专题03 轴对称6考点（期中真题汇编，福建专用）八年级数学上学期新教材人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03轴对称 ☆6大高频考点概览 考点01轴对称图形的判定 考点02最短路径问题 考点03垂直平分线的性质 考点04轴对称与折叠问题 考点05等腰（等边）三角形的性质与判定 考点06轴对称作图 目目 考点01 轴对称图形的判定 1.(24-25八上福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标 志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(） A D 2.(23-24八上·北京第二中学教育集团期末)汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为 是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字 体都有着各自鲜明的艺术特征.下面的小篆体字是轴对称图形的是() 篌·翼·业·附 3.(24-25八上江苏泰州靖江滨江学校·月考)第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国 巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是() 1/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八上福建福州鼓楼区福州立志中学期中)下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴 对称图形的是() B 5.(24-25八上·浙江杭州萧山区东片7校·期中)下列大学的校微图案是轴对称图形的是() B 6.(24-25八上福建厦门五缘第二实验学校·期中)习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂.文化 兴国运兴，文化强民族强.没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴.”甲骨 文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化.下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是() 李告·W 7.(2425八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区期中)下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形 是( A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 莱洛三角形 D 科克曲线 2/16 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 最短路径问题 1.(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校期中)如图，在4×4的正方形网格中，有A,B两点，在直线Q上 求一点P,使PA+PB取最小值，则点P的位置应选在() B E D C F a A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 2.(24-25八上福建福建师范大学泉州附属中学期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90,∠A=30°，点D为AC 上一点，点E为AB上一点，当DB+DE有最小值时，∠BDE为() D B A.90° B.85 C.60° D.不能确定 3.(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)如图，点E在等边ABC的边BC上，BE=4,射线 CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时， BF=5,则AB的长为， D E 4.(24-25八上福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标 分别为A1,3),B(2,1,C(5,1. 3/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5 3 B -5-4-3-2-10 12345x 2 (1)请画出ABC关于y轴的对称图形△AB,C,并分别写出A,B,C的坐标. (2)请画出ABC关于x轴的对称图形△4，B,C,△A,B,C,的面积为一： (3)在y轴上画出点P使PA+PB最小。 5.(24-25八上福建厦门杏南中学期中)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂 直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM 周长的最小值为一 M A F 6.(2425八上·福建漳浦道周中学·调研)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是 AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 D B 7.(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=146°， ∠B=∠E=90°，在直线BC,DE上分别找一点M，N,使得△AMN的周长最小，此时∠MAN的度数为 () M C 4/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.112° B.1049 C.96 D.84° 8.(24-25八上福建莆田仙游县初中第四教研片区期中)如图，ABC中，AB=AC,BC=5,S△4c=15, AD⊥BC于点D,EF垂直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一点P,使PB+PD最小，则这个最小值 为 EA D 9.(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学期中)如图，ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=3, AD-子AB,点E,F在线段AC上，以AE为边在4BC外作等边△AEG,点M是EG的中点，连接DM ,连接BF,在BF右侧作等边△BFN,连接CN,连接MN,则CN+MN+DM的最小值是 1 D 目目 考点03 垂直平分线的性质 1.(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)如图，ABC的周长为20，AC的垂直平分线交BC于 点D,垂足为E,若AE=3,则△ADB的周长是 B 2.(24-25八上福建莆田城厢区华林学校期中)如图，在ABC中，ABC的周长为18，AE=3,观察图中 尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是() 5/16 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.9 B.12 C.15 D.21 3.(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区，期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AB的垂 直平分线DE交AC于D,交AB于点E,下列结论错误的是() A.BD平分∠ABC B.点D是线段AC的中点 C.AD=BD=BC D.△BCD的周长等于AB+BC 4.(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学.期中)如图，在△ABC中BC=13cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ ACB的角的平分线，且PDAB,PE‖lAC,则△PDE的周长是cm. B D 5.(24-25八上福建莆田城厢区莆田第三中学.期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC. R∠ (I)按要求作图：作线段AB的垂直平分线DE,交BC于点D,垂足为点E,连接AD(尺规作图，保留痕迹， 不写作法)； (2)求证：AD平分∠BAC. 6.(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校期中)如图，∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于 点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F. 6/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D (I)求证：BE=CF; (2)求证：AB-AC=2BE. 7.(24-25八上福建莆田城厢区莆田第三中学期中)如图，ABC中，∠ABC的平分线上有一点D,点D恰 好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE=AB,求证：点D在线段CE的垂直平分线上. A B E 8.(24-25八上福建厦门杏南中学期中)如图，在ABC中，AD1BC于点D,EF垂直平分AC,交AC 于点F,交BC于点E,连接AE,且AB=AE. B (1)若∠DAE=40°，求∠C的度数； (2)若ABC的周长为19cm,AC=7cm,求DC的长. 目目 考点04 轴对称与折叠问题 1.(24-25八上福建莆田城厢区华林学校期中)在平面直角坐标系中，点（一1，一2）关于y轴的对称点的 坐标为() A.(1,-2)B.(-1,2) C.(-1,-2)D.(2,1) 7/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八上福建莆田城厢区莆田第三中学期中)如图所示，△ABC与△DEF关于直线1对称，下列说法 错误的是() 4 A.AB=DE B.∠BAC=∠EDFC.点B和点E到直线I的距离相等D.AC∥DE 3.(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校期中)点(2,3)关于y轴对称的点的坐标为_ 4.(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校期中)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在 A、B的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠FEH=12°，则∠AEF=」 A E 、G 0 B 5.(24-25八上·福建厦门杏南中学期中)将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠， 若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线” (1)如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B处，求∠BAD的度 数 (2)如图2.在△ABC中，∠BAC-90°，点D在边BC上，且AB=AD,若∠B=2∠DAC,判断直线AD是 否是△ABC的对垂线，并说明理由. B D B B' 图1 图2 6.(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区期中)己知：如图，在平面直角坐标系中，A(3,0), 8/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B-1,3,C(-2,-1). Γ6 B 4 2 6-5-4-3-2-1 ©升2.3.456x (1)在图中画出ABC关于x轴的对称图形△A,B,C; (2)若AB=5,求ABC的边AB上的高； (3)点P(a-2,a与点Q关于y轴对称，若PQ=6,直接写出点P的坐标 目目 考点05 等腰（等边）三角形的性质与判定 1.(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，∠BAD=35 °，则∠C的度数为() D A.35° B.45° C.559 D.60 2.(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方 法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,当固定点B、C到脚杆E的距离 相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是() D B 77h77777777777777777777 A,等边对等角 B.等腰三角形的三线合一 9/16 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C.垂线段最短 D.DE是BC的垂直平分线 3.(24-25八上福建莆田城厢区砺成中学期中)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=32°，且 AD=AE,求∠AED的度数， E B4 D 4.(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校期中)如图，坐标平面内一点A(2,一1)，O为原点，P是x 轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为() A A.2 B.3 C.4 D.5 5.(24-25八上福建莆田城厢区砺成中学期中)如图，在等边三角形ABC中，E为AB上一点，过点E的 直线交AC于点F,交BC延长线于点D,作EG⊥AC垂足为G,如AE=CD,AB=6,则GF的长为() E B D A.2 B.3 C.4 D.6 6.(24-25八上福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，ABC的面积为10cm2,BP平分∠ABC, AP⊥BP,则△PBC的面积为cm2. 10/16 专题03 轴对称 6大高频考点概览 考点01 轴对称图形的判定 考点02 最短路径问题 考点03 垂直平分线的性质 考点04 轴对称与折叠问题 考点05 等腰（等边）三角形的性质与判定 考点06 轴对称作图 地 城 考点01 轴对称图形的判定 1．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．(23-24八上·北京第二中学教育集团·期末)汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选B． 3．(24-25八上·江苏泰州靖江滨江学校·月考)第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 5．(24-25八上·浙江杭州萧山区东片7校·期中)下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项错误； B、该图形是轴对称图形，故此选项正确； C、该图形不是轴对称图形，故此选项错误； D、该图形不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B． 6．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化．下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形”进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 7．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 地 城 考点02 最短路径问题 1．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故选：A． 2．(24-25八上·福建福建师范大学泉州附属中学·期中)如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 【详解】解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 4．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． (2)请画出关于轴的对称图形，的面积为______． (3)在轴上画出点使最小． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，直角坐标系，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键． （1）先根据对称的性质作图，再根据所作图形写出，，的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）由于点、关于轴对称，所以，则，当、、共线时，最小，所以连接交轴于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，，； （2）如图，即为所求， 的面积为：， 故答案为：； （3）如图，连接交轴于点，点即为所求． 5．(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中)如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解，本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：10． 6．(24-25八上·福建漳浦道周中学·调研)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC＝8，点D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点A关于BC对称点F，连接BF，CF，则为等腰三角形，利用勾股定理求出，，作点D关于BC对称点，连接，与BC交于点E，利用中垂线定理可知：，利用当时，最短，此时最小，再根据求出． 【详解】解：如图，作点A关于BC对称点F，连接BF，CF，则为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴，， 作点D关于BC对称点，连接，与BC交于点E， 利用中垂线定理可知：， ∴， 当时，最短，此时最小， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，轴对称的性质，中垂线定理，解题的关键是证明当时，最短，此时最小， 7．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：延长至点，延长至点，连接， 则：， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 8．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 9．(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)如图，中，，，，，点，在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,以为边向外作等边三角形,作直线，证明，推出，推出点N在直线上运动，作点C关于的对称点，连接交于点,求出可得结论． 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，连接,作点关于的对称点,连接,则,   , , , , , 是等边三角形，, 平分, , , , ， 如上图，作交x轴于点H， ， ， ， 由勾股定理得，， , 如上图，以为边向外作等边三角形,作直线, 是等边三角形， ,, , , , , 点在直线上运动，作点关于的对称点,连接交于点, ， , , , 垂直平分线段, ,， ,， , , , 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路程问题，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 地 城 考点03 垂直平分线的性质 1．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 ．    【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵是线段的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：B． 3．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（    ） A．BD平分∠ABC B．点D是线段AC的中点 C．AD＝BD＝BC D．△BCD的周长等于AB＋BC 【答案】B 【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴， ∴， ∴， ∴BD平分，故A正确； ∴的周长为：，故D正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∴点D不是线段AC的中点，故B错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 4．(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学·期中)如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm． 【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 5．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图，在中，，． (1)按要求作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足为点E，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照垂直平分线的尺规作图法作图即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：以A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于两点，过这两个交点作直线，分别交于、于点D、E，连接，作图如下： 直线为所求的图形； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握垂直平分线的尺规作图是解答本题的关键． 6．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到，证明，从而证得； （2）证明，得到，从而可以得到． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：在和中， ， ∴， ， ， ， ． 7．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图，中，的平分线上有一点，点恰好在线段的垂直平分线上，点在边上，，求证：点在线段的垂直平分线上．    【答案】见解析 【分析】先证明得出，根据垂直平分线的性质得出，则，根据垂直平分线的判定定理，即可得证． 【详解】证明：∵平分 ∴ 又∵ ∴， ∴ 又∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． 8．(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中) 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键 地 城 考点04 轴对称与折叠问题 1．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)在平面直角坐标系中，点（－1，－2）关于y轴的对称点的坐标为（   ） A．（1，－2） B．（－1，2） C．（－1，－2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点（－1，－2）关于y轴的对称点的坐标为（1，－2）； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（x，y）． 2．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（   ） A．AB=DE B．∠BAC=∠EDF C．点B和点E到直线l的距离相等 D．ACDE 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解∶∵△ABC与△DEF 关于直线l对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠BAC=∠EDF， AB=DE，直线l垂直平分线段BE， ∴点B和点E到直线l的距离相等， 由已知条件无法判断ACDE， 故选项A， B， C正确，D错误， 故选∶D． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 3．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答；“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 4．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)如图，将长方形纸片沿折叠后，点A、B分别落在的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，设，根据平角的性质，列方程求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， 设，则， ∴， 由可得， 解得， 即 故答案为： 【点睛】此题考查了折叠的性质，平角的性质以及一元一次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 5．(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中)将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”． （1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数； （2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由． 【答案】（1）15°；（2）是，理由见解析． 【分析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD=∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'∠BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C∠B，求出∠B=60°，证得∠AFD=90°，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处， ∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D， ∴∠BAD=∠B'AD． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°． 又∵AB'⊥BC， ∴∠BAB'∠BAC=30°， ∴∠BAD∠BAB'°=15°； （2）直线AD是△ABC的对垂线．理由如下： ∵AB=AD， ∴∠B=∠BDA． ∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C， ∴∠DAC=∠C∠B． ∵△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠B∠B=90°， ∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°． 把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D， ∴∠DAC'=∠DAC=30°， ∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°， 即AC'⊥BC， ∴AD是△ABC的对垂线． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 6．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)已知：如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形； (2)若，求的边上的高； (3)点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与图形： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）设边上的高为，等积法进行求解即可； （3）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出点坐标，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：， 设边上的高为，则：， ∵， ∴，即：上的高为； （3）由题意，得：， 则：， ∴或， ∴或． 地 城 考点05 等腰（等边）三角形的性质与判定 1．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（  ） A．35° B．45° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 2．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 3．(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学·期中)如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数 【详解】解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意． 以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）． 作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示： 共4个点符合， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 5．(24-25八上·福建莆田城厢区砺成中学·期中)如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【详解】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 6．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，的面积为，平分，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 7．(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键，作交的延长线于点,由是的角平分线，得,则,进而即可根据“”证明,得,最后利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：如图，作交的延长线于点, ，是的角平分线， ,, , ,， , 在和中， , , , ， 故答案为：． 8．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 9．(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)如图，点是上一点，，，垂足分别为，，，点是上一点，．求证：．      【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键，由,得,即可由,根据“”证明,得,由,得,由等腰三角形的判定即可得解． 【详解】证明：,, , 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 10．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为26，求的周长． 【答案】(1)证明详见解析； (2)的周长为42． 【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质． （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）将的周长转化为的长即可求得． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的垂直平分线交于点E，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 11．(24-25八上·福建龙岩新罗区紫金山实验学校·期中)证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】已知：如图，在中，，，．                求证：．            证明过程：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 12．(24-25八上·福建福州鼓楼区福州文博中学·期中)如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)20° (2)见解析 (3) 【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论； （3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：过点作于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， 设、交于点，则 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中． 13．(24-25八下·福建漳州第三中学·月考)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 分以下三种情况： 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 14．(24-25八上·福建福州台江区·期中)如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若．则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心．    在平面直角坐标系中， (1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上． ①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标： ； ②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标； (2)若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围： （用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①过点作，垂足为，根据等边三角形的性质可得，，即可求，即可求点坐标； ②分点与坐标原点重合或点在边的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点的坐标； （2）分点在的延长线上或在的延长线上，根据含角直角三角形的性质，可求的值，即可求点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：①如图2，过点作，垂足为，   ， ， ∵点的坐标为， ， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点坐标， 故答案为：； ②∵等边三角形的两个顶点为，， ， ． 是等边三角形的边所在直线上一点，且， ∴点与坐标原点重合或点在边的延长线上， 如图4，若点与坐标原点重合，   ， ． 是边所在直线上一点，且与不重合， 点坐标为， 如图4，若点在边的延长线上，     ， ． 为等边三角形， ． ． ． ， ∴点与点重合． 这与题目条件中的与不重合矛盾，故这种情况不合题意， 综上所述：； （2）解：，， ， ， ， ∴点在的延长线上或在的延长线上， 如图点在的延长线上，过点作，过点作，   ，， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 如图点在的延长线上，过点作，    同理可求：点的横坐标的取值范围：， 综上所述：点的横坐标的取值范围：或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，坐标与图形，含角直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，点为线段的中点，，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接MN，与互余，的面积为18，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】（1）先判断出是等边三角形，得到，进一步推导出，，进而得到． （2）取的中点P，连接，，根据角平分线的定义求出，根据等腰直角三角形的对称性可得，然后求出，再求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，，整理即可得证． （3）过点B作于K，过点M作于H，先求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得从而得到，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰直角三角形的面积求出，再判断出是等边三角形，然后求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中线，为的角平分线， ∴，，，， ∴． （2）证明：连接，如图2， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故． （3）过点B作于K，过点M作于H， ∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形． 地 城 考点06 轴对称作图 1．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)和平公园是太原市的大型综合性公园，以“自然生态、和谐共融”为主题，公园内有一块四边形的草坪如图所示，在该四边形内有一棵银杏树，银杏树的位置点到边、的距离相等．并且点到点、的距离也相等，请用尺规作出银杏树的位置点（不写作法．保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．(24-25八上·北京第四十四中学·期中)如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置（保留作图痕迹）． 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺画图——垂直平分线，角平分线，作的垂直平分线，作的平分线，与交于点，掌握无刻度直尺画图的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的平分线，与交于点， ∴点即为所求． 3．(24-25八上·福建厦门五缘第二实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、．画出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 【答案】图见解析；，，的坐标分别为、、 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系的坐标，解题的关键是作出对应点的坐标． 先作出点关于轴对称点，，，然后顺次连接即可得出，根据图像写出点，，的坐标即可． 【详解】解：如图，作出点关于轴对称点，，，顺次连接，即为所求， 由图象可知，，，的坐标分别为，，． 4．(24-25八上·福建莆田城厢区华林学校·期中)如图，在正方形网格中，按要求回答下列问题： (1)写出A和C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，作关于x轴对称的． (3)计算的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据直角坐标系写出A和C的坐标即可求解； （2）根据题意画出图形即可求解； （3）在直角坐标系中构造“规则图形”，利用矩形的面积减去三角形的面积即可求解． 【详解】（1）， （2）如图所示 （3）如图所示： 【点睛】本题考查直角坐标系中的图形变换问题，解题的关键是根据题意进行求解． 5．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．    (1)画出关于x轴对称的； (2)、、的坐标分别为______，______，______； (3)的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质，找到的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：根据坐标系可得、、的坐标分别为，，， 故答案为：，，． （3）解：的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，写出坐标系中点的坐标，根据网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．(24-25八上·福建厦门杏南中学·期中) 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， (1)画出关于x轴的对称图形 ； (2)写出的各顶点坐标 ， ， ； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称变换，关于轴对称的点的坐标，三角形面积的计算，构造三角形的外接矩形是解题的关键． （1）先求出各顶点坐标关于轴对称的点的坐标，然后在平面直角坐标系描出这些点，最后顺次连接各点即可求解； （2）由（1）可得各顶点坐标； （3）作的外接矩形，根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，点关于轴的对称点为， 连结，，，则即是所求作的三角形． （2）由（1）知， 故答案为：，，； （3）如图，构造的外接矩形， ，， ， ， ． 7．(24-25八上·福建漳州芗城区漳州立人学校·期中)如图：已知的三个顶点的坐标分别是，， ． (1)画出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若是轴上一个动点，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据割补法求解即可； （3）根据（2）所求可得的面积，进而根据三角形面积计算公式求出，据此可得答案． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $