专题03 相似三角形五大压轴题型（高效培优期中专项训练）数学沪科版九年级上册

专题03 相似三角形五大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 多结论题小压轴 考点02 双空题小压轴 考点03 相似三角形性质与判定综合 考点04 相似三角形与解直角三角形综合 考点05 相似三角形与二次函数综合 考点01 多结论题小压轴 1．（2024-2025学年九年级上安徽省天长市铜城中学期中）如图，将边长为9的正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②若，则的面积为3；③．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区期中）如图，矩形中，，E为边上一点，且，过A点作于点M，连接并延长交于N，交于点F．下列结论：①；②M为的中点；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 4．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市东方实验学校11月期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 5．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（   ）； A．2 B．3 C．4 D．5 考点02 双空题小压轴 7．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，，，，，点D在线段上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当时，则 ；         （2）设P为线段的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 ． 8．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 9．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市肥西县部分学校期中）如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点． （1）若，则的度数为 °； （2）连接，若，，则的最小值为 ． 10．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学期中）如图，在等边中，点，分别是，边上的动点（不与边的端点重合），以为边向上作等边，与交于点，连接，． （1）图中与相似的三角形是 ； （2）若，，则长度的最小值为 ． 11．（2024~2025学年九年级上安徽省滁州市天长市第三中学期中）如图，矩形中，，连接，，是上一点，且，在图中画出点位置，求的长为 ．是上一点，若和相似，则的长度为 ． 12．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学11月期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 13．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月期中）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 14．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，． （1）如图1，当时， ． （2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是 ． 15．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中）如图，在矩形中，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰，连接DF，①如果，，当点F落在矩形的对角线上时，则 ②如果，，则最短时长为 16．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校期中）如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1） ． （2）设的面积为，的面积为， ． 17．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 18．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学期中）如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． （1）若，则 ． （2）若，则k可取的最大整数值为 ． 19．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）如图，中，，，点，分别在，边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，． （1） ； （2）若的面积是面积的倍，则 ． 考点03 相似三角形性质与判定综合 20．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市七中教育集团期中）如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．    (1)求证：； (2)已知， ①求的值； ②若，求的长． 21．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市大观区安庆市外国语学校11月期中）四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． (1)若，求证：； (2)若，，求的值； (3)在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 22．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市第九中学11月期中）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且． (1)求证：； (2)当点为中点时，求的长； (3)当为等腰三角形时，请直接写出的长． 23．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区 期中）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证： (2)若，，求的长； (3)若是的中点，连接，求证：． 24．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）． (2)当与相似时，求的值； (3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值． 25．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市11月 期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 26．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月 期中）如图①，在锐角中，D，E分别是、的中点，点F在上，，交于点M． (1)求证：； (2)点G在上，且，如图②，求证：； (3)在图②中，（2）的基础上，取上一点H，使，若，求的长． 27．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市肥西县部分学校 期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 28．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校 期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 29．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市明光市城区八校11月期中）在中，，，点和点分别是和上一点，连接，，． (1)如图1，若，求证：； (2)若于点． ①如图2，求证：； ②如图3，若，，求的长． 30．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县 期中）数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 31．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市怀远县11月 期中）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 32．（2024~2025学年九年级上安徽省滁州市天长市第三中学 期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 33．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，是正方形的对角线，点、分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别相交于点，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市东坡中学期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 35．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，在四边形中，，垂足为点E，交于点G，，交于点F． (1)求的长． (2)求的值． (3)若O为的中点，求证：平分． 36．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学本部期中）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 37．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市部分学校联考11月期中）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 38．（2024—2025学年九年级上安徽省宿州市泗县期中）【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 39．（2024-2025学年九年级上安徽省宿州市萧县期中）如图，在正方形中，点F是的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，作的平分线交的延长线于点G，分别交，于点H，M． (1)如图1，求的值； (2)如图1，求证：； (3)如图2，连接，，求证：． 40．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 41．（2024-2025学年九年级上安徽省宿州市砀山县期中）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． (1)如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． (2)如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 42．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市东方实验学校11月期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 43．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市行知中学期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连结，，，与交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)求证： (2)若，求线段，的长． (3)若四边形的面积为48，求的面积． 44．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校期中）如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，当点为中点时，求的长． 45．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区期中）如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 考点04 相似三角形与解直角三角形综合 46．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 47．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 考点05 相似三角形与二次函数综合 48．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 49．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市七中教育集团期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2024—2025学年九年级上安徽省安庆市潜山市期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 51．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学11月期中）正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， (1)求证：； (2)试证：； (3)，当E在上运动时，试求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形五大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 多结论题小压轴 考点02 双空题小压轴 考点03 相似三角形性质与判定综合 考点04 相似三角形与解直角三角形综合 考点05 相似三角形与二次函数综合 考点01 多结论题小压轴 1．（2024-2025学年九年级上安徽省天长市铜城中学期中）如图，将边长为9的正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②若，则的面积为3；③．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】正方形折叠问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由折叠可得： ，再证明，即可得出结论，可判定①正确；先求出的长，进而求出的长，再证明求出的长，进而求出的长，再利用三角形面积计算公式即可判断②；过点B作于，连接，证明，，推出，进而证明，再由勾股定理即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②错误； 过点B作于，连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ， 由折叠可得：，平分， ∴，． ，， ∴ ∴ ，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 2．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区期中）如图，矩形中，，E为边上一点，且，过A点作于点M，连接并延长交于N，交于点F．下列结论：①；②M为的中点；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据题干易得为等腰直角三角形，先证，再通过三角形内角和和外交的性质倒角得到，即可判断①正确； 要判断M是中点，则证明，很容易联想到全等，结合图形易证，即可判断②正确； 要判断是否正确，根据结构可联想到相似母子型，但是这三条线段不在同一个三角形，所以要转化，由前面证明可得，，因此可证，由题目易证，即可判断③正确； 要判断，有必须想到等腰直角三角形，和在同一直线，不可能是等腰直角三角形的边，所以要转化，因为，因此可证，而，刚好可构造等腰直角三角形，所以过M作于点Q，得到，再利用中位线定理即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ，， ，， ，，， ， ， ， ∴， 故①正确，符合题意； 由①知，，， ， ∵， ∴， ， 为中点， 故②正确，符合题意； 根据①得， ， ， ， ∴， ∴， ， ，， ， 故③正确，符合题意； 过M作于点Q， 由②知M是中点， 是的中位线， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上①②③④都正确，正确的个数是4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先连接，求得，再根据，即可求得和，即可得到答案； 【详解】解：连接，如图： ， 设， ∵恰在边的四等分点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，°，， ∴在中根据勾股定理得，， 在中根据勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市东方实验学校11月期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可； ②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案； ③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可； ④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【详解】∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°， ∴∠BAC=45°，∠EAD=45°， ∴∠CAE=180°-45°-45°=90°， 即∠CAM=∠DEM=90°， ∵∠CMA=∠DME， ∴△CAM∽△DEM，故①正确； 由已知：AC=AB，AD=AE， ∴， ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD， ∴，即，即CD=BE，故②错误； ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴， ∴MP•MD=MA•ME，故③正确； 由②MP•MD=MA•ME ∠PMA=∠DME ∴△PMA∽△EMD ∴∠APD=∠AED=90° ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC=AB， ∴2CB2=CP•CM，故④正确； 即正确的为：①③④， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 5．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，求出，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可证明，①正确；根据，证明，根据相似三角形的性质以及即可得到，②正确；过P作，，设正方形的边长为，则正方形的面积为，解直角三角形求出和，然后根据计算出的面积，进而可判断④正确；在中，求得和的长，得到的长，据此即可判断③正确． 【详解】解：在正方形中，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，过P作，， 设正方形的边长为，则正方形的面积为， 为正三角形， ，， ， ，， ， ，故④正确； 在中，，，， ， ，故③正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 6．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（   ）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，则，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 考点02 双空题小压轴 7．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，，，，，点D在线段上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当时，则 ；         （2）设P为线段的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 6 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，推出，可得答案； （2）证明，推出，求出的最小值，可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时＝＝， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示：    ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市肥西县部分学校期中）如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点． （1）若，则的度数为 °； （2）连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 55 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解； （2）由（1）可知，，然后可得，进而可知当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）由题意可知和都是等腰直角三角形， ∴，， ，， ，即，， ∴， ，如图． 又， ， 则； （2）由（1）可知，， ， 由点是上一点，当时，有最小值，此时是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ，即， 解得； 故答案为55，． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学期中）如图，在等边中，点，分别是，边上的动点（不与边的端点重合），以为边向上作等边，与交于点，连接，． （1）图中与相似的三角形是 ； （2）若，，则长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质证明，即可证明三角形相似； （2）过点作于点，设，则，将各边边长用含的代数式表示出来，得到，即可求出最小值． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点，设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最小值为84， 的最小值是． 故答案为：； 11．（2024~2025学年九年级上安徽省滁州市天长市第三中学期中）如图，矩形中，，连接，，是上一点，且，在图中画出点位置，求的长为 ．是上一点，若和相似，则的长度为 ． 【答案】 ； 或． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边求边长、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，，故有，根据角度和差及三角形的内角和得出，从而，通过勾股定理求出，则，再分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；或． 12．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学11月期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C． （1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 【答案】 / 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加平行线构造相似三角形是解题的关键．①过点A作平行线交延长线于点H，得到，根据对应边成比例即可已知条件即可求解；过点G作交于点P，得到，，根据对应边成比例即可已知条件即可求解． 【详解】解：①过点A作平行线交延长线于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：； ②过点G作交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月期中）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 / 4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、垂线段最短、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，． （1）如图1，当时， ． （2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是 ． 【答案】 / 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理等知识： （1）过点C作轴于点D，证明，根据相似三角形的性质可得结论； （2）连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，判断点F的运动路径长就是线段的长，根据正弦求出的长即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作轴于点D． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为． （2）如图，连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是线段 当时，,此时， 当时，点与重合， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中）如图，在矩形中，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰，连接DF，①如果，，当点F落在矩形的对角线上时，则 ②如果，，则最短时长为 【答案】 20 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①过点作与，证明，得到，，设，则，不规则证明，得，则，求得，则，由勾股定理得，再由求解； ②在上取点G，使，在上取点H，使，作射线，当点E在线段上运动时，点F在射线上运动，所以当时，最小，利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出此时的长即可． 【详解】解：①如图，过点作与， ， ， ， 又， ， ，， 设， ， ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ∴； 故答案为：20． ②当点F在上时，如图， ∴，， 当点F在上时，如图， 由①知：， ∴，； 在上取点G，使，在上取点H，使，作射线，如图， 当点E在线段上运动时，点F在射线上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴ 当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短，等腰直角形三角形的性质，勾股定理等知识．掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短是解题的关键． 16．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校期中）如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1） ． （2）设的面积为，的面积为， ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到． 【详解】解：在上取一点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴①， 由翻折可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴②， 由①②得； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比． 17．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 / 2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，推出即可求解； （2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 18．（2024--2025学年九年级上安徽省六安皋城中学期中）如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． （1）若，则 ． （2）若，则k可取的最大整数值为 ． 【答案】 2 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，正切，相似三角形的判定和性质，不等式等知识的综合运用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，运用勾股定理可得，，如图，延长交于点，根据正切值的计算可得，根据，可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据（1）的计算方法可得，，解得，，由，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，设，则， 由（1）可得，，，且， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（无解）， 解得，， ∵取最大整数， ∴， 故答案为：． 19．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）如图，中，，，点，分别在，边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，． （1） ； （2）若的面积是面积的倍，则 ． 【答案】 135 45 【知识点】折叠问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，进而得； （2）先求得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程得，（舍去），从而得，是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过作于，设与相交于， 则，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的倍， ∴，则， 解得，（舍去）， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 考点03 相似三角形性质与判定综合 20．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市七中教育集团期中）如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．    (1)求证：； (2)已知， ①求的值； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②3 【知识点】根据等角对等边证明边相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，即可得证； （2）根据等角对等边证明，根据（1）中，可得出，即可求解； ②根据勾股定理求出，结合①中结论求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知：，， 又，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， 又， ∴， ∴，即， ∴． 21．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市大观区安庆市外国语学校11月期中）四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． (1)若，求证：； (2)若，，求的值； (3)在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】含30度角的直角三角形、分母有理化、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由得，再证明即可； （）分别过点，作，，垂足分别为，，证明，由，，则，由即可求解； （）过作于，于，由，，得，，再通过所对直角边是斜边的一半得，，设，，，求出的值即可； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，分母有理化，所对直角边是斜边的一半等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：分别过点，作，，垂足分别为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作于，于， ∵平分， ∴， 由（）可知，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，，， 解得， ∴，同理可得， ∴． 22．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市第九中学11月期中）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且． (1)求证：； (2)当点为中点时，求的长； (3)当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问关键在于能够对等腰三角形进行分类． （1）由，，得到，再根据三角形的外角性质得，进而即可证明； （2）由中点定义得，进而根据相似三角形的性质即可得解； （3）为等腰三角形有三种情况，、、分别利用相似三角形性质计算即可 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，点为中点时， ∴， ∵． ∴即， ∴ （3）解：如图，当时 ∵， ∴， ∴． 如图，当时， ∵， ∴即点与点重合． ∵不与点、重合， ∴舍去． 如图，当时， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴，即， ∴． 23．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区 期中）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证： (2)若，，求的长； (3)若是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、根据等边对等角证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质和余角性质得到，进而利用相似三角形的判定可得结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求得，进而求解即可； （3）根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得到，再利用相似三角形的对应角相等推导出，进而得到，即，由垂直定义可得结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵于，是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵，，， ∴，即， 解得， ∴； （3）证明：∵于，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、垂直定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）． (2)当与相似时，求的值； (3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，综合性较强，理解题意，熟知相关知识，根据题意进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得到，，问题得解； （2）先求出，再分和两种情况讨论，问题得解； （3）过点作，则，进而可知，求得，再证，得，即，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 则， 故答案为：，； （2）解：依题意知，在中，， 若与相似，因为, ∴分两种情况讨论： 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得． ∴若与相似，或； （3）解：过点作，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即：点是线段的中点，的值为． 25．（2024-2025学年九年级上安徽省安庆市11月 期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②5 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明得到，再等量代换即可得证； （2）①求出，，证明得到，再证明得到，从而得到，从而求出，从而得到； ②利用平行线截线段成比例得到，从而得到，利用得到，代入已知求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （2）①解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴   ∴ 解得：(舍去负值)     ∴ ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26．（2024-2025学年九年级上安徽省六安市金安区11月 期中）如图①，在锐角中，D，E分别是、的中点，点F在上，，交于点M． (1)求证：； (2)点G在上，且，如图②，求证：； (3)在图②中，（2）的基础上，取上一点H，使，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行线的性质和等角对等边证明即可； （2）根据三角形的中位线性质和平行线的性质证得，再根据已知和三角形外角性质证得，再根据相似三角形的判定即可证的结论； （3）根据相似三角形的判定与性质证明和证得和，再证明四边形为平行四边形证得，进而得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （2）∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴； （3）如图， 由①得． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∵，． ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形在外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 27．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市肥西县部分学校 期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【知识点】角平分线性质的实际应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ，即； （2）解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 28．（2024-2025学年九年级上安徽省长丰县部分学校 期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】坐标与图形综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了勾股定理，代数式，相似三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意得，，，将代入即可得，，根据勾股定理即可求解． （2）根据，，用三角形面积公式即可表示． （3）分两种情况，和，根据对应边成比例可分别求得值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴． 当时，，， 由勾股定理得． （2）解：∵，，， ∴的面积． （3）解：分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：． ∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似． 29．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市明光市城区八校11月期中）在中，，，点和点分别是和上一点，连接，，． (1)如图1，若，求证：； (2)若于点． ①如图2，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，结合得出，从而得出，再由即可得证； （2）①过点作交延长线于点．证明得出，再证明得出，即可得证；②证明是等腰直角三角形，设，则．再证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ，是等腰直角三角形． ， ． ． 又， ． （2）证明：①如答图，过点作交延长线于点． ， ， ， ． ，， ． ． 又，， ． ． ，即． ②解：，， ． 是等腰直角三角形． ． ． 设，则． ，即， ，即． ． ，即，即， 解得（经检验该根有意义）或（舍去）． ． 30．（2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县 期中）数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得，从而利用证明结论； （2）①利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，得，从而解决问题； ②设，则，，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， 将沿折叠至， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）①证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②解：设， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用设参数表示出各线段的长是解决问题（2）的关键． 31．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市怀远县11月 期中）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；【猜想】 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行同位角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据［问题感知]即可得出①和②的结论； （2）选取（1）①给予证明．如图，过点作交于点，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论；选取（1）②可按同样的方法证明； ［猜想] 结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则， 故答案为：； ②若，则， 故答案为：； （2）证明：选取（1）①给予证明． 如图，过点作交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选取（1）②给予证明． 如图（见上图），过点作交于点， 由①得：， ∴， 由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ［猜想] 解：∵， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 32．（2024~2025学年九年级上安徽省滁州市天长市第三中学 期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴； （3）证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 33．（2024-2025学年九年级上安徽省舒城第二中学11月期中）如图，是正方形的对角线，点、分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别相交于点，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得，再根据，可得，即可证明结论； （2）先证明，得到，进而证明，推出，易证是等腰直角三角形，得到，由勾股定理求出，进而求出，最后证明，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解得关键． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省滁州市东坡中学期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 【答案】(1)见解析； (2)（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）见解析． 【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由正方形的性质得，再证明，即可证明结论成立； （2）（）证，得，再证明，得，进而得，，即可得解；（ii）延长到，使得，证，得，，再证明（），得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）（）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）延长到，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质是解题的关键． 35．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，在四边形中，，垂足为点E，交于点G，，交于点F． (1)求的长． (2)求的值． (3)若O为的中点，求证：平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）在中求得，进而在求得； （2）在中求得，进而得出，从而得出，进而得出，从而得出结果； （3）取的中点，连接，可推出，，从而，进而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）解：， ∴， ，，， ， ，， ， ； （2）解：∵，，， ， ， ，而 ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图， 取的中点，连接， ， 是的中点， ，，， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 36．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第三十八中学本部期中）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，运输轨道的最小值为千米 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由垂线段最短可得，当时，取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解； （2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，，证明，即可求解． （3）取对角线的中点，连接，则，，同（2）的方法证明得出，，则当时，最小，此时是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，取得最小值， 如图所示，过点作， ∵在菱形中，， ∴ ∴ ∵，为的中点， ∴ 在中，， ∴ ∴ （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 如图3，取对角线的中点，连接，则，， ∴ 由正方形的性质可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在与成的射线上运动， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， 即运输轨道的最小值为千米． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解题的关键． 37．（2024-2025学年九年级上安徽省淮北市部分学校联考11月期中）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)15 (2) (3)为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）由（1）可得，再证明，可得，从而得到，过作交于，可得，同理，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； （3）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，． ②当时，在上截取，连接， ，； ， ， ，， ， ． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 38．（2024—2025学年九年级上安徽省宿州市泗县期中）【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②； [深入研究]（2）的长为 [拓展提示]（3）的长为或或 【知识点】根据正方形的性质证明、利用菱形的性质证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 39．（2024-2025学年九年级上安徽省宿州市萧县期中）如图，在正方形中，点F是的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，作的平分线交的延长线于点G，分别交，于点H，M． (1)如图1，求的值； (2)如图1，求证：； (3)如图2，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）首先证明为等腰三角形，易得，设，结合点F是的中点，可得，利用勾股定理解得，进而可得，即可获得答案； （2）首先证明，由相似三角形的性质可解得，易得，利用“”证明，易得，然后利用“”证明即可； （3）首先证明，结合相似三角形的性质可得，由（2）可知，结合相似三角形的性质可得，可证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵点F是的中点， ∴， 在中，可有， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题关键． 40．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 41．（2024-2025学年九年级上安徽省宿州市砀山县期中）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． (1)如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． (2)如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 【答案】(1)垂直；见解析 (2)成立，见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题综合性强，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形性质等知识点． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即； （2）过点作交于点，可得出，同理可证，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【详解】（1）解：与位置关系是垂直； 证明如下： ，， ． ∴， 由正方形得，， ， ， ， ． ． ． ． （2）时，的结论成立． 理由是： 过点作交于点， ， ， ， 同理可证： ，， 即． （3）如图①，当时， 过点作交于点，可得， 同理可证， ，．即． 过点作交的延长线于点， 如图②，点在线段上运动时， ， ∴． ，， ， ， ． 如图③，点在线段延长线上运动时， ， ， ． 过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市东方实验学校11月期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 43．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市行知中学期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连结，，，与交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)求证： (2)若，求线段，的长． (3)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)125 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可推出，，，得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质可得，求得，；再由，得到，最后根据，求得即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，从而推出，进而求得，结合，可推出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）可知，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， 由（2）可知， ， ， ． 44．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市第四十五中学森林城分校期中）如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，当点为中点时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，由三角形内角和定理、平角的定义得到，，即，由相似三角形的判定即可求解； （2）根据题意得到，，设，则，，则，由此即可求解； （3）根据题意得到，，，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出，再证，得到，求出，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点为中点时，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴，即， ∴，， 如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴由，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 45．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市包河区期中）如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键。 （1）如图：连接，先利用正方形的性质可证得，再根据三角形中位线的性质可得、，易证，最后根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再结合、可证，再证明可得，然后结合正方形的性质即可证明结论； （3）由勾股定理可得，再结合正方形的性质可得，再结合，运用相似三角形的性质即可解答。 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵四边形是正方形，对角线相交于点O，E为边的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， ， . （2）证明：由（1）得， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ，，且， ， ， , （3）解：，， ， ， , ， ， 的长为. 考点04 相似三角形与解直角三角形综合 46．（2024—2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识． （1）求出，，则，又由即可证明，则，结论得证； （2）证明，则，得到，进一步即可得到，又由，即可证明结论； （3）勾股定理求出，由，得到，则，由勾股定理得到，由（2）可知，，则，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 47．（2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示：   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即； （2）解：如图，设与交于点，   ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∵， ， ， 中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，    则， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 考点05 相似三角形与二次函数综合 48．（2024—2025学年九年级上安徽省滁州市第五中学期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 49．（2024-2025学年九年级上安徽省马鞍山市七中教育集团期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】面积问题(二次函数综合)、公式法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，令，计算即可得解； （2）①由已知可得，则根据三角形面积公式可求出，代入，即可求出点P的横坐标； ②先求出，直线解析式为，设点A到的距离为，点D到的距离为，证明，得出，根据三角形面积公式可求出，则当最大时，最大，设过点P平行的直线为，则该直线与抛物线只有一个公共点时，最大，然后可得方程组，可得，求出h的值，代入方程求出x即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 则 ∴， ∴， 解得， 把代入，得， 解得，（舍去） ∴点P的横坐标为； ②存在最大值，此时点P的横坐标为，理由如下： ∵， ， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设点A到的距离为，点D到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 设过点P平行的直线为， 该直线与抛物线只有一个公共点时，最大， 可得方程组， 化简，得， ∴， 解得， 代入，得， 解得， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数与一元二次方程，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 50．（2024—2025学年九年级上安徽省安庆市潜山市期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，待定系数法求直线的表达式即可； （2）如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，证明，则，由，，可得．同理（1），直线的表达式为．设，则，．当时，，即，则，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得平移后，则M．设，直线的表达式为．联立，整理得，可得．设直线的表达式为．联立，整理得，则，即，可求，则直线的表达式为．                  当时，，即，同理，，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的表达式为． 将点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 同理（1），直线的表达式为． 设，则，． 当时，，即， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． （3）解：∵， ∴平移后， ∴的顶点M的坐标为． 设，直线的表达式为． 联立，整理得， ∴． 设直线的表达式为． 联立，整理得， ∴，即， 解得，， ∴直线的表达式为．                   当时，，即， 同理，， ∴， ∴， 整理得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 51．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市庐阳中学11月期中）正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， (1)求证：； (2)试证：； (3)，当E在上运动时，试求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数最值，正方形的性质，熟练掌握知识点，运用相似三角形的判定与性质时解题的关键． （1）根据四边形是正方形，得到，故，而，则，即可求证； （2）由，，由，得到，由①②得：，故，化简即可求证； （3）设，则由得，则，故此时，再利用二次函数求最值即可解决． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①②得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则由 得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴当时，取得最小值为3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $