专题03 勾股定理（必备知识+15题型+分层测试）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题03 勾股定理（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式，并能准确应用于直角三角形边长计算. 基础必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常结合实际场景或几何图形考查. 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形. 高频考点，常与勾股定理结合考查，易错点在与对最长边的判段. 勾股定理的实 际应用 能将实际问题（如测量距离、物体高度等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解. 期中必考点，常以解答题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证. 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图 形展开图，灵活运用勾股定理解决复 杂几何问题. 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力. 知识点01 勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 知识点02 勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 知识点03 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点04 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 知识点05 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 用勾股定理求线段长 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【典例1】 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【变式1】如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 【变式2】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 题型二 利用图形面积之间的关系求图形的面积 解｜题｜技｜巧 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积. 【典例1】如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【变式1】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 题型三 利用勾股定理解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题. 【典例1】如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【变式1】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 题型四 勾股定理与网格问题 解｜题｜技｜巧 正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算. 【典例1】如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网 格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五 勾股定理的证明 解｜题｜技｜巧 勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 【典例1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【变式1】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【变式2】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 题六 以弦图为背景的计算题 解｜题｜技｜巧 以弦图为背景的计算题主要是利用勾股定理进行计算，有时需要用到面积法. 【典例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【变式1】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 题型七 利用三边关系判定直角三角形 解｜题｜技｜巧 判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法： （1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断； （2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 【典例1】将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 【变式1】以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 【变式2】满足下列条件时，不是直角三角形的为（    ） A．，， B． C． D． 题型八 勾股定理及其逆定理解决面积问题 解｜题｜技｜巧 不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积. 【典例1】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【变式1】如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形中，，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D． 题型九 巧添辅助线构造直角三角形 解｜题｜技｜巧 当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形. 【典例1】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为　 　． 【变式2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 题型十 勾股定理的逆定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合. 【典例1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【变式1】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【变式2】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 题型十一 勾股数的辨别 解｜题｜技｜巧 判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 【典例1】下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，8，10 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 题型十二 勾股数的规律猜想题 解｜题｜技｜巧 （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2. （2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数. 【典例1】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　． 【变式1】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144， 145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5，13，…） 【变式1】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　 　，13 ③8，15，　 　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值． 题型十三 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 勾股定理的实际应用主要是通过直角三角形的边长关系来计算距离和角度。 【典例1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【变式2】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【变式3】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 题型十四 勾股定理与最短路径问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与最短路径问题的方法是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解.具体的步骤是： ①将立体图形展开成平面图形. ②利用两点之间线段最短确定最短路线. ③构造直角三角形. ④利用勾股定理求解. 【典例1】如图，在圆柱的截面中，边上有一个点，且，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到点的最短距离为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木 条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达 点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【变式2】如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ． 题型十五 勾股定理及逆定理的综合应用 解｜题｜技｜巧 勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题． 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【变式1】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【变式2】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 3．如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．162 B．200 C．242 D．288 5．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 8．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是 ． 11．如图，在中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知在中，于点． (1)求的长； (2)求的长． 13．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为． (1)求的值； (2)求，的值． 14．如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若于点E，，，求点E到的距离． 16．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 17．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 18．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式，并能准确应用于直角三角形边长计算. 基础必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常结合实际场景或几何图形考查. 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形. 高频考点，常与勾股定理结合考查，易错点在与对最长边的判段. 勾股定理的实 际应用 能将实际问题（如测量距离、物体高度等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解. 期中必考点，常以解答题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证. 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图 形展开图，灵活运用勾股定理解决复 杂几何问题. 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力. 知识点01 勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 知识点02 勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 知识点03 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点04 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 知识点05 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 用勾股定理求线段长 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【典例1】 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 【变式1】如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，解方程等知识，掌握勾股定理内容是解题的关键；在中，由得，利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 【变式2】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型二 利用图形面积之间的关系求图形的面积 解｜题｜技｜巧 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积. 【典例1】如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 【变式1】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 【变式2】如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 题型三 利用勾股定理解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题. 【典例1】如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 【变式1】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 【变式2】如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 设，则，由折叠可得，，，根据勾股定理在中有，在中有，因此，代入求解得到，从而，，再由线段的和差即可解答． 【详解】解：设，则， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴，， ∴． 故选：C 题型四 勾股定理与网格问题 解｜题｜技｜巧 正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算. 【典例1】如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先连接，根据题意可知，再根据勾股定理可得答案. 【详解】解：连接，根据题意可知， 根据勾股定理，得. 故选：A. 【变式1】如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网 格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，由网格线的特征得是直角三角形，且，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由网格线的特征得是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 题型五 勾股定理的证明 解｜题｜技｜巧 勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 【典例1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 【变式1】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 【变式2】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 题六 以弦图为背景的计算题 解｜题｜技｜巧 以弦图为背景的计算题主要是利用勾股定理进行计算，有时需要用到面积法. 【典例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 【变式1】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 【变式2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 题型七 利用三边关系判定直角三角形 解｜题｜技｜巧 判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法： （1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断； （2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 【典例1】将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A．，不能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，符合题意； C．，不能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是验证每组数中两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方． 判断每组数能否组成直角三角形时，先确定每组中的最长边，再分别计算两较短边的平方和与最长边的平方，若两者相等则能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、本组数中最长边为5，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、本组数中最长边为1，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、本组数中最长边为13，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； D、本组数中最长边为9，计算两较短边平方和：，最长边平方：，，不能组成直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】满足下列条件时，不是直角三角形的为（    ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，即可得出结论． 【详解】A．∵， ∴是直角三角形，不合题意； B．根据条件设，，，其中， ∵， ∴是直角三角形，不合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴最大的角∠C， ∴不是直角三角形，符合题意； D．∵ ∴， ∴是直角三角形，不合题意； 故选：C． 题型八 勾股定理及其逆定理解决面积问题 解｜题｜技｜巧 不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积. 【典例1】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，四边形中，，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 题型九 巧添辅助线构造直角三角形 解｜题｜技｜巧 当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形. 【典例1】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ． 【答案】4.5． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后根据角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝92+122＝225，AB2＝152＝225， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴9×12＝9CD+15DE， ∴CD＝DE＝4.5， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为　 　． 【答案】30． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，即可求解． 【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE． 在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝13．S△BDE＝S△ADC， ∴S△ABE＝S△ABC， 在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴∠BAE＝90°． ∴S△ABC＝S△ABEAB×AE＝30， 故答案为：30． 【变式2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可； （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接AC． ∵CD⊥AD， ∴AD2+CD2＝AC2， ∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC． （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k， ∵∠ABC＝90°， ∴AC2＝18k2， 在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2， ∴18k2＝172+k2， ∴k， ∴CD，AB＝BC＝3， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+7． 题型十 勾股定理的逆定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合. 【典例1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 【变式1】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 【变式2】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169， AC2＝132＝169， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 当BD⊥AC时BD最短，造价最低． ∵S△ABCAB•BCAC•BD， ∴BD，即BD（km）． ∴260＝1200（万元）． 答：最低造价为1200万元． 题型十一 勾股数的辨别 解｜题｜技｜巧 判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 【典例1】下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，熟记定义，注意三个数必须是正整数是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意； B．，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C．，不是勾股数，不符合题意； D．，是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 题型十二 勾股数的规律猜想题 解｜题｜技｜巧 （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=152，…若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）2+（4n）2=（5n）2. （2）若h＞1，且h为整数，则h2+1,h2﹣1,2h 是一组勾股数. 【典例1】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　． 【分析】①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1；②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1；③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1；④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1；……，观察得出规律：第n组勾股数的第一个数为2n+1，第二个数为2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1，即可解决问题． 【详解】解：①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． ②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． ③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． ④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 【点评】本题考查的是勾股数以及规律型问题，根据数据的关系得出规律是解题的关键． 【变式1】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144， 145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　　．（提示：5，13，…） 【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二． 【详解】解：由题意得：a2+1442＝1452， a2＝1452﹣1442， a＝17． 故答案为：17． 【变式1】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　 　，13 ③8，15，　 　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值． 【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先化简得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入计算即可求解． 【详解】解：（1）①6，8，10； ②5.12，13；③8，15，17． 故答案为：6，12，17； （2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， （m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2， ∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股数； （3）化简得：7，24，25， ∵偶数24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32， ∴m＝4，n＝3， ∴m+n＝7． 题型十三 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 勾股定理的实际应用主要是通过直角三角形的边长关系来计算距离和角度。 【典例1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 【变式1】如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 【变式2】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 【变式3】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 题型十四 勾股定理与最短路径问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与最短路径问题的方法是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解.具体的步骤是： ①将立体图形展开成平面图形. ②利用两点之间线段最短确定最短路线. ③构造直角三角形. ④利用勾股定理求解. 【典例1】如图，在圆柱的截面中，边上有一个点，且，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到点的最短距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图，将圆柱侧面展开得矩形，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：圆柱侧面展开得矩形，如图， 直径， 底面半径，底面周长，， 两点之间线段最短， 为最短路径， 在中， ， 故选：C． 【变式1】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木 条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达 点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 【变式2】如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用轴对称将转化为，将的最小值转化为点到的垂线段长度． 由、是中点可知是的对称轴，点关于的对称点为，故；根据垂线段最短，当、、共线且时，最小（即最小值为；利用的面积，分别以、为底计算，结合勾股定理求出的，可解得． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴是的对称轴，点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取最小值，即最小值为的长． 在中，，， 由勾股定理得：． ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 题型十五 勾股定理及逆定理的综合应用 解｜题｜技｜巧 勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题． 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【分析】（1）如图1，首先证明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；证明∠CPE＝45°即可解决问题． （2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP＝60°；其次证明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90° PC＝EC＝2；BE＝PA＝3； 由勾股定理得：PE2＝22+22＝8； ∵PB2＝1，BE2＝9， ∴BE2＝PE2+PB2， ∴∠BPE＝90°， ∵∠CPE＝45°， ∴∠BPC＝135°． （2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ； 则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4； ∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3； ∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25， ∴PQ2+CQ2＝PC2， ∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°， ∴∠APB＝∠AQC＝150°． 【变式2】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 2．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出斜边长，再分别求其周长、面积，利用等面积法求斜边的高，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是，故A不正确； 周长是，故B不正确； 设斜边的高为h，则， 解得，故C正确； 面积是，故D不正确． 故说法正确的是C选项． 故选：C． 3．如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式． 根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式可知即为正方形的面积． 【详解】解：由是正方形可知：, 又∵， ∴ ∴根据正方形的面积公式可知 故选：B 4．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．162 B．200 C．242 D．288 【答案】D． 【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝24求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2， 则a2+b2＝（b+2）2， 当a＝24时，242+b2＝（b+2）2， 解得：b＝143， 则c＝143+2＝145， ∴b+c＝143+145＝288， 故选：D． 5．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示：此时，， 故， 故的取值范围是． 故选：C． 6．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 7．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】解：如图，作于点O， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴大树的高度为， 故选：D． 8．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是正确地构造直角三角形并表示出其两直角边的长． 作，根据题意得到，然后利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：作． 则． ． 故答案为：10． 11．如图，在中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理.由勾股定理可得，作于，再由角平分线的性质可得，利用三角形的面积进行计算可得，最后由进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， 如图，作于， 平分，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知在中，于点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)12 (2)25 【分析】本题主要应用勾股定理来求解直角三角形中的未知边长． （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）在中，利用勾股定理求出，从而可求． 【详解】（1）解：在中，， ； （2）解：在中，， ． 13．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为． (1)求的值； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查勾股定理，以及完全平方式，数形结合是关键． （1）根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解； （2）由题意可得，由（1）知，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 四个直角三角形的面积是，即 ， ； （2）解：由题意可得， 由（1）知， ， 解得，． 14．如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【答案】(1)符号要求，理由见解析； (2)，． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； （2）， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若于点E，，，求点E到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点E作于H，利用全等三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 即点E到的距离为． 16．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 17．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质． （1）证明，，可得，进一步可得结论． （2）求解，过点 E 作于点H．由（1）得 ，，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又 E 为的中点， ∴，， ∴， 即是等腰三角形． （2）解：∵ ，E 为 的中点， ∴， 在 中，，， 由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． 过点 E 作于点H． 由（1）得 ， ∴． ∵ ∴ 在 中，由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． ∴ ． 18．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $