精品解析：陕西省安康市紫阳县焕古镇九年制学校2025-2026学年九年级上学期第一次阶段性作业数学试题

2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 建议完成时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（ ）米. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个根为的一元二次方程：______． 10. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______. 11. 若抛物线（m为常数）的开口向下，则m的取值范围是___________． 12. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 13. 已知点，均在抛物线上，且，则______（填“”“”或“”）． 14. 如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 17. 已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 19. 已知抛物线：的顶点为，抛物线：（为常数）．求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 20. 利用描点法画二次函数的图象，列表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 0 m 0 ．．． （1）填空：___________，___________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 21. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中一条宽与一条长的和为60步，问宽和长各几步？请你用一元二次方程的知识解答． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）若点也在这个二次函数的图象上，求的值． 23. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，且）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程的根为，，，则方程是“邻根方程”，若是直角三角形，斜边的长为，的两边、的长是一个“邻根方程”的两个实数根，且，求的长 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和个同样大小的正方形．然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为、． 问题解决 任务 求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 25. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 26. 【问题初探】（1）如图1，在正方形中，，连接，点在的延长线上，过点作交正方形的边于点，连接．设的长为的面积为．求关于的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在中，，点是边上一点，连接，以为边作正方形，且保证点在正方形内部，连接，设的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 建议完成时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解决本题的关键是知道一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）进行判断即可． 【详解】解：A．最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为． 3. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程即可求值． 【详解】是关于的一元二次方程的一个解 故选：A． 4. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．通过配方法将给定的一元二次方程转化为的形式，从而确定和的值，进而计算． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， ∴． 故选：B． 6. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人，根据8月份接待游客增加到万人列一元二次方程即可． 【详解】设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x， 今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人， ∴， 故选：D． 7. 拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（ ）米. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，所求的水面宽度即为函数与两个交点之间的距离，据此解答即可. 【详解】解：根据题意，当时，，解得：， 所以与的两个交点为（5，）和（－5，）， 此时水面的宽度=5－(－5)=10米. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度不大，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键. 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式． 利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可． 【详解】解：将二次函数转化为， 又∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是， ∴ ， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误； ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 将代入解析式得 ， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确， 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 请写出一个根为的一元二次方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：依题意，有一个根为的一元二次方程可以是：； 故答案为：（答案不唯一）． 10. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 11. 若抛物线（m为常数）的开口向下，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向下，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，根据增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列， 由题意得：． 故答案为：． 13. 已知点，均在抛物线上，且，则______（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式以及二次函数的增减性是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的二次项系数判断其增减性，最后结合点的横坐标范围比较纵坐标大小． 【详解】解：对于抛物线，其对称轴公式为． 因为， 所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，即时，随的增大而增大． 因为，都在对称轴左侧， 所以． 故答案为：． 14. 如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴点， 令，则或， ∴点，点， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由抛物线的对称性知，， ∴， ∴四边形周长， ∵、为定值，， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为， 即四边形周长的最小值， ∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：． ． 或 解得． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．把代入一元二次方程即可求得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ，解得． 17. 已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或， ∴或时，函数是二次函数． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 19. 已知抛物线：的顶点为，抛物线：（为常数）．求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 【答案】 证明：由：得，， ∴顶点为， ∴的顶点向左平移个单位长度后坐标为， 当时，， ∴点在图象上， ∴无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由：得，，得顶点为，然后求出平移个单位长度后坐标为，再代入即可得到结论；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】略 20. 利用描点法画二次函数的图象，列表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 0 m 0 ．．． （1）填空：___________，___________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）；3 （2） 如下图： 【解析】 【分析】本题考查画二次函数图象，已知自变量值求函数值等． （1）分别把和代入函数解析式，求出对应的函数值即可； （2）根据题意通过表格中点坐标画在平面直角坐标系中，光滑曲线连接即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 故答案为：；3 【小问2详解】 解：根据表格可得点坐标分别为：， 画出这个二次函数的图象， 21. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中一条宽与一条长的和为60步，问宽和长各几步？请你用一元二次方程的知识解答． 【答案】矩形的长为36步，宽为24步 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形的长为步，则矩形的宽为步，然后根据题意列一元二次方程求解并选取符合题意的解即可． 【详解】解：设矩形的长为步，则矩形的宽为步． 由题意可得：， 解得：． 答：矩形的长为36步，宽为24步． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）若点也在这个二次函数的图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接把点代入，即可求解； （2）把点代入（1）求得的解析式即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数解析式为． ∵点也在这个二次函数的图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解本题的关键是确定出抛物线的解析式． 23. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，且）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程的根为，，，则方程是“邻根方程”，若是直角三角形，斜边的长为，的两边、的长是一个“邻根方程”的两个实数根，且，求的长 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意设，则，由勾股定理得，即，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵、的长是一个“邻根方程”的两个实数根，且， ∴设，则， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴的长为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和个同样大小的正方形．然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为、． 问题解决 任务 求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． 【答案】剪去的正方形的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形的边长为，根据题意得，然后解方程并检验即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设剪去的正方形的边长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的正方形的边长为． 25. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】（1） （2）离点远 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​二次函数的性质与实际应用​​，​​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【小问1详解】 当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． 【小问2详解】 将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 26. 【问题初探】（1）如图1，在正方形中，，连接，点在的延长线上，过点作交正方形的边于点，连接．设的长为的面积为．求关于的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在中，，点是边上一点，连接，以为边作正方形，且保证点在正方形内部，连接，设的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）①；②当时，的面积为4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正方形性质，平行线性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，以及等腰三角形性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质，平行线性质，以及等腰三角形性质，将用含的代数式表示出来，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （2）①过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点．利用勾股定理分别求出，设，则，再结合正方形性质证明得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题； ②将代入①中函数关系式求解，即可解题． 【详解】解：（1）四边形是正方形，，， ． ． ． ． 关于的函数解析式为． （2）①如图2．过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点． 在中， ． ， ． 在中， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则． 四边形是正方形， ． ， ， ． ． ②当时，． 当时，的面积为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $