4.1 指数与指数函数（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

4.1 指数与指数函数 题型一 根式的化简与求值 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 题型二 指数幂的运算 1．（25-26高一上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 2．（25-26高一上·广东·期中） . 题型三 分数指数幂与根式的互化 1．（多选）（18-19高一·全国·课后作业）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 题型四 指数幂的化简与求值 1．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 题型五 指数函数的判断与求值 1.（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 题型六 根据函数是指数函数求参数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 求指数函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 题型八 判断指数（型）函数的图象 1．（18-19高二下·河南·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2010·浙江·一模）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 题型九 根据指数（型）函数的图象求参数（范围） 1．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 题型十 指数函数图象过定点问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 题型十一 指数函数图象的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 题型十二 求指数（型）函数的定义域 1．．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型十三 求指数（型）函数在区间的值域 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 题型十四 根据指数（型）函数的值域求参数 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十五 指数（型）函数的单调性判断与单调区间 1．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 题型十六 比较指数幂的大小 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 题型一 由指数（型）函数的单调性求参数 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 应用指数函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 题型三 指数函数的最值问题 1．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 3．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 题型四 指数（型）函数单调性、奇偶性等综合问题 1．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 2．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·甘肃·期末）定义在上的函数是单调函数，，且. (1)求，判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若存在使得成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，，则（   ） A．为减函数 B．为增函数 C．的零点为 D．只有一个零点 4．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 6．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 9．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后与之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 12.（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数与指数函数 题型一 根式的化简与求值 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 题型二 指数幂的运算 1．（25-26高一上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 2．（25-26高一上·广东·期中） . 【答案】 【分析】根据合并同类同底数幂的乘法法则计算求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 题型三 分数指数幂与根式的互化 1．（多选）（18-19高一·全国·课后作业）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】按照指数幂的运算进行化简. 【详解】因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D正确. 故答案为：CD. 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 题型四 指数幂的化简与求值 1．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 【答案】38 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 2．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解； （2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解； （3）利用求和，代入即可求解. 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 题型五 指数函数的判断与求值 1.（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 2．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 3．（2025·江西·二模）已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，由的不同取值范围，分类讨论求解即可. 【详解】若，即，可得， 解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合； 综上可知：的值为0或， 故选：A 题型六 根据函数是指数函数求参数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 题型七 求指数函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 题型八 判断指数（型）函数的图象 1．（18-19高二下·河南·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 2．（2010·浙江·一模）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 题型九 根据指数（型）函数的图象求参数（范围） 1．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 题型十 指数函数图象过定点问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 题型十一 指数函数图象的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可． 【详解】由题知，令，解得． 作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则． 故选：A. 2．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 3．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，利用图象求解不等式的解集. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当或时，， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型十二 求指数（型）函数的定义域 1．．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型十三 求指数（型）函数在区间的值域 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 题型十四 根据指数（型）函数的值域求参数 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 2．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 题型十五 指数（型）函数的单调性判断与单调区间 1．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，验证该函数满足条件①②即可. 【详解】不妨取，则，条件①满足； 函数在上单调递减，条件②满足. 故答案为：（答案不唯一）. 题型十六 比较指数幂的大小 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可采用特值法进行判断，或者采用同构法，将不等式里面参数分到不等号两边，构造函数，根据函数单调性即可判断求解． 【详解】方法一：特值法． 取，得，满足题意，排除A，B； 取，得，满足题意，排除C， 故选：D． 方法二：同构法． 因为不等式，所以， 令，显然函数在上分别单调递增、单调递减， 因此函数在上单调递增， 又原不等式可化为，则，即． 故选：D． 题型一 由指数（型）函数的单调性求参数 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 3．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 题型二 应用指数函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 2．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 题型三 指数函数的最值问题 1．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 3．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 题型四 指数（型）函数单调性、奇偶性等综合问题 1．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 2．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质可得出，求出的值，然后验证函数为偶函数即可； （2）利用基本不等式可求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. （2）因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·甘肃·期末）定义在上的函数是单调函数，，且. (1)求，判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0，奇函数. (2)函数在上为增函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）赋值法得到，令，可得，证明出奇偶性； （2）任取，且，则，从而证明出为上的增函数； （3）变形后，结合函数的奇偶性和单调性得到，令，其中，得到为偶函数， 定义法得到在上单调递增，则当时，，求出，令，则，令，其中，由单调性求出，则，因此，实数的取值范围是. 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得. 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数. （2）函数为上的增函数.证明过程如下： 任取，且，则，所以. 因为， 所以， 所以，函数在上为增函数. （3）由存在使得， 可得. 因为函数在上为增函数，则. 令，其中，则， 即函数为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，. 令，则，则， 所以，可得. 令，其中，由题意可得. 因为函数在上单调递减， 则， 则，因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 1．（24-25高一上·江西·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性以及特殊值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 因为，，则，则函数在上不单调递增，排除D选项. 故选：C. 2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则，即函数的定义域为， 令，解得，因为，所以解得， 因为，解得，则的定义域为，故C正确. 故选：C 3．（多选）（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，，则（   ） A．为减函数 B．为增函数 C．的零点为 D．只有一个零点 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性判断AB；求出的零点判断C；根据零点存在性定理判断D. 【详解】因为，所以是增函数，则为增函数，A错； 因为，所以是增函数，又因为为增函数，则为增函数，B对； 由，即 的零点为，C对； 因为为增函数，，，所以只有一个零点在区间内，D对. 故选：BCD. 4．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由时的值域，将问题转化成在上恒成立即可求解； 【详解】当时，，又函数的值域为， 所以在上恒成立，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【详解】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 9．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后与之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据曲线特征设分段函数，用待定系数法求出相关系数，即可得到函数解析式； （2）根据题意，由得到不等式组，解出的取值范围可得到结果. 【详解】（1）由题意，设 由图可知，当时，， 由解得，由解得． 所以 （2）由得或 解得． 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是（小时）． 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 11．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 （2）令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 12.（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①判断过程见解析；② 【分析】（1）求出，，联立即可求解和，代值计算可得的值； （2）①将函数的解析式变形为，然后利用函数单调性的定义证明即可； ②先证明出函数为上的奇函数，求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为①，所以， 又因为为偶函数，为奇函数，所以②， 由①②得：，， 所以. （2）①， 对任意的，，则函数的定义域为， 、，且， 有， 因为在上单调递增，且，所以，即， 又因为，所以，所以是上的增函数； ②因为，， 又，故为上的奇函数，所以， 故对任意的恒成立， 又因为为上增函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 故， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 函数在上单调递增，故，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $