cm。 例题 7：在中，AD 是 BC边上的中线，若 cm，求 BD和 DC 的长度。 解析： 因为 AD 是 BC 边上的中线，根据中线定义，中线将对边分成两条相等的线段。 所以。 已知 cm， 。 故 BD 和 DC 的长度均为 4 cm。 例题 8：已知 G 是的重心，AD 是 BC 边上的中线，若 cm，求 GD 和 AD 的长度。 解析： 因为 G 是的重心，根据重心的性质，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 即 。 已知 cm， 则。 cm。 故 GD 的长度为 3 cm，AD 的长度为 9 cm。 巩固练习 一、选择题(每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号里) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三个内角中至少有一个钝角 B. 三角形的三条高都在三角形内部 C. 三角形的三条角平分线相交于一点 D. 三角形的外角大于任何一个内角 2. 一个三角形的三个内角度数之比为 1:2:3，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 3 cm，4 cm，5 cm B. B. 5 cm，5 cm，8 cm C. 2 cm，3 cm，6 cm D. 7 cm，7 cm，7 cm 4. 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13 或 17 D. 以上都不对 5. 在中，，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 三角形的重心是三角形的三条（ ）的交点。 A. 角平分线 B. 高 C. 中线 D. 以上都不是 7. 若三角形的两边长分别是 2 和 6，则第三边 x 的取值范围是（ ） A. 4 < x < 8) B. x > 4 C. x < 8 D. 8. 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题 9. 等边三角形的每个内角都等于 ______ 度。 10. 在中，若，，则度。 11. 已知一个三角形的两边长分别为 5 和 9，则第三边长 a 的取值范围是 ______。 12. 等腰三角形的顶角为，则它的一个底角为 ______ 度。 13. 在中，AD 是中线，的面积为 15，则的面积为 ______。 14. 若一个三角形三个内角度数的比为 2:3:4，则其中最大的内角是 ______ 度。 15. 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的 ______。 三、解答题 16. 在中，，求、、的度数。 17. 已知等腰三角形的周长是 20 cm，其中一边长是 6 cm，求其他两边的长。 18. 一个三角形的两边长分别是 4 和 7，且第三边为奇数，求此三角形的周长。 19. 在中，，CD)是的平分线，求的度数。 20. 已知 G 是的重心，，求 GD 和 AD的长AD为中线。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：A 选项，锐角三角形没有钝角；B 选项，钝角三角形的高有两条在三角形外部；C 选项正确；D 选项，三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 2. 答案：B 解析：设三个内角分别为 (x)，(2x)，(3x)。则，解得。三个角分别为，，，是直角三角形。 3. 答案：C 解析：A 选项 (3+4>5)；B 选项 (5+5>8)；C 选项 ，不能组成；D 选项等边三角形，可以组成。 4. 答案：B 解析：若腰长为 3，则三边长为 3，3，7。因为 ，不能组成三角形。故腰长只能为 7，三边长为 7，7，3。周长为 。 5. 答案：C 解析：设（取 2、3 的最小公倍数 6），则，。，，。，是钝角三角形。 6. 答案：C 解析：三角形三条中线的交点叫做重心。 7. 答案：A 解析：根据三角形三边关系，(6 - 2 < x < 6 + 2)，即 (4 < x < 8)。 8. 答案：C 解析：三角形的内角至少有两个锐角，每个锐角的外角为钝角，所以外角中钝角的个数最少为 2 个。 二、填空题 9. 答案：60 解析：等边三角形三个内角相等，均为。 10. 答案：70 解析：。 11. 答案：(4 < a < 14) 解析：(9 - 5 < a < 9 + 5)，即 (4 < a < 14)。 12. 答案：40 解析：等腰三角形两底角相等。底角 =。 13. 答案：30 解析：中线将三角形分成面积相等的两个三角形，所以的面积的面积。 14. 答案：80 解析：设三个内角分别为 (2x)，(3x)，(4x)。，，。最大内角为。 15. 答案：内心 解析：三角形三条角平分线的交点叫做内心。 三、解答题 16. 答案：，， 解析：设，，。 根据三角形内角和定理： 17. 答案：其他两边长分别为 7 cm 和 7 cm，或 6 cm 和 8 cm。 解析：分两种情况讨论： 情况一：长为 6 cm 的边是底边。 则腰长。 此时三边长为 6 cm，7 cm，7 cm。因为 (6 + 7 > 7)，满足三角形三边关系。 情况二：长为 6 cm 的边是腰。 则底边长。 此时三边长为 6 cm，6 cm，8 cm。因为 (6 + 6 > 8)，满足三角形三边关系。 综上，其他两边的长为 7 cm 和 7 cm，或 6 cm 和 8 cm。 18. 答案：此三角形的周长为 16 或 18 或 20。 解析：设第三边长为 (x)。 根据三角形三边关系：(7 - 4 < x < 7 + 4)，即 (3 < x < 11)。 因为第三边为奇数，所以 (x) 可以为 5，7，9。 当 时，周长 = 。 当 时，周长 = 。 当 时，周长 = 。 故三角形的周长为 16 或 18 或 20。 19. 答案： 解析：因为，(CD) 是的平分线， 所以。 20. 答案：， 解析：因为 (G) 是的重心， 所以 。 已知 ， 则。 。 学科网（北京）股份有限公司 $