专题08 圆的有关性质 4大高频考点（期中真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题08 圆的有关性质 4大高频考点概览 考点01 垂径定理及其应用 考点02 圆心角、弧、弦的关系 考点03 圆周角定理 考点04 圆内接四边形的性质 地 城 考点01 垂径定理及其应用 一、选择题 1．（24-25九上•北京朝阳区•期中）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 解： ∵圆心O到弦AB的距离OC＝3， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3， ∴AC4， ∴AB＝2AC＝8． 答案：C． 2．（24-25九上•福建厦门•湖里区期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．3 D． 解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1， ∵OD⊥AB，AB＝4， ∴ACAB＝2， 在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2， ∴r2＝22+（r﹣1）2， r， 答案：D． 3．（24-25九上•广东广州•天河区期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 解：连接OA，则OA＝10cm， ∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm， ∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm）， ∵OC＝10cm， ∴CD＝OC﹣OD＝4cm， 答案：C． 4．（24-25九上•陕西西安•期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 解： 连接BE，如图， ∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2． 答案：D． 5．（24-25九上•河南周口•扶沟县期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 答案：C． 6．（24-25九上•湖南长沙•期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4， 在Rt△AEO中，OE3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 答案：B． 二、填空题 7．（24-25九上•江苏扬州•期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则半径的长为 　5　 cm． 解：连接OC，设⊙O的半径是r cm，则OB＝OC＝r cm， ∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm， ∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°， 由勾股定理得：OC2＝CM2+OM2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径是5cm， 答案：5． 8．（24-25九上•辽宁大连•中山区期中）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为 　2　 ． 解：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴AE＝BEAB， ∵AO＝2，∠AOC＝60°， ∴AE＝AO•sin∠AOC＝2， ∴AB＝2AE＝2． 答案：2． 9．（24-25九上•江苏常州•武进区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 　5　 cm． 解：过点O作OG⊥EF交EF于点G，连接OE． 设OE＝r cm， ∵OG⊥EF，EF＝CD＝8cm， ∴EGEF＝4cm，OG＝（8﹣r）cm， 在Rt△OGE中利用勾股定理，得OG2+EG2＝OE2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴截面⊙O的半径长是5cm． 答案：5． 10．（24-25九上•湖北武汉•洪山区期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦AB长2m，拱高CD长3m，则该拱门的半径是 　　 m． 解：如图，连接OA． 设该拱门的半径OA＝OD＝r m． ∵AB＝2m， ∴ACAB＝1m， ∵CD＝3m， ∴OC＝CD﹣OD＝（3﹣r）m， 在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2， ∴1+（3﹣r）2＝r2， ∴r， ∴该拱门的半径是m． 答案：． 11．（24-25九上•北京西城区•期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　 cm． 解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 12．（24-25九上•吉林松原•前郭县期中）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　1cm　 ． 解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD， ∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE6（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 答案：1cm． 三、解答题 13．（24-25九上•广东广州•期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． （1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 14．（24-25九上•北京东城区•期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 解：设⊙O的半径是r， ∵点C是AB的中点，OC过圆心O， ∴OC⊥AB， ∵AB＝4，CD＝1， ∴BCAB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1， ∵OB2＝OC2+BC2， ∴r2＝（r﹣1）2+22， ∴r， ∴OD， ∴△BOD的面积OD•BC2． 15．（24-25九上•广东肇庆•端州区期中）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长． 解：设半径OA的长为r mm， ∴OA＝OC＝OB＝r mm， ∵弓形高CD＝10mm， ∴OC⊥AB，OD＝（r﹣10）mm， ∴AD＝BDAB， ∵AB＝60mm， ∴， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣10）2+302， 解得r＝50mm． 答：半径OA的长为50mm． 16．（24-25九上•江苏苏州•工业园区期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 解：连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m． 设OA＝OC＝r m． ∵OC⊥AB，AB＝16m， ∴ADAB＝8m， ∵CD＝4m， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣4）m， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴82+（r﹣4）2＝r2， ∴r＝10． 答：此圆弧形拱桥的半径是10m． （2）该船不能否安全穿过桥洞．理由如下： 如上图，矩形EFGH，GH与OC交于点M，EF＝12m，连接OH． ∵EF＝12m， ∴MH＝DEEF＝6m， 在Rt△HMO利用勾股定理，得OM8m， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴HE＝DM＝OM﹣OD＝2m， ∵3＞2， ∴该船不能否安全穿过桥洞． 地 城 考点02 圆心角、弧、弦的关系 一、选择题 17．（24-25九上•浙江温州•鹿城区期中）如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 解：∵70°， ∴∠AOD＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°， 答案：B． 18．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 解：∵∠AOC＝108°， ∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°， ∵CD＝BD， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°． 答案：B． 19．（24-25九上•浙江杭州•淳安县期中）如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 解：连接OD、BC． 设∠AOD＝x°，∠BOC＝y°，∠COD＝z°， 则x+y+z＝180， ∵， ∴x+y＝z， ∴z＝90， ∴∠COD＝90°， ∴∠DBC∠COD＝45°， ∵∠ACB＝90°，CEAB， ∴BC＝CEAB， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得ACAB， ∴CE：CAAB：AB． 答案：D． 20．（24-25九上•四川广安•广安区期中）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 答案：D． 21．（24-25九上•山东聊城•东昌府区期中）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， ∴DN＝BM， ∵半径为5， ∴OM＝ON＝3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON＝3， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3， 答案：C． 22．（24-25九上•四川南充•高坪区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴，CG＝DG， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD＝BE＝8， ∴， ∵OG＝r﹣3，OD＝r， ∴42+（r﹣3）2＝r2， 解得， ∴⊙O的半径为． 答案：C． 23．（24-25九上•江苏徐州•新沂市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 解：连接OE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝67.5°， ∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠BAC＝45°， ∴∠AOE＝180°﹣2×45°＝90°， ∴弧AE的度数为90°， 答案：C． 24．（24-25九上•河南三门峡•渑池县期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 解：如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴AC＝DF＝12， ∴EFDF＝6，设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2， 解得x， ∴AB＝2x＝15， 答案：C． 二、填空题 25．（24-25九上•浙江宁波•奉化区期中）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　4　 ． 解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OFBC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OFDF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， ∴AC4． 答案：4． 26．（24-25九上•甘肃武威•凉州区期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB＝CD，∠AOB＝70°，那么∠COD＝ 　70°　 ． 解：∵AB＝CD，∠AOB＝70°， ∴∠COD＝∠AOB＝70°． 答案：70°． 27．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　60°　 ． 解：∵，∠BOC＝40°， ∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠BOC＝60°， 答案：60°． 28．（24-25九上•江苏泰州•姜堰区期中）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 答案：5． 三、解答题 29．（24-25九上•山东德州•禹城市期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴BE＝EC＝4， ∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6， ∴， ∴OD＝OB＝5， ∴， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． 30．（24-25九上•陕西西安•期中）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，连接OA、OB、OC、AB，延长AB、OC交于点D，BD＝OA，若∠D＝25°，求∠AOB的度数． 解：∵BD＝OA，OA＝OB， ∴OB＝OD，∠A＝∠OBA， ∴根据等边对等角得，∠BOD＝∠D＝25°， ∴∠OBA＝∠BOD+∠D＝25°+25°＝50°， ∴∠A＝∠OBA＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 答：∠AOB的度数为80°． 地 城 考点03 圆周角定理 一、选择题 31．（24-25九上•湖北宜昌•期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 解：∵∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°， ∵∠CDB∠BOC＝30°． 答案：B． 32．（24-25九上•北京东城区•期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBA＝90°， 又∵∠A＝∠CDB＝51°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°． 答案：D． 33．（24-25九上•广东广州•越秀区期中）如图，在⊙O内，若圆周角∠D＝130°，则圆心角∠AOC的度数是（　　） A．130° B．100° C．65° D．50° 解：如图： ∵圆周角∠D＝130°， ∴∠1＝2∠D＝260°， ∴∠AOC＝360°﹣∠1＝100°， 答案：B． 34．（24-25九上•江苏盐城•东台市期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 解：连接OA、OB，如图所示： ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∵⊙O的半径为8， ∴AB＝OA＝OB＝8， ∵点E，F分别是AC、BC的中点， ∴EFAB＝4， 要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值， ∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16， ∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12． 答案：B． 二、填空题 35．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A＝20°，则∠BPD的度数为 　65°　 ． 解：∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵， ∴， ∵∠A＝20°， ∴． 答案：65°． 36．（24-25九上•江苏南通•崇川区期中）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为 　5　 ． 解：∵∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝DE，即直径AB是弦CD的垂直平分线， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴CD＝AC＝5， 答案：5． 37．（24-25九上•北京朝阳区•期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为 　140°　 ． 解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°， ∴∠DEB＝∠AEC＝74°， ∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°． 答案：140°． 38．（24-25九上•山西大同•新荣区期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，且∠BAD＝30°，∠COD＝60°，若AC＝5，则AB的长为 　10　 ． 解：∵∠BAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°． ∵∠COD＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOD﹣∠COD＝60°． 又OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形． ∴OA＝AC＝5． ∴AB＝2OA＝10． 答案：10． 三、解答题 39．（24-25九上•江苏苏州•工业园区期中）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数． （1）证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD， ∵CD＝AC，则BC垂直平分 AD， ∴AB＝BD， ∴∠A＝∠D， ∵∠A＝∠E， ∴∠D＝∠E， ∴CD＝CE； （2）解：连接AE， ∵∠D＝26°， ∴∠BAC＝∠D＝26°， ∵∠ABE是△ABD的一个外角， ∴∠ABE＝∠BAC+∠D＝52°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣52°＝38°． 40．（24-25九上•天津和平区•期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小； （Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小． 解：（Ⅰ）∵AB是直径，点E是弦CD的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠AEC＝∠DEO＝90°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠C＝40°， ∴∠DOE＝2∠C＝80°， ∴∠CDO＝10°； （Ⅱ）如图②，连接BD， ∵AC＝AE，∠A＝50°， ∴∠C＝∠AEC＝65°， ∴∠B＝∠C＝65°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝65°， ∵∠CDB＝∠CAB＝50°， ∴∠CDO＝∠ODB﹣∠CDB＝65°﹣50°＝15°． 地 城 考点04 圆内接四边形的性质 一、选择题 41．（24-25九上•广东中山•期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．120° D．132° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴180°＝∠A+∠BCD， ∵180°＝∠BCD+∠DCE， ∴∠DCE＝∠A＝64°， ∵所对的圆周角是∠A，所对的圆心角是∠BOD， ∴∠BOD＝2∠A＝2×64°＝128°， 答案：A． 42．（24-25九上•江苏常州•金坛区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 解：∵BD经过圆心O． ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC＝55°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°， 答案：D． 43．（24-25九上•河北邢台•任泽区期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．68° 解：如图，连接BC， ∵BE∥CD，∠E＝28°， ∴∠ECD＝∠E＝28°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠BCD＝90°+28°＝118°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝62°， 答案：C． 44．（24-25九上•浙江杭州•期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE和OD，若∠BCD＝2∠BAD，则∠DOE的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝2∠DAE＝60°， 答案：C． 二、填空题 45．（24-25九上•山东潍坊•期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，延长BC，AD交于点E，则AD＝ 　4﹣　 ． 解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B＝90°， 根据圆内接四边形对角互补，可得∠CDA＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°， ∵CD＝1， ∴DE＝，AE＝2AB＝4， 故AD＝AE﹣DE＝4﹣． 答案：4﹣． 46．（24-25九上•江苏镇江•期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为 　65°　 ． 解：∵∠CBE＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝＝65°， 答案：65° 47．（24-25九上•河北石家庄•裕华区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝ 　15　 °． 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∵∠BAD＝105°， ∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°， 答案：15． 48．（24-25九上•浙江杭州•西湖区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　4　 ． 解：连接AC， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE＝∠ABD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵弧AD＝弧AD， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠CDA， ∴AC＝AD＝6， ∵AE⊥CB，， ∴AE＝＝4， 答案：4． 三、解答题 49．（24-25九上•江苏连云港•海州区期中）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． （1）证明：∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCE； （2）解：∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝∠ACB＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 50．（24-25九上•广东广州•荔湾区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． （1）证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°， ∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP． （2）解：如图，连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDP＝90°， ∵AB＝AP＝10，DP＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∴BD＝＝＝6， ∴PB＝＝＝2， ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴BC＝PC＝PB＝， ∴PC＝． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的有关性质 4大高频考点概览 考点01 垂径定理及其应用 考点02 圆心角、弧、弦的关系 考点03 圆周角定理 考点04 圆内接四边形的性质 地 城 考点01 垂径定理及其应用 一、选择题 1．（24-25九上•北京朝阳区•期中）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九上•福建厦门•湖里区期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．3 D． 3．（24-25九上•广东广州•天河区期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．（24-25九上•陕西西安•期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 5．（24-25九上•河南周口•扶沟县期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 6．（24-25九上•湖南长沙•期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 二、填空题 7．（24-25九上•江苏扬州•期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则半径的长为　 　cm． 8．（24-25九上•辽宁大连•中山区期中）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为　 　． 9．（24-25九上•江苏常州•武进区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 　 　 cm． 10．（24-25九上•湖北武汉•洪山区期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦AB长2m，拱高CD长3m，则该拱门的半径是　 　m． 11．（24-25九上•北京西城区•期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是　 　cm． 12．（24-25九上•吉林松原•前郭县期中）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是　 　． 三、解答题 13．（24-25九上•广东广州•期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 14．（24-25九上•北京东城区•期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 15．（24-25九上•广东肇庆•端州区期中）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长． 16．（24-25九上•江苏苏州•工业园区期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 地 城 考点02 圆心角、弧、弦的关系 一、选择题 17．（24-25九上•浙江温州•鹿城区期中）如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　） A．65° B．55° C．110° D．60° 18．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 19．（24-25九上•浙江杭州•淳安县期中）如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25九上•四川广安•广安区期中）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 21．（24-25九上•山东聊城•东昌府区期中）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 22．（24-25九上•四川南充•高坪区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 23．（24-25九上•江苏徐州•新沂市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 24．（24-25九上•河南三门峡•渑池县期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 二、填空题 25．（24-25九上•浙江宁波•奉化区期中）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 　 ． 26．（24-25九上•甘肃武威•凉州区期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB＝CD，∠AOB＝70°，那么∠COD＝ 　 　 ． 27．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　 　 ． 28．（24-25九上•江苏泰州•姜堰区期中）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 三、解答题 29．（24-25九上•山东德州•禹城市期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 30．（24-25九上•陕西西安•期中）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，连接OA、OB、OC、AB，延长AB、OC交于点D，BD＝OA，若∠D＝25°，求∠AOB的度数． 地 城 考点03 圆周角定理 一、选择题 31．（24-25九上•湖北宜昌•期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 32．（24-25九上•北京东城区•期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 33．（24-25九上•广东广州•越秀区期中）如图，在⊙O内，若圆周角∠D＝130°，则圆心角∠AOC的度数是（　　） A．130° B．100° C．65° D．50° 34．（24-25九上•江苏盐城•东台市期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 二、填空题 35．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A＝20°，则∠BPD的度数为　 　． 36．（24-25九上•江苏南通•崇川区期中）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝5，则CD的长为　 　． 37．（24-25九上•北京朝阳区•期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为　 　． 38．（24-25九上•山西大同•新荣区期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，且∠BAD＝30°，∠COD＝60°，若AC＝5，则AB的长为　 　． 三、解答题 39．（24-25九上•江苏苏州•工业园区期中）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数． 40．（24-25九上•天津和平区•期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小； （Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小． 地 城 考点04 圆内接四边形的性质 一、选择题 41．（24-25九上•广东中山•期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．120° D．132° 42．（24-25九上•江苏常州•金坛区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 43．（24-25九上•河北邢台•任泽区期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．68° 44．（24-25九上•浙江杭州•期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE和OD，若∠BCD＝2∠BAD，则∠DOE的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 二、填空题 45．（24-25九上•山东潍坊•期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，延长BC，AD交于点E，则AD＝　 　． 46．（24-25九上•江苏镇江•期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为　 　． 47．（24-25九上•河北石家庄•裕华区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝　 　°． 48．（24-25九上•浙江杭州•西湖区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　 　． 三、解答题 49．（24-25九上•江苏连云港•海州区期中）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 50．（24-25九上•广东广州•荔湾区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $